2.7 Modelos matemáticos para o estudo de shimmy e métodos experimentais
2.7.2 Modelo de roda de arrasto de Pacejka com um grau de liberdade
Pacejka (2006) utiliza um sistema de roda arrastada para analisar o shimmy, que é considerado pelo próprio autor como o modelo mais simples capaz de representar o fenômeno.
Figura 2.25 - Modelo de roda de arrasto e dois modos de entender o trail mecânico (𝑡𝑡). Fonte: Pacejka (2006).
Neste modelo, o eixo vertical rotativo move-se ao longo do eixo X com velocidade 𝑉𝑉. A variável do movimento é o ângulo de rotação da roda (𝛿𝛿) em torno do eixo de esterçamento. Esse eixo intercepta o plano da pista em uma distância 𝑡𝑡 (trail mecânico) à frente do centro de contato com o solo.
O sistema possui um amortecedor torcional com coeficiente de amortecimento 𝐶𝐶𝛿𝛿 e uma mola torcional com rigidez 𝑘𝑘𝛿𝛿. O momento de inércia em torno do eixo de esterçamento é 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑍𝑍, que é considerado constante, e despreza-se a massa do pneu.
O contato entre o pneu e o solo é modelado como uma linha reta tangente à borda dianteira da linha de contato real. Nesse modelo, a linha de contato é unicamente governada pela deflexão de sua extremidade dianteira (𝜈𝜈1).
As equações de movimento do sistema são:
𝐼𝐼𝑓𝑓𝑍𝑍. 𝛿𝛿̈ + 𝐶𝐶𝛿𝛿. 𝛿𝛿̇ + 𝑘𝑘𝛿𝛿. 𝛿𝛿 = −𝐹𝐹𝑦𝑦. 𝑒𝑒1+ 𝑀𝑀𝑧𝑧 (24) 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝛼𝛼. 𝛼𝛼 (25) 𝑀𝑀𝑧𝑧 = 𝑀𝑀𝑧𝑧′+ 𝑀𝑀𝑧𝑧∗ = −𝑘𝑘𝑀𝑀𝛼𝛼. 𝛼𝛼 − 𝑘𝑘∗.𝑑𝑑𝛿𝛿𝑑𝑑𝑠𝑠 (26) 𝛼𝛼 =𝜈𝜈1𝜎𝜎 (27) 𝑑𝑑𝜈𝜈1 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝜈𝜈1 𝜎𝜎 = 𝛿𝛿 − 𝑐𝑐. 𝑑𝑑𝛿𝛿 𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑠𝑠 (28) 𝑠𝑠 = 𝑥𝑥 = 𝑉𝑉. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝 (29) 𝑦𝑦 = −𝑡𝑡. 𝛿𝛿 (30)
onde 𝑘𝑘𝛼𝛼 é a rigidez de deriva, 𝑘𝑘𝑀𝑀𝛼𝛼 é a rigidez de alinhamento, 𝑘𝑘∗ = 𝑘𝑘𝑀𝑀𝑀𝑀 é a rigidez de torção, 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝 é a variável de tempo, 𝜎𝜎 é o comprimento de relaxamento (do inglês, relaxation length) e
𝑐𝑐 é a distância entre o centro da linha de contato e sua extremidade dianteira.
