2.2 Grupos Profinitos e Pro-p
2.2.1 Inteiros p-ádicos e Completamentos
A demonstração dada para os teoremas 2.2.7 e 2.2.8 aponta uma maneira construtiva de obter grupos profinitos e pro-p a partir de grupos conhecidos: se G é um grupo abstrato, podemos visua- lizar G como grupo topológico com uma topologia “adequada”, e assim o grupoGb = lim
←− N /oGG/N
será profinito ou pro-p. Mais ainda, G possui imagem homomórfica (contínua) ι(G) densa em Gb, pela aplicação natural ι(g) = (gN)N /oG. Melhor, se ι é injetiva, podemos identificar naturalmente G ,→Gb e assim G =Gb. Daremos um exemplo de tal construção no caso em que o grupo dado é o anel dos inteiros Z.
Definição 2.2.10. Sejam G um grupo abstrato e N (G) = {N / G | [G : N] < ∞} a família de
seus subgrupos normais de índice finito. Podemos tornar G um grupo topológico pondo N (G) a ser um sistema fundamental de vizinhanças abertas2 do elemento neutro 1 ∈ G. Nesse caso,
chamamos tal topologia de topologia profinita do grupo abstrato G. Analogamente, dado p ∈ N primo e considerando Np(G) = {N / G | [G : N] < ∞ e G/N é p-grupo}, dizemos que a topologia
induzida3 por N
p(G) é a topologia pro-p do grupo abstrato G.
Fixe p ∈ N um número primo. Ao invés da topologia usual (discreta) de Z, considere a topologia induzida pela família de seus p-subgrupos, isto é, sua topologia pro-p. DenoteZbp = lim
←−Z/p
i
Z. Por construção,Zbp é grupo (de fato, anel) pro-p, e a aplicação ι : Z →Zbp dada por ι(n) = (n + piZ)i∈N é contínua, nas topologias acima consideradas. Tem-se que ι é injetiva, pois ker ι =T
i∈NpiZ = {0},
donde identificamos naturalmente Z ,→Zbp e, como vimos, Z =Zbp.
2Note que N
1, N2/ G com [G : N1], [G : N2] < ∞ =⇒ [G : N1∩ N2] < ∞. 3Similarmente, N
Obteremos agora uma bijeção que permite uma útil identificação para o anel pro-p Zbp. Seguindo uma tradição da teoria dos números, denote
Zp = X i≥0 aipi | ai ∈ Z, 0 ≤ ai < p
o conjunto da somas (inteiras) infinitas formais sobre potências do número primo fixado p.
Proposição 2.2.11. Denote ϕi, ϕij as projeções canônicas no limite inverso (Zbp, ϕi)
N= lim←−(Z/p
i
Z,
ϕij)N. Existem funções ψi : Zp → Z/p
i
Z, função injetiva ν : Z → Zp, e uma bijeção ψ : Zp → Zbp tais que, para quaisquer i, j ∈ N com i ≥ j, o diagrama abaixo comuta:
Z Zp ψ - ν ⊃ b Zp ⊂ ι - Z/piZ ϕi ψ i - Z/pjZ ϕij ? ϕj ψ j -
Demonstração. A existência de ν : Z → Zp é consequência do fato de que todo número inteiro
z pode ser descrito “em base p”, isto é, de maneira única como uma soma z = P
i≥0aipi com
0 ≤ ai < p, no qual tal soma é finita se z ≥ 0, notando que a expansão de −1 ∈ Z é dada pela
soma formal P
i≥0(p − 1)pi. Nesse sentido, identificamos ν(z) =
P
i≥0aipi como a inclusão natural
de Z em Zp.
Definamos agora ψi : Zp → Z/piZ por
ψi X k≥0 akpk = i−1 X k=0 akpk+ piZ.
Com tal definição, as aplicações ψi são compatíveis com as aplicações ϕij do sistema inverso, isto
é, ϕij ◦ ψi = ψj.
