Modelo M5 (Distribuição Potência Exponencial)

6.3 Análise dos Dados do Oceano Ártico

6.3.1 Modelo M5 (Distribuição Potência Exponencial)

Considerando a verossimilhança (6.2) e assumindo as distribuições a priori (6.3) com valores dos hiperparâmetros dadas por a1 = a2 = c1 = c2 = 0, b12 = b22 = d21 = d22 =

100000, e1 = e2 = f1 = f2 = 1000 temos na Tabela 9 os sumários a posteriori e os valores

do fator de redução de escala R (critério Gelman e Rubin). Para todos os parâmetros^ observamos a convergência do algoritmo Gibbs sampling, pois

R < 1:1 para todos os casos.

Na Tabela 9 observamos que a profundidade apresenta um efeito signi…cativo para as proporções de componentes na mistura (zero não esta incluído nos intervalos de credibilidade de 1 e 2 ).

Tabela 9: Sumários a posteriori para o Modelo M5 Parâmetros Média Int.Cred 95% R^

1 2.611 (1:661; 3:612) 1.001 2 1.511 (0:990; 2:077) 1.003 1 -0.061 ( 0:078; 0:046) 1.001 2 -0.018 ( 0:027; 0:0105) 1.002 2 1 1.809 (1:706; 3:249) 1.003 2 2 0.487 (0:284; 0:952) 1.000 1 0.192 ( 0:418; 0:900) 1.010 2 0.769 (0:293; 0:993) 1.002

Também observarmos que ₁ poderia ser igual a zero ( pois o zero esta incluído em seu intervalo de credibilidade)

6. UMA ANÁLISE BAYESIANA PARA DADOS COMPOSICIONAIS ASSUMINDO A DISTRIBUIÇÃO POTÊNCIA EXPONENCIAL PARA OS ERROS 57

alpha1 sample: 50000 0.0 2.0 4.0 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 alpha2 sample: 50000 0.0 1.0 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 beta1 sample: 50000 -2.0 -1.0 0.0 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 beta2 sample: 50000 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 sigma1 sample: 50000 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 sigma2 sample: 50000 0.0 1.0 2.0 0.0 1.0 2.0 3.0 teta1 sample: 50000 -0.125 -0.075 -0.025 0.0 20.0 40.0 60.0 teta2 sample: 50000 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.0 50.0 100.0

Figura 14: grá…cos das densidades geradas pelo amostrador de Gibbs

6.3.2 Modelo M6 (Distribuição Normal)

Considerando o modelo em (4.1) (erros normais) e assumindo as distribuições a priori (6.2) com valores dos hiperparâmetros dados por a1 = a2 = c1 = c2 = 0, b21 = b22 = d21 =

2 = 100000, e1 = e2 = f1 = f2 = 1000,os valores para os parâmetros de interesse são os

mesmos dados na Tabela 4.

6.3.3 Modelo M7 (Distribuição Exponencial dupla)

Considerando o modelo em (4.1) e assumindo as distribuições a priori (6.2) com valores dos hiperparâmetros a1 = a2 = c1 = c2 = 0, b12 = b22 = d21 = d22 = 100000,

6. UMA ANÁLISE BAYESIANA PARA DADOS COMPOSICIONAIS ASSUMINDO A DISTRIBUIÇÃO POTÊNCIA EXPONENCIAL PARA OS ERROS 58

e1 = e2 = f1 = f2 = 1000. A Tabela 10 mostra os sumários a posteriori para os

parâmetros do Modelo M7, onde observamos o efeito signi…cativo da profundidade. Tabela 10: Sumários a posteriori para Modelo M7

Parâmetros Média Int.Cred 95% R^

1 2.337 (1:2; 3:324) 1.001 2 1.392 (0:905; 1:924) 1.002 1 -0.056 ( 0:073; 0:040) 1.000 2 -0.017 ( 0:0245; 0:009) 1.003 2 1 2.398 (1:222; 4:423) 1.003 2 2 0.542 (0:278; 0:998) 1.000

6.3.4 Modelo M8 (Distribuição Retangular)

Considerando agora o modelo (4.1) e assumindo as distribuições a priori (6.2) com valores dos hiperparâmetros a1 = a2 = c1 = c2 = 0, b12 = b22 = d21 = d22 = 100000,

e1 = e2 = f1 = f2 = 1000 e = 0:75;temos na Tabela 11 os sumários a posteriori para

os parâmetros do Modelo M8.