Introduzindo variáveis adimensionais normalizadas com relação ao comprimento de referência 𝑐𝑐0, que representa metade do comprimento de contato nominal, obtém-se:
𝑐𝑐̅ =𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜, 𝑠𝑠̅ = 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜, 𝑡𝑡̅ = 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑜𝑜, 𝑡𝑡� =𝑝𝑝 𝑘𝑘𝑀𝑀𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑜𝑜.𝑘𝑘𝛼𝛼, 𝜎𝜎� = 𝜎𝜎 𝑐𝑐𝑜𝑜, 𝜈𝜈� =1 𝜈𝜈1 𝑐𝑐𝑜𝑜, 𝜔𝜔��� = 𝜔𝜔𝑠𝑠 𝑠𝑠. 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑉𝑉� = 𝑉𝑉. �𝑘𝑘𝛼𝛼𝐼𝐼.𝑐𝑐𝑜𝑜3, 𝑘𝑘��� =∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑘𝑘𝛼𝛼.𝑐𝑐𝑜𝑜2 = 𝑘𝑘∗.𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝 𝑘𝑘𝑀𝑀𝛼𝛼.𝑐𝑐𝑜𝑜2, 𝐶𝐶��� =𝛿𝛿 𝐶𝐶𝛿𝛿 �𝐼𝐼𝑓𝑓𝑍𝑍.𝑘𝑘𝛼𝛼.𝑐𝑐𝑜𝑜 , 𝑘𝑘��� =𝛿𝛿 𝑘𝑘𝛿𝛿 𝑘𝑘𝛼𝛼.𝑐𝑐𝑜𝑜
Assim, eliminando a variável de tempo das equações e também todas as variáveis, exceto 𝛿𝛿 e 𝜈𝜈1, obtém-se as seguintes equações de movimento:
𝑉𝑉�2.𝑑𝑑2𝛿𝛿 𝑑𝑑𝑠𝑠̅2 + �𝐶𝐶���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘𝛿𝛿 ����.∗ 𝑑𝑑𝛿𝛿𝑑𝑑𝑠𝑠̅+ 𝑘𝑘���. 𝛿𝛿 + �𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡𝛿𝛿 � �.𝑝𝑝 𝜈𝜈1 ���� 𝜎𝜎� = 0 (31) 𝑑𝑑𝜈𝜈1���� 𝑑𝑑𝑠𝑠̅ + 𝜈𝜈1 ���� 𝜎𝜎� = (𝑡𝑡̅ + 𝑐𝑐̅). 𝑑𝑑𝛿𝛿 𝑑𝑑𝑠𝑠̅+ 𝛿𝛿 (32)
O sistema é linear e de terceira ordem. Assume-se que o comprimento de relaxamento do pneu é 𝜎𝜎 = 3𝑐𝑐, ou, com 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑜𝑜, a variável adimensional é 𝜎𝜎� = 3. Considera- se que o trail pneumático é igual a 𝑡𝑡𝑝𝑝 = 0,5𝑐𝑐 e 𝑡𝑡� = 0,5. 𝑝𝑝
A equação característica do sistema de equações anterior é:
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 �𝑉𝑉�2. 𝑝𝑝2 + �𝐶𝐶���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘𝛿𝛿 ����. 𝑝𝑝 + 𝑘𝑘∗ ���𝛿𝛿 𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡�𝑝𝑝 (𝑡𝑡̅ + 𝑐𝑐̅). 𝑝𝑝 + 1 −(𝜎𝜎�. 𝑝𝑝 + 1)� = 0 (33) ou: 𝜎𝜎�. 𝑉𝑉�2. 𝑝𝑝3+ �𝑉𝑉�𝟐𝟐+ 𝜎𝜎�. �𝐶𝐶 𝛿𝛿 ���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘�����. 𝑝𝑝∗ 2+ �𝐶𝐶 𝛿𝛿 ���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘��� + 𝜎𝜎�. 𝑘𝑘∗ ��� + �𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡𝛿𝛿 � �. (𝑡𝑡̅ + 𝑐𝑐̅)�. 𝑝𝑝 + 𝑡𝑡̅ +𝑝𝑝 𝑡𝑡� + 𝑘𝑘𝑝𝑝 ��� = 0 𝛿𝛿 (34)
onde 𝑝𝑝 é a variável de Laplace.
