Neste estudo, como em qualquer estudo desta natureza, surgem limitações que estão direta ou indiretamente ligadas à investigação.
Uma limitação inicial foi a seleção de tarefas que proporcionassem aos alunos experiências estimulantes e interessantes e que tornassem possível o desenvolvimento do raciocínio matemático e, numa última fase, das tarefas a apresentar neste relatório, ou seja, perante várias tarefas relacionadas com os mais variados conceitos, senti dificuldades em fazer uma escolha restrita, pois todas têm o seu grau de significância.
O 9º ano, ano de escolaridade a que este estudo faz referência, é o ano em que os alunos têm o Exame Nacional de Matemática, pelo que os professores sentem a obrigação de cumprir à risca o programa e deixar aulas para os alunos poderem resolver exames anteriores ficando desta forma o tempo bastante condicionado, o que se torna outra limitação para este tipo de estudo.
Como recomendações para futuras investigações, seria pertinente realizar um estudo semelhante a este num período de tempo mais alargado, ou seja, em outros anos de escolaridade onde não existisse o pressionar de ter um exame “à porta” e, ainda, estudos em que se introduzisse outros recursos que apoiassem a resolução dos problemas e indagar acerca da sua relação (e.g. materiais manipuláveis). Ressalta-se ainda a importância de, em estudos futuros, incutir nos alunos o hábito de verificação da solução encontrada se adequar ou não ao contexto do problema.
Concluindo, considera-se importante continuar com este tipo de estudo, em que a resolução de problemas ganhe destaque, pois permite ao professor ter um conhecimento mais legível das dificuldades dos alunos e dos raciocínios envolvidos.
81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abrantes, P. (1989). Um (bom) problema (não) é (só)… Educação e Matemática, 8, 7-10 e 35. Abrantes, P. (2005). Intervenções em Educação Matemática. Lisboa: APM.
Albuquerque, C., Barroso, A. C., Gouveia, M. J., Nápoles, S., Sequeira, L., & Torres, M. M.(2013). Sobre o novo Programa de Matemática do Ensino Básico. Acedido em 12 de março, 2014, de http://www.fc.ul.pt/pt/noticia/30-09-2013/sobre-o-novo-programa-de- matem%C3%A1tica-do-ensino-b%C3%A1sico.
APM (1989). Parecer sobre os projetos de novos programas de Matemática para o Ensino Básico. Educação e Matemática, 9, 13-14 e 32.
APM (1998). Matemática 2001 – Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e Aprendizagem
da Matemática. Acedido em 12 de março, 2014, de
http://www.apm.pt/apm/2001/2001_d.htm.
APM (2009). Renovação do Currículo de Matemática. Lisboa: Autor.
Bidegáin, N. U. (1999). El aprendizaje cooperativo. Navarra: Departamento de Educación y Cultura.
Bogdan, R. C., & Biklen, S. K. (1994).Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora.
Burkhardt, H. (1983). An International Review of Applications in School Mathematics. Ohio: ERIC. Carrillo, J. (2000). Aportaciones desde la resolución de problemas a la construcción de
conocimientoprofesional. Quadrante, 9 (2), 27-54.
Charles, R., Lester, F., & O’Daffer, P. (1994). How to evaluate progress in problem solving. Reston: NCTM.
Corts, A. V., & Callejo de la Vega, M. L. (2004). Matemática para aprender a pensar. Porto: ASA Editores.
Denzin, N. K. (2009). The Research Act: a Theorical Introduction to Sociological Methods. New Jersey: Transaction Publishers.
Díaz, M. V., & Poblete, A. (2001). Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula. Revista de didáctica de las matemáticas,45, 33-41.
Dreyfus, T. (1991).Advanced Mathematical Thinking Processes. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 25-41). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
82
Esteves, A. (2010). Resolução de problemas no tema Lugares Geométricos: O papel dos recursos na atividade matemática dos alunos, Relatório de Prática de Ensino Supervisionada, Universidade de Lisboa.