Tabela 11: Sumários a posteriori para Modelo M8 Parâmetros Média Int.Cred 95% R^

1 3.503 (2:506; 4:301) 1.001 2 2.798 (2:255; 3:258) 1.002 1 -0.077 ( 0:095; 0:048) 1.000 2 -0.034 ( 0:0471; 0:016) 1.003 2 1 2.712 (2:137; 3:588) 1.003 2 2 0.973 (0:771; 1:284) 1.000

Da mesma forma que para os outros modelos, observamos um efeito signi…cativo da profundidade.

Na Tabela 12, temos as estimativas Monte Carlo para o DIC e BIC baseados nas amostras de Gibbs para os modelos M5 (distribuição potência exponencial); M6 (dis- tribuição normal); M7 (distribuição exponencial dupla); M8 (distribuição retangular).

6. UMA ANÁLISE BAYESIANA PARA DADOS COMPOSICIONAIS ASSUMINDO A DISTRIBUIÇÃO POTÊNCIA EXPONENCIAL PARA OS ERROS 59

Tabela 12: Medidas de adequabilidade para os modelos Modelos DIC BIC

M5 221.262 25.9976 M6 228.988 24.6442 M7 222.151 22.4264 M8 250.802 24.19796

Dos resultados da Tabela 12 concluímos que pelo critério DIC (menor valor) e o critério BIC (maior valor) o modelo M5 é melhor ajustado pelos dados da Tabela 2.

Capítulo 7

Considerações …nais

Dados Composicionais se apresentam na forma de porcentagem e podem aparecer em várias áreas de aplicação. Freqüentemente, a restrição de soma igual a um, é igno- rada ou incorporada de forma inapropriada na modelagem estatística, obtendo resultados imprecisos ou inadequados.

A partir de uma aplicação com dados reais, utilizamos as transformações ALR e a Box- Cox, considerando a distribuição normal para erros correlacionados e não correlacionados, observando que os modelos com erros correlacionados melhor se ajustam aos dados reais observados na Tabela 2, e que a transformação Box-Cox é a mais adequada aos dados.

Utilizamos uma generalização da distribuição normal; a distribuição potência exponencial, considerando a transformação ALR vimos que considerando erros não correlacionados, esta generalização nos leva a melhores resultados.

O uso de métodos MCMC é uma ótima alternativa para o desenvolvimento da análise Bayesiana para dados composicionais. O uso do software Winbugs garante uma grande simpli…cação das amostras das distribuições a posteriori de interesse para dados composicionais.

Estes resultados podem ser estendidos facilmente para outras aplicações com dados composicionais considerando mais que três componentes

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Apêndice A

Programas

Seguem as linhas de instruções em WinBugs versão 1.4.1 para os procedimentos MCMC usados nas análises Bayesianas apresentadas nesta dissertação.

Código do programa utilizado no software Winbugs, a …m de obtermos a distribuição condicional dos parâmetros de interesse, sob o modelo Modelo M1

Model {

for( i in 1 : N ) {

Y[i] <-( (( sqrt(tau1*tau2))/((2 * 3.1415926)*sqrt(1-pow(ro,2) ))) *exp( - ((0.5*tau1*pow(box1[i],2))/ pow(ro,2))) - ((0.5* tau2*pow(box2[i],2))/(1-pow(ro,2)))+((sqrt(tau1*tau2)*ro*box1[i]*box2[i])/(1- pow(ro,2))))) / const

}

for( i in 1 : N ) {

mu1[i] <- alpha1 + teta1 * x[i] cox1[i]<-(log(y1[i]))

box1[i]<-cox1[i]-mu1[i]

mu2[i] <- alpha2 + teta2 * x[i] cox2[i]<-(log(y2[i]))

