Capítulo 3 – Modelagem Matemática
3.2 Modelagem Transiente
O comportamento dinâmico de uma coluna de destilação é representado por um modelo matemático composto por equações algébricas, obtidas a partir das relações de equilíbrio e hidráulica, e por equações diferenciais ordinárias, provenientes do balanço global de massa e de energia em cada prato da coluna, balanço global de energia no refervedor e do balanço parcial para cada um dos componentes (BRITO, 1997).
Estes cálculos são realizados considerando os holdups (acúmulo de líquido) no refervedor e condensador constantes. Na fase vapor, o holdup é considerado desprezível em todos os pratos. Esta suposição pode ser levada em conta desde que a pressão seja de baixa a moderada. Considerando a representação em cascata utilizada para o modelo matemático no estado estacionário, as equações diferenciais para o modelo prato-a-prato são descritos a seguir:
Balanço global para o prato j
𝑑
𝑑𝑡(𝑀𝑗) = 𝐿𝑗+1+ 𝑉𝑗−1− 𝐿𝑗− 𝑉𝑗+ 𝐹𝑗
𝐿 + 𝐹
𝑗𝑉− 𝑊𝑗𝑉− 𝑊𝑗𝐿 (3.7)
Balanço de massa para o componente i no prato j
𝑀𝑗 𝑑
𝑑𝑡(𝑥𝑖,𝑗) = 𝐿𝑗+1∙ 𝑥𝑖,𝑗+1+ 𝑉𝑗−1∙ 𝑦𝑖,𝑗−1− 𝐿𝑗∙ 𝑥𝑖,𝑗− 𝑉𝑗∙ 𝑦𝑖,𝑗+
𝐹𝑗𝐿∙ 𝑥𝑖,𝑗𝐹 + 𝐹𝑗𝑉 ∙ 𝑦𝑖,𝑗𝐹 − 𝑊𝑗𝑉∙ 𝑦𝑖,𝑗− 𝑊𝑗𝐿∙ 𝑥𝑖,𝑗− 𝑥𝑖,𝑗 𝑑
𝑑𝑡(𝑀𝑗) (3.8)
Balanço global de energia no prato j
𝑀𝑗 𝑑
𝑑𝑡(ℎ𝑗) = 𝐿𝑗+1∙ ℎ𝑗+1+ 𝑉𝑗−1∙ 𝐻𝑗−1− 𝐿𝑗∙ ℎ𝑗− 𝑉𝑗∙ 𝐻𝑗+
𝐹𝑗𝐿∙ ℎ𝑗𝐹+ 𝐹𝑗𝑉 ∙ 𝐻𝑗𝐹− 𝑊𝑗𝑉∙ 𝐻𝑗− 𝑊𝑗𝐿∙ ℎ𝑗− ℎ𝑗 𝑑
Capítulo 3 – Modelagem Matemática
23 Balanço de energia no refervedor
𝐶𝑚𝑟 𝑑
𝑑𝑡(𝑇𝑟) = 𝑄𝑟− 𝑈𝑟𝑎𝑟∙ (𝑇𝑟− 𝑡1) (3.10)
O modelo dinâmico apresenta dois graus de liberdade e normalmente são fixadas a vazão de refluxo e a vazão de vapor do refervedor. Devido a existência simultânea de equações diferenciais e algébricas, tem-se um sistema de resolução complexa, no entanto, vários modelos podem ser obtidos a partir de simplificações. A seguir serão apresentaremos dois modelos matemáticos que podem ser obtidos a partir dessas simplificações.
O primeiro modelo apresenta o holdup de líquido variável e o balanço de energia expresso na forma algébrica. Como o holdup de líquido é variável, as vazões de líquido que deixam um prato podem ser calculadas a partir da quantidade de líquido que chega neste prato e as vazões de vapor continuam sendo calculadas através do balanço de energia. Quando se considera a variação da pressão em cada estágio, faz-se necessário incluir o balanço de energia na forma diferencial, ou seja, considerando o acúmulo de energia com o tempo em cada prato. Este é o caso do segundo modelo, onde todos os balanços são representados por equações diferenciais. Logo, uma vez que o balanço global de energia se encontra na forma diferencial, a equação a vazão de vapor que deixa o prato não pode ser calculada através do balanço global de energia. Sendo assim, para o cálculo da vazão de vapor utiliza-se a abordagem da “hidrodinâmica do vapor”.
