Modelo ARX para elastomassas com degrau sem ruído

Pelo fato das estruturas não estarem sujeitas a ruídos, os parâmetros estimados para as mesmas temperaturas serão sempre os mesmos, não havendo a necessidade a repetição das simulações. Desta forma, foi realizada uma simulação para cada temperatura.

A análise transitória das elastomassas ponte dupla sem ruído apresenta características semelhantes quando simuladas em diferentes temperaturas, sendo que a mesma característica foi observada para as elastomassas com dobradiça.

Um dos critérios de análise para verificar a eficiência da estimação dos parâmetros foi o erro médio percentual absoluto obtido nas diversas temperaturas. Para topologia ponte dupla foi observado um erro médio crescente com o aumento da temperatura, variando de 0,0003% a 0,0084%, enquanto que a topologia dobradiça apresentou oscilações entre 0,0004% e 0,0044%. Em ambas as topologias, o erro médio percentual absoluto apresentou valores satisfatórios quanto à estimação dos parâmetros, pois ele mede o afastamento médio das previsões em relação aos valores observados, constituindo na média dos erros da previsão. Segundo Mentzer e Bienstock (1998), seu valor ideal seria igual a zero, pois o erro médio tende a zero na medida em que os erros negativos e positivos se compensam. Os valores para o erro médio percentual para ambas as topologias em estudo está apresentada na tabela 4.1.

Tabela 4.1: Erro médio percentual absoluto da estimação dos parâmetros para ponte dupla e dobradiça, ambas sem ruído.

273k 293k 313k 333k 353k 373k Média Ponte Dupla 0,0003 0,0003 0,0011 0,0033 0,0058 0,0084 0,0033

Dobradiça 0,0009 0,0016 0,0004 0,0017 0,0044 0,002 0,0027

Um comparativo entre o modelo real e a resposta do modelo estimado obtida para uma das temperaturas simuladas é observada na figura 4.2. Pode-se observar a presença de um regime de operação transitório e outro de operação permanente. A força aplicada a partir do instante zero, tendo a posição inicial da elastomassa o ponto zero e um sinal de entrada na forma degrau sem ruído gera o movimento oscilatório no início do deslocamento, caracterizando o regime transitório. Com o decorrer do tempo, o movimento oscilatório tende a diminuir, isto é, amortecer, devido à atuação de forças de resistência, obrigando a estrutura a operar em regime de estabilidade caracterizando o regime de operação permanente.

Figura 4.2: Comparativo entre o modelo real e a resposta estimada na temperatura de 303K para: (a) ponte dupla sem ruído e (b) dobradiça sem ruído.

No modelo obtido para elastomassas ponte dupla e dobradiça, (figura 4.2) foi possível verificar a sobreposição da dinâmica do modelo estimado sobre a resposta real, isto é, o modelo reproduz perfeitamente a dinâmica real, tanto no regime transitório quanto no permanente. A avaliação quantitativa pode ser feita através do erro percentual entre a dinâmica experimental da plataforma de testes em relação ao modelo estimado. Verificou-se que no regime transitório das elastomassas ponte dupla, o índice de erro máximo para cada simulação cresceu com o aumento da temperatura, variando de 0,06% (273K) até 1,3% (373K) nos instantes iniciais das simulações. Para o regime transitório das elastomassas com dobradiça, o erro máximo também apresentou comportamento crescente com o aumento da temperatura, variando de 0,12% (273K) até 1,20% (373K) nos instantes iniciais. Após estes instantes, o erro diminui consideravelmente tendendo a zero para ambas as estruturas devido ao fato de estar em regime estacionário.

Para a estimação dos parâmetros foi utilizado o discretizador Tustin, pois segundo Bedendo (2012), foi o método de melhor estimação para os mesmos. Os parâmetros θi, i = 1, ..., 5 foram estimados conforme as equações 4.1 a 4.5, respectivamente

( ) (4.1) ( ) (4.2) ( ) (4.3) ( ) (4.4) ( ) (4.5)

onde M representa a massa do corpo oscilante em kg, D o amortecimento em N.m/s2, K o coeficiente de elasticidade em N/m e Ta o tempo de amostragem em s.

Os valores dos parâmetros estimados para as diferentes temperaturas para elastomassas ponte dupla e dobradiça, ambas sem ruído, encontram-se nas tabelas 4.2 e 4.3, respectivamente.

Tabela 4.2: Parâmetros estimados do modelo ARX nas diferentes temperaturas de estudo para elastomassas ponte dupla sem ruído.

/T(k) 273 293 313 333 353 373 ̂ -0,674906 -0,674888 -0,674837 -0,674751 -0,674635 -0,674491 ̂ 0,959739 0,959358 0,95895 0,958511 0,958044 0,957552 ̂ 0,220488 0,267213 0,31399 0,360796 0,40764 0,454492 ̂ 0,428328 0,399776 0,371124 0,342435 0,31369 0,284946 ̂ 0,21577 0,259325 0,302899 0,346448 0,389985 0,43348

Tabela 4.3: Parâmetros estimados do modelo ARX nas diferentes temperaturas de estudo para elastomassas dobradiça sem ruído.