box2[i]<-cox2[i]-mu2[i] }

A. PROGRAMAS 65

teta1~dnorm( 0.0,1.0E-6) tau1 ~dgamma(0.001,0.001) alpha2 ~dnorm( 0.0,1.0E-6) teta2 ~dnorm( 0.0,1.0E-6) tau2 ~dgamma(0.001,0.001) sigma1<-1/tau1 sigma2<-1/tau2 ro~dunif(-1,1) for( i in 1 : N ) { Uns[i] ~dbern(Y[i]) } } Dados list(const=1,N=39,y1=c(25.8333, 22.46875, 3.8409, 7.9090909, 20, 51.153846, 26.9375, 5.4489796, 0.5149501, 1.1828358, 10.107692, 117.33333, 0.6, 0.5408163, 2.0427807, 0.2958904, 0.5954692, 0.0958333, 2.1794872, 1.3869565, 0.2567567, 0.4899713, 0.3079178, 0.1170731, 0.0498084, 0.3175487, 0.1443965, 0.1589861, 0.0782778, 0.1809291, 0.1050328, 0.0957446, 0.1598063, 0.1459695, 0.1577825, 0.1330376, 0.1578947, 0.050505, 0.0398406), y2=c(6.5000,7.7812,2.7348,6.1970,7.5714,24.7692,34.5625,3.7551,1.8073,1.5485,4.2769 ,48.3333,1.8483,3.5612,2.3048,1.4438,1.6408,0.9875,1.4824,1.9609,1.4459,1.3754, 1.6246,1.3341,0.8659,1.4680,1.0108,1.1452,0.8787,1.2616,1.0832,1.0319, 1.2615,1.0305,0.9723,1.0843,1.3484,0.9697,0.9522),x=c(10.4, 11.7, 12.8, 13.0, 15.7, 16.3, 18.0, 18.7, 20.7, 22.1, 22.4, 24.4, 25.8, 32.5, 33.6, 36.8, 37.8, 36.9, 42.2, 47.0, 47.1, 48.4, 49.4, 49.5, 59.2, 60.1, 61.7, 62.4, 69.3, 73.6, 74.4, 78.5, 82.9, 87.7, 88.1, 90.4, 90.6, 97.7, 103.7), Uns=c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) Valores Iniciais list(alpha1=0.5,teta1=-0.01,tau1=0.5, alpha2=0.5,teta2=-0.01,tau2=0.5,ro=0.5) list(alpha1=0.1,teta1=0.11,tau1=0.1, alpha2=0.2,teta2=0.1,tau2=0.3,ro=0.2)

A. PROGRAMAS 66

Código do programa utilizado no software Winbugs, a …m de obtermos a distribuição condicional dos parâmetros de interesse, sob o modelo Modelo M2

Model {

for( i in 1 : N ) {

Y[i] <- ( ( sqrt(tau1/(2 * 3.1415926) ) )* ( sqrt(tau2/(2 * 3.1415926) )) *exp( - 0.5* tau1*pow(box1[i],2) - 0.5* tau2*pow(box2[i],2))) / const

}

for( i in 1 : N ) {

mu1[i] <- alpha1 + teta1 * x[i] cox1[i]<-(log(y1[i]))

box1[i]<-cox1[i]-mu1[i]

mu2[i] <- alpha2 + teta2 * x[i] cox2[i]<-(log(y2[i])) box2[i]<-cox2[i]-mu2[i] } alpha1~dnorm( 0.0,1.0E-6) teta1~dnorm( 0.0,1.0E-6) tau1 ~dgamma(0.001,0.001) alpha2 ~dnorm( 0.0,1.0E-6) teta2 ~dnorm( 0.0,1.0E-6) tau2 ~dgamma(0.001,0.001) sigma1<-1/tau1 sigma2<-1/tau2 for( i in 1 : N ) { Uns[i] ~dbern(Y[i]) } } Dados list(const=1,N=39,y1=c(25.8333, 22.46875, 3.8409, 7.9090909, 20, 51.153846, 26.9375, 5.4489796, 0.5149501, 1.1828358, 10.107692, 117.33333, 0.6, 0.5408163, 2.0427807, 0.2958904,

A. PROGRAMAS 67 0.5954692, 0.0958333, 2.1794872, 1.3869565, 0.2567567, 0.4899713, 0.3079178, 0.1170731, 0.0498084, 0.3175487, 0.1443965, 0.1589861, 0.0782778, 0.1809291, 0.1050328, 0.0957446, 0.1598063, 0.1459695, 0.1577825, 0.1330376, 0.1578947,0.050505,0.0398406), y2=c(6.5000,7.7812,2.7348,6.1970,7.5714,24.7692,34.5625,3.7551,1.8073, 1.5485,4.2769,48.3333,1.8483,3.5612,2.3048,1.4438,1.6408,0.9875,1.4824,1.9609,1.4459, 1.3754,1.6246,1.3341,0.8659,1.4680,1.0108,1.1452,0.8787,1.2616,1.0832,1.0319,1.2615, 1.0305,0.9723,1.0843,1.3484,0.9697,0.9522),x=c(10.4, 11.7, 12.8, 13.0, 15.7, 16.3, 18.0, 18.7, 20.7, 22.1, 22.4, 24.4, 25.8, 32.5, 33.6, 36.8, 37.8, 36.9, 42.2, 47.0, 47.1, 48.4, 49.4, 49.5, 59.2, 60.1, 61.7, 62.4, 69.3, 73.6, 74.4, 78.5, 82.9, 87.7, 88.1, 90.4, 90.6, 97.7, 103.7), Uns=c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) Valores Iniciais list(alpha1=0.5,teta1=-0.01,tau1=0.5, alpha2=0.5,teta2=-0.01,tau2=0.5) list(alpha1=1,teta1=1,tau1=1, alpha2=1,teta2=1,tau2=0.2)