Admitindo-se que o prato é do tipo perfurado, considera-se a perda de carga existente através dos orifícios quando o prato está seco e a perda de carga causada pelo nível de líquido no prato. Neste caso, a pressão é calculada através da entalpia da fase líquida e não é necessário realizar cálculo de ponto de bolha. Para este modelo, os valores iniciais são os mesmos adotados no primeiro caso, incluindo a entalpia da fase líquida em cada prato. Ainda neste caso, a pressão no condensador é considerada constante e este valor deve ser fornecido no início dos cálculos (BRITO, 1997).
Para os modelos matemáticos que não consideram constante o holdup de líquido de cada prato, faz-se necessário utilizar uma equação que relacione o holdup de líquido do prato com a vazão de líquido que deixa este prato. Nesta abordagem, a equação de Francis foi utilizada para obter a relação entre o holdup de líquido e a vazão de líquido que deixa o prato. A Figura 3.3 mostra o esquema utilizado na modelagem da hidráulica de um prato da coluna. A especificação
Capítulo 3 – Modelagem Matemática
24 do prato é conseguida através da fixação do diâmetro do prato (D), da altura do vertedouro (hw) e do comprimento do vertedouro (Lw). A variável how representa o nível de líquido acima da altura do vertedouro e é responsável direta pela vazão de líquido que deixa o prato. A dinâmica do vertedouro não foi considerada nesta abordagem. Para todos os modelos, incluindo os que consideram o holdup de líquido variável, a equação de Francis é utilizada para calcular o holdup de líquido inicial.
𝐿𝑗 = 𝐿𝑤,𝑗∙ 1,839 ∙ ℎ𝑜𝑤1,5 (3.11)
O valor da altura how é calculado transformando-se o holdup molar em holdup volumétrico e em seguida, divide-se o holdup volumétrico pela área do prato, obtendo-se a altura total de líquido no prato. Ao subtrair o valor da altura do vertedouro, hw, da altura total de líquido, obtém-se o valor de how.
Figura 3.3. Esquema utilizado na representação matemática do prato perfurado.
Fonte: Adaptado de Brito, 1997.
Como citado anteriormente, o segundo modelo considera a pressão em cada prato variável com o tempo. Neste caso, a vazão de vapor é calculada a partir da perda de carga quando o prato está vazio e, da perda de carga causada pela altura de líquido no prato, conforme as equações 3.12 e 3.13 (BRITO, 1997).
𝑃𝑗−1− 𝑃𝑗 = 𝜌𝐿,𝑗 ∙ (ℎ𝐿,𝑗+ ℎ𝑜𝑤,𝑗) + 𝐾𝑑ℎ,𝑗 ∙ 𝜌𝑣,𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗2 (3.12)
Capítulo 3 – Modelagem Matemática
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3.3 Conclusão
A modelagem matemática de colunas de destilação é um tópico consolidado na literatura e o seu entendimento é de grande importância para o desenvolvimento de estudos relacionados a esta operação unitária, em especial quando se deseja utilizar softwares de simulação de processos, como o Aspen Plus® ou Aspen Plus Dynamics®.
A existência simultânea de equações diferenciais e algébricas na modelagem dinâmica torna a resolução do sistema de equações complexa. Devido a este fato, vários modelos são obtidos a partir de considerações que visam simplificar a resolução destes sistemas. No entanto, devido a disponibilidade de softwares computacionais, capazes de realizar cálculos com bastante rapidez e alta precisão, é possível simular colunas de destilação levando-se em consideração a maior quantidade possível de dados e características do processo, gerando resultados bem próximos dos obtidos em sistemas reais.