Estrada, M. F., Sá, C. C., Queiró, J. F., Silva, M. C., & Costa, M. J. (2000). História da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.
Fonseca, L. (1997). Processos utilizados na resolução de problemas por futuros professores de Matemática. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 39-70). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas. Frank, M. L. (1992). Resolução de problemas e concepções acerca da Matemática. Educação e
Matemática, 21, 21-23.
Frederiksen, N. (1984). Implications of Cognitive Theory for Instruction in Problem Solving. Review of Educational Research, 54(3), 363-407.
GAVE (2004). Resultados do Estudo Internacional PISA 2003. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2006). Reflexão dos Docentes do 3º ciclo sobre os Resultados do Exame de Matemática de 2005, Relatório Técnico, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2010). Relatório – Um olhar sobre os resultados dos exames nacionais. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2011). Exames Nacionais – Relatório 2010. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2012). Exames Nacionais – Relatório 2011. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2013). Relatório – Provas Finais de Ciclo e Exames Finais Nacionais 2012. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2013a). Análise preliminar dos resultados –ProvasFinais de Ciclo e Exames Finais Nacionais 2013. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. Gonçalves, M. I., & Viseu, F. (2013). Aprendizagem dos modelos de grafos, por alunos de MACS
do 11.º ano, através da resolução de problemas. In B. D. Silva, L. S. Almeida, A. Barca, M. Peralbo, A. Franco, & R. Monginho (Orgs.), Atas do XII Congresso Internacional Galego-Português de Psicopedagogia (pp. 4537-4552). Braga: Centro de Investigação em Educação, Instituto de Educação, Universidade do Minho.
83
Johnson, D. W., Johnson, R. T., & Holubec, E. J. (1994). Cooperative Learning in the Classroom. Virginia: ASCD.
Kantowski, M. G. (1977). Processes Involved in Mathematical Problem Solving. Journal for Research in Mathematics Education, 8(3), 163-180.
Krulik, S., & Rudnick, J. A. (1993).Reasoning and Problem Solving: A Handbook for Elementary School Teachers. Boston: Allyn and Bacon.
Lopes, A. V., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J. M., Oliveira, M. J.C., Delgado, M. J., Bastos, R., & Graça, T. (1992). Atividades matemáticas na sala de aula. Lisboa: Texto Editora.
Martinho, M. H. (2007). A comunicação na sala de aula de matemática: um projeto colaborativo com três professoras do ensino básico, Tese de Doutoramento, Universidade de Lisboa. Mayer, R. E. (2003). Mathematical Problem Solving. In Royer, J. M., Mathematical Cognition (pp.
69-92). Greenwich: Information Age Publishing.
Ministério da Educação (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais. Lisboa: Ministério da Educação – Departamento de Educação Básica.
Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Autor. Ministério da Educação (2013). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Autor. NCTM (1991). Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: APM. NCTM (1994). Normas Profissionais para o Ensino da Matemática. Lisboa: APM.
NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.
Palhares, P. (1997). Histórias com problemas construídas por futuros professores de Matemática. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 159-187). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas. Penerroud, P. (1999). Dix nouvelles compétences pour enseigner: Invitation au voyage. Paris:
ESF.
Pereira, M. (2012). Contributos de um ambiente de geometria dinâmica (Geogebra) e do geoplano na compreensão das propriedades e relações entre quadriláteros: Um estudo com alunos do 4º ano, Dissertação de Mestrado, Instituto Politécnico de Lisboa.
Polya, G. (1985). A Arte de Resolver Problemas: Um novo aspeto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência.
84
Ponte, J. P. (1992). Problemas de matemática e situações da vida real. Revista de Educação, 2(2), 95-108.
Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o desenvolvimento
curricular (pp.11-34). Lisboa: APM.
ProjAVI (2013). PISA 2012, Portugal – Primeiros Resultados. Lisboa: Grupo de Projeto para a Avaliação Internacional de Alunos do Ministério da Educação.