/T (k) 273 293 313 333 353 373 ̂ -0,8543 -0,8543 -0,8542 -0,8542 -0,8541 -0,8540 ̂ 0,9627 0,9624 0,9621 0,9618 0,9614 0,9610 ̂ 0,2355 0,2810 0,3266 0,3723 0,4180 0,4637 ̂ 0,4531 0,4140 0,3749 0,3357 0,2964 0,2572 ̂ 0,2301 0,2725 0,3149 0,3572 0,3996 0,4420

Também foi avaliada a discrepância existente entre os resultados, através do comparativo dos erros entre os dados da plataforma de teste e o modelo estimado para as diferentes temperaturas de estudo e topologias. Os erros registrados foram inferiores a 1% para ambas as topologias, o que demonstra a eficiência da estimação dos parâmetros. A figura 4.3 apresenta o erro relativo percentual entre a plataforma de testes e o modelo para uma das temperaturas analisadas nas duas topologias.

Figura 4.3: Erro relativo percentual entre plataforma de testes e o modelo ARX (sem ruído) de elastomassas para (a) ponte dupla e (b) dobradiça na uma temperatura de 303K.

Outra maneira de verificar a eficiência dos parâmetros obtidos é pelo índice estatístico RMSE. Os valores próximos de zero para este índice indicam pouca variação entre os parâmetros obtidos e os estimados. O índice obtido nas simulações com diferentes temperaturas e topologias foi analisado em todas as estimações. A tabela 4.4 apresenta o menor, o maior e a média desses valores. Tanto os valores do RMSE obtidos na estimação

dos parâmetros quanto a média dos mesmos são próximos de zero, o que comprova a efetividade do método de estimação.

Tabela 4.4: Média dos valores do índice RMSE para avaliação do modelo ARX determinístico de elastomassas MEMS sem ruído.

RMSE Ponte Dupla Dobradiça

Valor Mínimo 1,07621x10-4 1,23017x10-4

Valor Médio 1,07643x10-4 1,23056x10-4

Valor Máximo 1,07665x10-4 1,23095x10-4

Uma maneira para validar a eficiência do modelo é através da validação cruzada, que consiste em verificar se este responde da mesma forma que o modelo medido a diferentes dados daqueles utilizados na estimação (MYERS, 1997). Assim, as respostas das elastomassas sujeitas a um sinal sinusoidal com amplitude de _{N foram obtidas e} percebeu-se que os valores preditos pelo modelo discreto e os valores experimentais demonstram que a representação encontrada prediz de forma satisfatória a dinâmica do processo.

Em todas as análises nas diferentes temperaturas para elastomassas ponte dupla foi observada que a resposta do modelo obtido apresentou uma amplitude menor que o modelo real. Para as dobradiças, a análise foi semelhante, porém apresentando uma diferença maior entre a amplitude do modelo obtido e a amplitude do modelo real. O processo de validação cruzada foi realizado para todas as temperaturas em estudo e para as duas estruturas, sendo considerado satisfatório por apresentarem a manutenção da estrutura dos dados. Na figura 4.4 está apresentada a aplicação deste processo para uma das temperaturas em estudo.

Figura 4.4: Resposta do modelo ARX obtido para a temperatura de 313K em (a) ponte dupla sem ruído e (b) dobradiça e sem ruído.

Considerando-se a precisão dos parâmetros obtidos, foi desenvolvido um conjunto de equações lineares que permitem calcular esses parâmetros para qualquer temperatura no intervalo de tempo estudado. Segundo Arenales e Darezzo (2010), uma das formas de se obter o ajuste de uma equação linear da forma y=a1 + a2x é através do método de mínimos

quadrados, conforme a equação 4.6

{ (∑ ) (∑ ) ∑ ( ) (∑ ) ∑ ( ) (4.6)

onde m representa o número de pontos, xi representa as abscissas e f(xi) as ordenadas destes

pontos, a2 e a1 os coeficientes angular e linear, respectivamente.

Assim, foi possível obter um conjunto de equações lineares que permitem realizar o cálculo dos parâmetros para qualquer temperatura presente no intervalo de estudo, isto é, de 273K a 373K, para elastomassas ponte dupla sem ruído (4.7) e dobradiça sem ruído (4.8) utilizando modelo ARX.

[ ] [ ] (4.7)

e [ ] [ ] (4.8)

onde representa a temperatura na qual deseja-se obter os parâmetros θ; a1 e a2 são

constantes que representam os coeficientes linear a angular, respectivamente.

Para comprovar a eficiência das equações (4.7) e (4.8), foram calculados os valores de θ para uma temperatura qualquer para ambas as estruturas e, a seguir, foram obtidos os valores dos θ para a mesma temperatura através da plataforma de testes. A análise comparativa dos valores mostrou um erro relativo percentual inferior a 10-3, o que comprova a eficiência da técnica aplicada.

A variação dos parâmetros que foram obtidos para as diferentes temperaturas está associada ao módulo de Young. A variação da constante de elasticidade em função da variação da temperatura faz com que as elastomassas se tornem mais maleáveis, ocasionando na variação dos parâmetros.