Keywords: boundary, stiffened, analítica, damage, condensation

No documento UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitor: Profa. Titular SUELY VILELA SAMPAIO. Vice-Reitor: Prof. Titular FRANCO MARIA LAJOLO (páginas 161-165)

Linha de Pesquisa: Métodos Numéricos.

1 Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, lgobo@sc.usp.br

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br

Luciano Gobo Saraiva Leite & Wilson Sérgio Venturini 150

1 INTRODUÇÃO

O método dos elementos de contorno é uma técnica numérica já comprovada para a análise de vários problemas de engenharia. A análise te tensões em meios finitos e infinitos tem sido objeto de uso do método desde sua proposição inicial na forma direta (Rizzo, 1967).

A formulação do método dos elementos de contorno para o tratamento de enrijecedores sempre foi feita via combinação com o método dos elementos finitos. O domínio maior onde está definido o problema é equacionado via MEC, enquanto que os enrijecedores, usualmente definido em espaços de dimensões menores (barras ou fibras para os domínios bidimensionais) são equacionados via MEF. Foram muitos os trabalhos já elaborados sobre esse assunto; como exemplos são citados aqui os trabalhos dos autores (Coda e Venturini, 1995, 1999a,b).

Na modelagem a ser seguida neste trabalho adota-se uma formulação já utilizada anteriormente pelo autor (Venturini, 1992), onde as forças de interface são eliminadas. Numa primeira análise, o equilíbrio local está automaticamente garantido nas equações integrais do sólido; valores de forças de superfície em pontos da interface não aparecem no sistema de equações, podendo ser obtidos como valores decorrentes após a solução do problema. Numa segunda análise os valores dos deslocamentos são eliminados das equações de equilíbrio, o qual será levado em conta a o equilíbrio de forças na interface. Todos os domínios que formam o corpo são equacionados e as respectivas representações algébricas obtidas. Combinando-as pode-se facilmente impor o equilíbrio nas interfaces ainda a partir das representações exatas, portanto antes da discretização e aproximação das variáveis.

Para as sub-regiões esbeltas, onde a proximidade de duas interfaces pode causar instabilidade numérica pela dependência dos graus de liberdade escolhidos, hipóteses simplificadoras (Bernoulli-Navier) são levadas em conta, diminuindo-se o número de grau de liberdade e utilizando-se apenas os que são cinematicamente independentes, garantindo, portanto, a solução do sistema.

Por fim, aproveitando da formulação para domínios esbeltos, será analisado a degeneração de um domínio esbelto, segundo as leis não-lineares da mecânica do dano, a qual dará origem ao fraturamento do sólido.

2 METODOLOGIA

O trabalho utiliza basicamente de métodos numéricos e computacionais para análise. Primeiramente foi feita uma ampla revisão bibliográfica sobre o assunto, principalmente nos trabalhos desenvolvidos no departamento de Eng. De Estruturas da EESC.

Para análise do equilíbrio da interface foi adotado a técnica de eliminação de variáveis segundo equilíbrio estático dos nós da superfície, caso da eliminação dos deslocamentos no sistema algébrico e da compatibilidade de deslocamentos no caso de se eliminar as forças de superfície das equações gerais.

Na condensação de domínios, o mesmo foi condensado em uma linha central, onde primeiramente o domínio assume comportamento mecânico de fibra e numa segunda análise o comportamento de viga, introduzindo a equação de rotação na linha central.

Na integração analítica de todos os elementos, os elementos de contorno foram integrados segundo eixo local coincidente com a orientação de cada elemento e o resultado foi rotacionado para a orientação dos eixos globais. No caso de elementos de área ou de domínio, as integrais analíticas foram feitas nos eixos globais.

Na análise de degeneração de um domínio estreito por leis não lineares de dano, se utilizará as leis constitutivas de dano simples e de dano do concreto, como mostra os trabalhos de (Botta,2003)

Desenvolvimento de modelos numéricos para análise de problemas de interação de...

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 149-152, 2006 151

Figura 1 – Região com domínios distintos.

Na formulação de multi-domínios com a eliminação das forças de superfícies da interface, aparecem as equações dos pontos de interface.

dΓ Onde E é o modulo de elasticidade da subregião, o sub-índice k se refere a subregião a ser analisada. Para os pontos de interface o termo cij é igual a 1 para os nós na interface. Tem-se então o seguinte sistema algébrico.

{ }

c Onde o sub-índice e se refere a pontos da interface entre os domínios.

4 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS

A “Figura 2” mostra o deslocamento vertical de uma estaca de 20 de comprimento encravada num solo onde a relação entre a resistênica estaca/solo é de Eestaca/Esolo=10.

Figura 2 - Deslocamento vertical ao longo do fuste da estaca para força vertical aplicada.

Luciano Gobo Saraiva Leite & Wilson Sérgio Venturini 152

Para o caso da formulação onde se considera apenas as forças de superfície da interface nas equações de equilíbrio, os resultados foram bastante satisfatórios, mostrando precisão, principalmente no caso de inclusões onde o domínio delgado era bem mais rígido que o domínio principal.

5 CONCLUSÕES PARCIAIS

Nas hipóteses estudas até aqui foi notado uma grande precisão nos resultados de sólidos com domínios muito delgados, pelo fato de se eliminarem nas equações de equilíbrio ora as variáveis de deslocamentos ora as forças de superfície.

No caso da condensação de domínios a formulação se mostrou bastante satisfatória, como pode ser visto na “Figura 2”, pois nesse caso os nós estão muito próximos um dos outros e uma análise tradicional bi-dimensional do mesmo acarretaria em um sistema algébrico com dependência linear.

A técnica de integração analítica se mostrou bastante precisa evitando erros de aproximação das integrais numéricas. Mesmo nas posições onde o ponto fonte está muito próxima do elemento, tal técnica não perdeu a precisão, não sendo necessário a utilização de técnica de sub-elementação.

6 AGRADECIMENTOS

Ao apoio além do orientador deste trabalho, também do Professor Humberto Breves Coda, do Doutor em Engenharia de Estruturas Alexandre Sampaio Botta e ao doutorando Wilson Wesley Wutzol.

7 REFERÊNCIAS

BOTTA, A. S. (2003) Método dos elementos de contorno para análise de corpos danificados com ênfase ao fenômeno de localização de deformações. São Carlos.

Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

CODA. H. B.; VENTURINI, W. S. (1995), Three-dimensional transient BEM analysis.

Computer & Structures, v. 56, n. 5, p.751-768.

CODA, H. B.; VENTURINI, W. S. (1999), On the coupling of 3D BEM and FEM frame model applied to elastodynamic analysis. International Journal of Solids and Structures, v. 36, n. 31-32, p. 4789-4804.

CODA, H. B.; VENTURINI, W. S.; ALIABADI, M. H. (1999), A general 3D BEM/FEM coupling applied to elastodynamic continua/frame structures interaction analysis.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 46, n.5, p.695-712.

RIZZO, P. J. (1967) Na integral equation approach to boudary value problems of classical elastostatics. Quart. Appl. Math., v. 25, p 83-95.

VENTURINI, W. S. (1992) Alternative formulations of the boundary element method for potential and elastic zoned problems. Engineering Analysis, v. 9, n. 32, p. 203-207.

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 153-156, 2006

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS E

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