Salvador, C. C. (1997). Aprendizaje escolar y construcción del conocimiento. Barcelona: Paidós Educador.
Savenye, W. C., & Robinsom, R. S. (2001). Qualitative research issues and methods: an introduction for educational technologists. In D. Jonassen (Ed.), Handbook of research for educational communications and technology (pp. 1171-1195). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Siemon, D., & Booker, G. (1990).Teaching and Learning FOR, ABOUT and THROUGH problem solving. Vinculum, 27(2), 4-12.
Slavin, R. E. (1995).Cooperative learning: theory research, and practice. Boston: Allyn and Bacon.
Sternberg, R. J. (2008). Cognitive Psychology. Belmont, CA: Wadsworth.
Teixeira, C. (2011). Resolução de Problemas em Contexto Geométrico: O Estudo de Triângulos no 7.º ano, Relatório de Prática de Ensino Supervisionada, Universidade de Lisboa. Vale, I. (1997). Desempenhos e concepções de futuros professores de Matemática na resolução
de problemas. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 1-37). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas. Vale, I., & Pimentel, T. (2004). Resolução de Problemas. In P. Palhares, Elementos de
Matemática para professores do Ensino Básico (pp. 7-51). Lisboa: Lidel.
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2013). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. Boston: Pearson.
Veloso, E. (2000). Geometria – Temas atuais. Lisboa: IIE.
Vieira, L., Cebolo, V., & Araújo, F. (2006). Resolução de Problemas. In P. Palhares & A. Gomes (Orgs.), MAT1C – desafios para um novo rumo (pp. 39-47). Braga: IEC-UM.
85
87
ANEXO 1
88
Exma. Senhora Presidente da CAP Agrupamento de Escolas de ____ No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário da Universidade do Minho, eu, Juliana Braga, tendo em conta o Projeto de Intervenção Pedagógica Supervisionada (Estágio) sob o tema A resolução de problemas no ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade pretendo recolher produções dos alunos às diversas tarefas e efetuar gravações áudio nas aulas de Matemática para recolha de dados de forma a possibilitar tal estudo.
Estes instrumentos que decorrem da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem contribuirão para a compreensão e melhoria dessas práticas, sendo necessário efetuar tais recolha de dados.
Quer no processo de recolha de dados quer numa análise futura destes, comprometo- me a garantir o anonimato em relação à identidade dos alunos e, ainda, a enviar um pedido de autorização devidamente endereçado a todos os encarregados de educação da referida turma. Assim, solicito a autorização de V. Exa., de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica supervisionada.
Agradeço a sua atenção.
Com os mais respeitosos cumprimentos.
______, 09 de novembro de 2013 A Professora Estagiária
___________________________ (Juliana Maria Prado Braga)
Autorização
____ de ______________ de 2013
A Presidente da CAP
___________________________ ( )
89
ANEXO 2
90
Exmo.(a) Senhor (a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a) _________________________________ n.º___ da turma __ do 9.º ano
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário da Universidade do Minho, eu, Juliana Braga, tendo em conta o Projeto de Intervenção Pedagógica Supervisionada (Estágio) sob o tema A resolução de problemas no ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade pretendo recolher produções dos alunos às diversas tarefas e efetuar gravações áudio nas aulas de Matemática para recolha de dados por forma a possibilitar tal estudo.
Estes instrumentos que decorrem da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem contribuirão para a compreensão e melhoria dessas práticas, sendo necessário efetuar tais recolha de dados.
Quer no processo de recolha de dados quer numa análise futura destes, comprometo- me a garantir o anonimato em relação à identidade do seu educando, bem como dos restantes alunos da turma.
Após a autorização concedida pela Presidente da CAP, solicito de igual modo autorização a V. Exa., de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica supervisionada.
Agradeço a sua colaboração.
Com os mais respeitosos cumprimentos.