Seja então ψ : Zp →Zbp dada por
z =X k≥0 akpk7→(ψn(z))n≥1 = n−1 X k=0 akpk+ pnZ ! n≥1 .
Congruências módulo pi para um inteiro z ∈ Z garantem que ψ ◦ ν(z) = ι(z). Além disso, é
também imediato da definição de ψ que ϕi◦ ψ = ψi. Resta mostrar que ψ é uma bijeção.
Suponha que ψ(z1) = ψ(z2), com z1 = Pi≥0aipi, z2 = Pi≥0eaip
i. Então, para todo n ∈ N,
Pn−1
i=0 aipi+pnZ =Pn−1i=0 eaip
i+pn
Z. Assim, a0−ea0 = m0ppara algum m0 ∈ Z. Como 0 ≤ a0,ae0 < p, vem a0 = ea0, de modo que a1 −ae1 também é múltiplo de p e, de modo análogo, a1 = ea1. Indutivamente, ai =aei, ∀i ≥0, ou seja, z1 = z2. Logo, ψ é injetiva.
Seja x = (xn+ pnZ)n∈N ∈ Zbp. Ponha a0 = x1. Sendo (Zbp, ϕi)
N = lim←−(Z/p
i
Z, ϕij)N, tem-se
x2+ pZ = ϕ2◦ ϕ2,1(x) = ϕ1(x) = x1+ pZ, e assim existe a1 ∈ Z com x2− x1 = a1pe 0 ≤ a1 < p.
Logo, x2 = x1 + a1p = a0 + a1p = P1i=0aipi. Repetindo-se tal processo iteradamente, obtem-se
por indução que para cada n ∈ N, existem a0, . . . , an tais que xn =Pi=0n−1aipi e 0 ≤ ai < p. Ponha
z =P
i≥0aipi ∈ Zp, no qual os índices ai são como acima. Segue-se que
ψ(z) = (ψn(z))n∈N= n−1 X i=0 aipi+ pnZ ! n∈N = x. Portanto, ψ é sobrejetiva.
Devido à proposição anterior, podemos tornar Zp = {Pi≥0aipi | ai ∈ Z, 0 ≤ ai < p} um anel
topológico, comutativo e com elemento unidade, através da bijeção ψ : Zp →Zbp. Basta definir em Zp a topologia
τ = {U ⊆ Zp | ψ(U) ⊆ Zbp é aberto},
com as operações de soma z1 + z2 = ψ−1(ψ(z1) + ψ(z2)) e produto z1z2 = ψ−1(ψ(z1)ψ(z2)).
Com isso, Zp é isomorfo, como anel topológico, a Zbp. Mais ainda, devido à comutatividade do diagrama dado na Proposição 2.2.11, passamos a identificar livremente Zp =Zbp = lim
←−Z/p
i
Z com as aplicações ψi : Zp Z/piZ definidas em 2.2.11, e assim Zp é um anel pro-p. Zp é chamado o
anel dos inteiros p-ádicos.
Observamos ainda que, novamente devido à comutatividade do diagrama dado em 2.2.11, as operações de soma e produto em Zp, como definidas acima, estendem a soma e produto usuais
de Z e, da maneira como construímos, Z⊂ ν
- Zp é um mergulho de aneis topológicos (ainda considerando em Z a topologia pro-p). Passamos a identificar Z ,→ Zp, e como vimos Z = Zp.
Dessa forma, as operações em Zp coincidem com as operações de somas formais4 (nesse caso,
comutativas), isto é, X i≥0 aipi + X i≥0 bipi = X i≥0 (ai+ bi)pi e X i≥0 aipi · X j≥0 bjpj = X i≥0 i X j=0 ajbi−j pi.
A identificação de lim←− Z/piZ como o anel das somas infinitas sobre potências de p nos permite extrair propriedades úteis de tal anel, algumas listadas a seguir.