A. PROGRAMAS 68

Código do programa utilizado no software Winbugs, a …m de obtermos a distribuição condicional dos parâmetros de interesse, sob o modelo potência exponencial (Modelo M5)

Model { for( i in 1 : N ) { L1[i] <- wbeta1*sqrt(tau1)*exp(-cbeta1*f1[i]) L2[i] <- wbeta2*sqrt(tau2)*exp(-cbeta2*f2[i]) L[i] <- L1[i]*L2[i]/const } C1 <- 1+beta1 A1 <-exp(loggam(1.5*C1)) B1 <-exp(loggam(0.5*C1)) cbeta1 <- pow(A1/B1, 1/C1)

wbeta1 <- pow(A1, 0.5)/(C1*pow(B1, 1.5)) C2 <- 1+beta2

A2 <-exp(loggam(1.5*C2)) B2 <-exp(loggam(0.5*C2)) cbeta2 <- pow(A2/B2, 1/C2)

wbeta2 <- pow(A2, 0.5)/(C2*pow(B2, 1.5)) for( i in 1 : N ) {

mu1[i]<- alpha1 + teta1 * x[i] yt1[i]<- log(y1[i])

e1[i]<- yt1[i] - mu1[i]

d1[i]<- abs(e1[i]*sqrt(tau1)) f1[i]<- pow(d1[i], 2/C1) mu2[i]<- alpha2 + teta2 * x[i] yt2[i]<- log(y2[i])

e2[i]<- yt2[i] - mu2[i]

d2[i]<- abs(e2[i]*sqrt(tau2)) f2[i]<- pow(d2[i], 2/C2) }

A. PROGRAMAS 69 alpha1 ~dnorm(0,0.0001) teta1 ~dnorm(0, 0.0001) tau1 ~dgamma(0.001,0.001) beta1~dunif(-0.99,1) sigma1<- 1/tau1 alpha2 ~dnorm(0, 0.0001) teta2 ~dnorm(0, 0.0001) tau2 ~dgamma(0.001,0.001) beta2 ~dunif(-0.99,1) sigma2<- 1/tau2 for( i in 1 : N ) { Uns[i] ~dbern(L[i]) } } Dados list(const=1, N=39,y1=c(25.8333, 22.46875, 3.8409, 7.9090909, 20, 51.153846, 26.9375, 5.4489796, 0.5149501, 1.1828358, 10.107692, 117.33333, 0.6, 0.5408163, 2.0427807, 0.2958904, 0.5954692, 0.0958333, 2.1794872, 1.3869565, 0.2567567, 0.4899713, 0.3079178, 0.1170731, 0.0498084, 0.3175487, 0.1443965, 0.1589861, 0.0782778, 0.1809291, 0.1050328, 0.0957446, 0.1598063, 0.1459695, 0.1577825, 0.1330376, 0.1578947, 0.050505, 0.0398406), y2=c(6.5000,7.7812,2.7348,6.1970,7.5714,24.7692,34.5625,3.7551,1.8073,1.5485, 4.2769,48.3333,1.8483,3.5612,2.3048,1.4438,1.6408,0.9875,1.4824,1.9609,1.4459, 1.3754,1.6246,1.3341,0.8659,1.4680,1.0108,1.1452,0.8787,1.2616,1.0832,1.0319, 1.2615,1.0305,0.9723,1.0843,1.3484,0.9697,0.9522), x=c(10.4, 11.7, 12.8, 13.0, 15.7, 16.3, 18.0, 18.7, 20.7, 22.1, 22.4, 24.4, 25.8, 32.5, 33.6, 36.8, 37.8, 36.9, 42.2, 47.0, 47.1, 48.4, 49.4, 49.5, 59.2, 60.1, 61.7, 62.4, 69.3, 73.6, 74.4, 78.5, 82.9, 87.7, 88.1, 90.4, 90.6, 97.7, 103.7), Uns=c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) Valores Iniciais

No documento Uma análise bayesiana para dados composicionais. (páginas 64-77)