_________, 18 de novembro de 2013 A Professora Estagiária
___________________________ (Juliana Maria Prado Braga)
(nome) ________________________________________________, Encarregado(a) de Educação, do(a) aluno(a) __________________________________, n.º _____, declaro que autorizo a recolha das produções às diversas tarefas e a gravação áudio das referidas aulas.
______________________________________ (Assinatura do Encarregado(a) de Educação)
91
ANEXO 3 Questionário
99
ANEXO 4
100
Escola Básica ___________________ Lugares Geométricos
9.º ano Turma: 1. O tesouro perdido
Imagina que o teu grupo encontra uma mala antiga que contém um mapa de uma ilha (Figura 1) onde estão assinalados cinco pontos importantes que permitem descobrir um tesouro e um código que diz o seguinte:
“O tesouro está a menos de 1km das palmeiras, a mais de 2km
do barco, a mais de 3km da árvore e igualmente distanciado do monte de areia fantasma e do local para onde se dirige a tartaruga”.
Conseguirá o teu grupo encontrar o tesouro?
Figura 1
Nota: Deves assinalar a cor azul o local onde se encontra o tesouro. A: Árvore
B: Barco
M: Monte de areia fantasma P: Palmeiras
T: Local para onde se dirige a tartaruga
101
Escola Básica ____________________ Retas e circunferências
9.º ano Turma: O centro da mó do moinho
O Xavier e os amigos foram visitar um moinho em ruínas. Do moinho de pedra só resta a mó que ajudou a moer o milho de muitos fazendeiros. Ao olhar para o a mó o Xavier disse aos amigos:
“Parece que o furo da mó não está no seu centro” O Senhor António, dono do moinho, propôs-lhes o desafio:
“Digam lá então se o furo está ou não no centro da mó?”
Será que podes ajudar o Xavier e os amigos a descobrir se o furo se encontra ou não no centro da mó?
102
Escola Básica __________________ Retas e circunferências
9.º ano Turma: Vamos desvendar as propriedades
O pai do Gonçalo é Professor de Matemática e como os seus alunos se portam exemplarmente nas aulas, decidiu presentear cada aluno com uma frase que o caracterizava. Decidiu entregar cada uma das frases num envelope, pedindo ajuda ao Gonçalo, pois seria uma forma de ver como ia a sua matemática.
Apresentou-lhe a sua ideia dizendo que queria que o envelope fosse colado numa base circular de maneira que os lados desse envelope formassem arcos geometricamente iguais dois a dois.
O Gonçalo no dia seguinte deixou o seguinte esquema na secretária do pai com um comentário:
As afirmações do Gonçalo estarão corretas? Após verificares se sim ou não conseguirás desvendar as propriedades que ele descobriu?
Pai, aqui está a construção
que me pediste. Os arcos a
vermelho são
geometricamente iguais
assim como os arcos a lilás.
Como és professor de
matemática deixo-te só
marcada a amplitude de um
ângulo.
Ah, depois digo-te uma
propriedade muito
interessante que descobri
103
Escola Básica __________________ Retas e circunferências
9.º ano Turma: O lago de água quente
Num parque de uma cidade existe um lago retangular com uma ilha circular. Um engenheiro decidiu construir um lago com a forma de dois triângulos isósceles geometricamente iguais com um lado em comum nessa ilha de maneira a tornar o local mais atrativo para as pessoas. Mas esqueceu-se de construir uma ponte. O Presidente da Câmara decidiu abrir um concurso para o projeto de construção de uma ponte para
que as pessoas pudessem elas próprias verificar que a água era quente. O projeto tinha de obedecer a um único critério: a ponte tinha de ser tangente à ilha e ser perpendicular ao lado comum dos dois triângulos.
O João achou que poderia participar no projeto, pois adorava trabalhar Geometria nas aulas de Matemática. Após alguns dias de trabalho o João foi apresentar o seu projeto. Mas como é muito brincalhão e gosta também de desafiar os conhecimentos dos outros só deixou marcada a amplitude de um ângulo.
Como pode o Presidente da Câmara ter a certeza que a proposta de construção da ponte apresentada obedece ao critério pedido?