Proposição 2.2.12. Seja Zp = lim←−Z/piZ o anel dos inteiros p-ádicos, com os homomorfismos
contínuos ψi(Pj≥0ajpj) = Pi−1j=0ajpj+ piZ. São válidos:
4Note que aqui as operações a
i+ bi e aibj são feitas da maneira usual, podendo-se depois reescrever a soma e o
i. ker ψi = piZp, {piZp}i≥0 é um sistema fundamental de vizinhanças abertas do 0, e Zp/piZp ∼=
Z/piZ, ∀i ≥ 0;
ii. Zp é um domínio de integridade;
iii. Zp admite uma cadeia descendente de ideais fechados
Zp ⊇ pZp ⊇ p2Zp ⊇ p3Zp ⊇ · · · ,
no qual T
i≥0piZp = {0}. Além disso, pZp é o único ideal maximal de Zp, e tem-se U(Zp) =
Zp\ pZp, no qual U(Zp) é o grupo das unidades de Zp;
iv. Zp é não-enumerável;
v. Para quaisquer G grupo pro-p e f : Z → G homomorfismo contínuo (sendo Z munido da
topologia pro-p), existe um único homomorfismo contínuo θ : Zp → G tal que θ|Z= f;
vi. Dado G grupo pro-p, existe um único homomorfismo contínuo Zp × G → G, denotado
(z, g) 7→ gz, tal que: gn = g · g · · · g
| {z }
n termos
, ∀n ∈ Z; gz1+z2 = gz1gz2 e (gz1)z2 = gz1z2, ∀z
1, z2 ∈ Zp.
Mais ainda, se g1, g2 ∈ Gcomutam, então (g1g2)z = gz1g2z.
Demonstração. i. Tem-se que pi
Zp = {P∞j=iaj−ipj| aj ∈ Z, 0 ≤ aj < p}e ker ψi = {Pi≥0aipi ∈
Zp | Pi−1j=0ajpj é múltiplo de pi}, ou seja, piZp = ker ψi. As outras afirmações então seguem
da identificação (Zp, ψi)N = lim←− Z/p
i
Z, notando que cada ψi é sobrejetiva.
ii. Sejam z1 =Pi≥0aipi, z2 =Pj≥0bjpj ambos não-nulos, isto é, existem i e j menores possíveis
tais que ai 6= 0 6= bj. Denote z1z2 =Pk≥0ckpk, pondo 0 ≤ ck < p para todo k. Nesse caso,
tem-se que ci+j ≡ aibj mod p. Como 0 < ai, bj < p, segue-se que ci+j 6= 0, e assim z1z2 6= 0.
iii. Como piZp = ker ψi = ψi−1({0}), cada piZp é um ideal fechado de Zp, e as inclusões são
evidentes. Sendo Zp/pZp ∼= Fp o corpo de ordem p, tem-se que pZp é um ideal maximal. E
pZp é único pois se z ∈ Zp\ pZp, então z é uma unidade, o que implica que cada ideal não
contido em pZp é o próprio Zp. Verifiquemos então que Zp = U(Zp) ·∪ pZp.
Dado z ∈ Zp \ pZp, tem-se z = Pi≥0aipi com 0 < a0 < p. Com isso, existe b0 ∈ Z tal que
0 < b0 < p e a0b0 ≡1 mod p, digamos a0b0 = 1 + c0p com 0 < c0 < p. Assim,
zb0 = a0+ X i≥1 aipi b0 = 1 + w,
no qual w = c0p+ b0Pi≥1aipi ∈ pZp. Mostrando que 1 + w ∈ U(Zp), obter-se-á z(b0(1 +
w)−1) = 1, i.e., z ∈ U(Zp). Definindo-se sn = Pn−1i=1(−w)i para cada n ∈ N, obtem-se que
(1 + w)(1 + sn) = 1 − wn ∈ 1 + pnZp. Como {pnZp}n∈N é um sistema fundamental de
vizinhanças abertas do 0 e T
n∈NpnZp = {0}, segue-se que wn → 0 e limn→∞sn converge,
digamos a s. Assim, a continuidade da soma e do produto garantem que (1 + w)(1 + s) = (1 + w)(1 + lim sn) = lim(1 − wn) = 1, ou seja, 1 + w admite inverso multiplicativo 1 + s,
iv. Como Zp = {Pi≥0aipi | ai ∈ Z, 0 ≤ ai < p} está em bijeção com o conjunto das sequências
infinitas cujos termos estão em {0, 1, . . . , p − 1}, basta aplicar o Método da Diagonal de Cantor para obter o resultado.