𝑎𝑎0. 𝑝𝑝3+ 𝑎𝑎1. 𝑝𝑝2+ 𝑎𝑎2. 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎3 = 0 (35)
Assim, comparando a equação característica do sistema (equação 35) com a sua forma geral, tem-se os seguintes coeficientes:
𝑎𝑎0 = 𝜎𝜎�. 𝑉𝑉�2
𝑎𝑎1 = �𝑉𝑉�𝟐𝟐+ 𝜎𝜎�. �𝐶𝐶���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘𝛿𝛿 ����� ∗
𝑎𝑎2 = �𝐶𝐶���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘𝛿𝛿 ��� + 𝜎𝜎�. 𝑘𝑘∗ ��� + �𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡𝛿𝛿 � �. (𝑡𝑡̅ + 𝑐𝑐̅)� 𝑝𝑝
𝑎𝑎3 = 𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡� + 𝑘𝑘𝑝𝑝 ��� 𝛿𝛿
De acordo com o critério de Hurwitz, as condições para estabilidade do movimento de um sistema de terceira ordem são:
• Todos os coeficientes 𝑎𝑎𝑖𝑖 da equação característica devem ser positivos:
𝑎𝑎0 > 0, 𝑎𝑎1 > 0, 𝑎𝑎2 > 0, 𝑎𝑎3 > 0 (36)
• Os determinantes de Hurwitz Hn−1, Hn−3, etc., devem ser positivos. Para um
sistema de terceira ordem:
H2 = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 �𝑎𝑎𝑎𝑎13 𝑎𝑎𝑎𝑎02� > 0 (37)
Os dois primeiros coeficientes da equação característica são sempre positivos. Assim, para os coeficientes restantes, a condição de estabilidade torna-se:
𝑎𝑎2 = �𝐶𝐶���𝛿𝛿. 𝑉𝑉�+ 𝑘𝑘�∗+ 𝜎𝜎�. 𝑘𝑘�𝛿𝛿 +�𝑡𝑡̅+ 𝑡𝑡��𝑝𝑝 .(𝑡𝑡̅+ 𝑐𝑐̅)� > 0 (38) 𝑎𝑎3 =𝑡𝑡̅+ 𝑡𝑡�𝑝𝑝+ 𝑘𝑘� > 0 𝛿𝛿 (39)
Por outro lado, conforme estabelecido pelo determinante H2:
É visto que, se as duas últimas condições são satisfeitas, a primeira é satisfeita automaticamente.
Segundo Pacejka (2006), se a condição 𝑎𝑎𝑠𝑠 = 𝑎𝑎3 > 0 é a primeira a ser violada, então o movimento torna-se um movimento instável monótono (instabilidade divergente, isto é, sem oscilações). Consequentemente, se 𝑡𝑡̅ < −(𝑡𝑡� + 𝑘𝑘𝑝𝑝 ���), então o eixo de esterçamento da 𝛿𝛿 direção encontra-se a uma distância −𝑡𝑡 atrás do centro de contato, cujo módulo é maior do que 𝑡𝑡𝑝𝑝+ 𝑘𝑘𝛿𝛿⁄ , e a roda oscila em torno de 180° para a nova situação estável. 𝑘𝑘𝛼𝛼
Se H2 é o primeiro termo a se tornar negativo, o movimento torna-se oscilatório e instável. As fronteiras das duas regiões de instabilidade são: 𝑎𝑎3 = 0 e H2 = 0 (PACEJKA, 2006).
No caso de eliminar o amortecimento (𝐶𝐶𝛿𝛿 = 𝑘𝑘∗ = 0), a condição de H2 se reduz a:
�𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡� �. (𝑡𝑡̅ − 𝑐𝑐̅ − 𝜎𝜎�) > 0 𝑝𝑝 (41)
Analisando no plano dos parâmetros (𝑡𝑡̅, 𝑉𝑉�), os limites da equação (40) reduzem-se a duas linhas paralelas: 𝑡𝑡̅ = 𝜎𝜎� + 𝑐𝑐̅ e 𝑡𝑡̅ = −𝑡𝑡� . Quando 𝑡𝑡̅ encontra-se entre esses dois valores, o 𝑝𝑝 ângulo 𝛿𝛿 oscila com amplitudes que aumentam exponencialmente em qualquer velocidade.
Conforme Pacejka (2006), quando o amortecimento é nulo, a velocidade e a rigidez torcional não influenciam a extensão da faixa de instabilidade. Entretanto, ambas afetam o grau de instabilidade e as frequências naturais (autovalores).
Se o sistema for amortecido, a situação limite pode ser considerada quando a velocidade 𝑉𝑉 tende a zero. Assim, a condição para estabilidade torna-se:
𝑘𝑘∗
��� + 𝜎𝜎�. 𝑘𝑘��� + �𝑡𝑡̅ + 𝑡𝑡𝛿𝛿 � �. (𝑡𝑡̅ − 𝑐𝑐̅) > 0 𝑝𝑝 (42)
que mostra que os valores de 𝑡𝑡̅ tornam se complexos se 𝑘𝑘��� + 𝜎𝜎�. 𝑘𝑘∗ ��� > (𝑡𝑡̅ − 𝑐𝑐̅)𝛿𝛿 2⁄ + 𝑡𝑡4 � . 𝑐𝑐̅. Isso 𝑝𝑝 implica que, nesse caso, a região de instabilidade separa-se do eixo 𝑡𝑡̅ no plano (𝑡𝑡̅, 𝑉𝑉�).