v. Sejam G grupo pro-p e f : Z → G homomorfismo contínuo. Identifiquemos novamente
(Zp, ψi)N = lim←−Z/p
i
Z. Pela construção dada no Teorema 2.2.8, podemos escrever G = lim←−M /oGG/M, com as projeções canônicas ϕM : G G/M e ϕM NG/M G/N se M ≤ N.
Para cada M /oG, como f é contínua, existe i minimal tal que piZ ⊆ f−1(M). Logo, existe único homomorfismo contínuo feM : Z/piZ → G/M tal que feM(z + piZ) = f (z)M . Defina então a família de homomorfismos contínuos
θM : Zp ψi
-- Z/piZ e
fM
-- G/M, M /oG.
Tem-se que ϕM N ◦ θM = θN sempre que M ≤ N. Pela propriedade universal do limite
inverso, existe único homomorfismo contínuo θ : Zp → G tal que ϕM ◦ θ = θM, ou seja,
ϕM ◦ θ|Z = ϕM◦ f, para qualquer M /oG. Afirmamos que θ|Z = f. Para cada z ∈ Z, tem-se
θ(z)(f(z))−1 ∈ker ϕM = M, para todo M /oG. Assim,
θ(z)(f(z))−1 ∈ \
M /oG
M = {1},
ou seja, θ(z) = f(z), como queríamos. Por fim, se τ : Zp → G é outro homomorfismo
contínuo tal que τ|Z= f, tem-se τ|Z= f = θ|Z e, sendo Z denso em Zp, segue-se que τ = θ.
vi. Para cada g ∈ G, a aplicação potenciação fg : Z → G, fg(n) = gn é homomorfismo contínuo,
nas topologias consideradas, e possui as propriedades de soma e produto do enunciado. Logo, pelo item anterior, cada tal função estende-se a um único homomorfismo contínuo
θg : Zp → G, gz := θg(z), com as propriedades do enunciado. Definindo-se a ação contínua
Zp× G → Gpor (z, g) 7→ θg(z), o resultado segue-se.
Observe que, como Zp é um domínio de integridade, podemos construir Qp o seu corpo de
frações, chamado o corpo dos números p-ádicos.
O método aqui apresentado, via limite inverso, não é a única maneira de se construir o anel dos inteiros p-ádicos Zp. De fato, as propriedades topológicas de Zp vistas acima garantem que tal
anel é exatamente o mesmo que pode ser construído através da métrica induzida pela valoração
p-ádica, chamada a métrica p-ádica, | · |p. Define-se tal métrica no corpo dos números racionais
Q, e o corpo dos números p-ádicos Qp é tomado como o quociente do espaço métrico completo
com relação a | · |p (que é um anel) pelo ideal maximal das sequências que tendem a zero na
métrica dada. Zp é então obtido como o anel de valoração Zp = {x ∈ Qp | |x|p ≤ 1}. Referi-
mos ao leitor o texto de Gouvêa [8] para a abordagem acima descrita dos números p-ádicos. Na Seção 3.3 de [8] (em particular, [8, Corolário 3.3.5]) tem-se a verificação de algumas das propri- edades aqui descritas, que garantem que ambas as construções produzem o mesmo anel topológico.