Na figura 2.26, a região de instabilidade é mostrada para diferentes valores de 𝐶𝐶��� 𝛿𝛿 e considerando 𝑘𝑘��� = 0. Pacejka (2006) também compara a influência dos diferentes modelos 𝛿𝛿 de contato sobre a estabilidade do movimento.
Figura 2.26 - Regiões de instabilidade para o sistema de roda arrastada para diferentes valores de amortecimento. Fonte: adaptado de Pacejka (2006).
O amortecimento reduz o tamanho da região de instabilidade e desloca o limite da direita para valores menores de velocidade.
A solução da equação característica contém um par de raízes puramente imaginárias. Substituindo 𝑝𝑝 por 𝑖𝑖𝜔𝜔��� na equação característica e separando o termo imaginário 𝑠𝑠 e o real, têm-se duas equações que podem ser reduzidas a apenas uma, eliminando o coeficiente de amortecimento total (𝐶𝐶���. 𝑉𝑉� + 𝑘𝑘𝛿𝛿 ���). Usando uma das duas equações, obtém-se ∗ uma expressão para a frequência adimensional da trajetória:
𝜔𝜔𝑠𝑠
���2 =𝑎𝑎3 𝑎𝑎1 =
𝑡𝑡̅+𝑡𝑡���+𝑘𝑘𝑝𝑝 ����𝛿𝛿
𝑉𝑉�2+𝜎𝜎�.(𝐶𝐶����.𝑉𝑉�+𝑘𝑘𝛿𝛿 ���)∗ (43)
A relação entre 𝑉𝑉� e 𝑡𝑡 ̅ é mostrada para certo número de valores de 𝜔𝜔𝑠𝑠 (frequência da trajetória). Quando 𝜔𝜔��� = 1 �𝜎𝜎�. �1 + 𝑡𝑡𝑠𝑠 � � �𝑝𝑝 = 0,47, surge um caso especial onde a curva da frequência reduz-se a uma linha reta com origem em �0, −𝑡𝑡� �. 𝑝𝑝
A figura 2.27 apresenta um diagrama que indica a influência do amortecimento 𝑘𝑘∗, que varia com a largura da banda de rodagem. Esse tipo de amortecimento é
especialmente efetivo em baixas velocidades. Isso é compreensível, pois o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente diminui de forma inversamente proporcional com o aumento da velocidade de avanço.
Figura 2.27 - Regiões de instabilidade do sistema de roda arrastada com rigidez torcional nula. Fonte: adaptado de Pacejka (2006).
Conforme a figura 2.28 retrata, a rigidez torcional da direção reduz a região instável do shimmy especialmente quando um nível de amortecimento suficiente é fornecido. Mesmo removendo o amortecimento, a região de oscilação instável permanece limitada pelas linhas horizontais obtidas por meio da equação (41).
De acordo com Pacejka (2006), a área de instabilidade divergente é reduzida por meio da ação restauradora da mola torcional em torno do eixo de esterçamento. Seu limite superior se reduz de acordo com o trail negativo −𝑡𝑡̅ = 𝑡𝑡� + 𝑘𝑘𝑝𝑝 ���. 𝛿𝛿
Figura 2.28 - Influência da rigidez torcional na instabilidade do shimmy e na instabilidade divergente para diferentes níveis de amortecimento torcional, desconsiderando o amortecimento devido à banda de rodagem. Fonte: adaptado de Pacejka (2006).
Se o momento de inércia em torno do eixo da direção não pode ser considerado constante, mas como uma função do trail 𝑡𝑡 (isto é, 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑍𝑍 é substituído por 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑍𝑍 + 𝑚𝑚𝑤𝑤. 𝑡𝑡2), então, considerando a adimensionalização definida para todas as outras variáveis, as curvas de vários diagramas devem ser reinterpretadas; com um 𝐶𝐶��� constante, o coeficiente de amortecimento 𝛿𝛿 real 𝐶𝐶𝛿𝛿 não é constante ao longo da curva, mas aumenta com o aumento de 𝑡𝑡̅, enquanto que para um dado 𝑉𝑉�, a velocidade real 𝑉𝑉 diminui com o aumento de 𝑡𝑡̅.