Como visto no item (v) da Proposição 2.2.12, Zppossui uma propriedade universal. Mais ainda,
se inspecionarmos a demonstração de tal resultado, vemos que as únicas propriedades utilizadas foram as advindas do limite inverso Zp = lim←−Z/piZ. Alternativamente, dizemos que Zp é o
completamento pro-p de Z, e a propriedade universal supracitada nos leva à:
Definição 2.2.13. Seja G um grupo abstrato.
i. Munindo G da topologia profinita, dizemos que um par (G, ιb ) é um completamento profinito de G, no qual Gb é um grupo profinito e ι : G → Gb é homomorfismo contínuo, quando
ι(G) =Gb e, G ι - Gb H f ? ϕ
para quaisquer H grupo profinito e f : G → H homomorfismo contínuo, existir um único
ϕ:G → Hb homomorfismo contínuo tal que ϕ ◦ ι = f;
ii. Analogamente, munindo G da topologia pro-p, dizemos que um par (Gbp, ν) é um completa-
mento pro-pde G, no qualGbp é um grupo pro-p e ν : G → Gbp é um homomorfismo contínuo, quando ν(G) =Gbp e, para quaisquer H grupo pro-p e f : G → H homomorfismo contínuo, existir um único ϕ :Gbp → H homomorfismo contínuo tal que ϕ ◦ ν = f.
Antecipadamente, já fixamos acima a notação para completamentos pois, como de praxe com objetos universais, mostra-se a unicidade dos completamentos, a menos de isomorfismo topológico.
Teorema 2.2.14. Seja G um grupo arbitrário. Então:
i. Existem (G, ιb ) e (Gbp, ν) completamentos profinito e pro-p de G, respectivamente;
ii. Se Gb1 e Gb2 são completamentos profinitos (ou pro-p) de G com respectivas funções ι1 : G → b
G1 e ι2 : G →Gb2, então existe um único isomorfismo de grupos topológicos ϕ :Gb1 →Gb2 tal que ϕ ◦ ι1 = ι2.
Demonstração. A existência de completamentos de um grupo qualquer já foi essencialmente ve-
rificada, e por isso apenas a esboçaremos aqui. Primeiramente, deve-se notar que ambos N := N(G) = {N /G | [G : N] < ∞} e Np := Np(G) = {N /G | [G : N] < ∞ e G/N é p-grupo} são dire-
cionados, similarmente ao Exemplo 2.1.8. Define-se entãoGb = lim
←− N ∈NG/N eGbp = lim←−N ∈NpG/N,
com as aplicações naturais ι(g) = (gN)N ∈N e ν(g) = (gN)N ∈Np. Ambas são homomorfismos
contínuos, pelas definições das topologias profinitas e pro-p. De maneira análoga ao feito nas demonstrações dos teoremas 2.2.7 e 2.2.8, ι(G) ⊂Gb e ν(G) ⊂Gbp são densos. E, de modo inteira- mente análogo ao feito na prova do item (v) da Proposição 2.2.12, Gb e Gbp possuem as respectivas propriedades universais dos completamentos profinito e pro-p.
Verifiquemos a unicidade no caso profinito (o caso pro-p é inteiramente análogo). Da pro- priedade universal dos completamentos, existem únicos ϕ := ϕ1 : Gb1 → Gb2 e ϕ2 : Gb2 → Gb1 homomorfismos contínuos tais que (ϕ ◦ ϕ2) ◦ ι2 = ι2 e (ϕ2◦ ϕ) ◦ ι1 = ι1. Mais uma vez da universa-
lidade, id b
G1 e idGb2 são os únicos homomorfismos contínuos tais que idGb2
◦ ι2 = ι2 e id b
G1 ◦ ι1 = ι1.
O resultado segue-se.
Como consequência da construção dos completamentos, as aplicações ι : G →Gb e ν : G →Gbp são injetivas se, e somente, G é um grupo, respectivamente, residualmente finito ou residualmente
p, isto é, a interseção de seus subgrupos normais de índice finito é trivial (respectivamente, a
interseção de seus subgrupos normais cujos índices são potências de p é trivial).