A partir de 1972, a teoria de precificac¸˜oes de opc¸˜oes se desenvolveu intensamente com a publicac¸˜ao do trabalho de Black e Scholes sobre o assunto. Neste trabalho, Black e Scholes determinam o valor de uma opc¸˜ao a partir de uma ``carteira replicante'', composta pelo ativo subjacente e o ativo de risco zero que produziria os mesmos fluxos de caixa da opc¸˜ao avaliada. Existem duas abordagens poss´ıveis para a precificac¸˜ao de uma opc¸˜ao a partir do trabalho de Black e Scholes: um modelo binomial mais simples e o modelo de Black e Scholes, ambos fundamentados pela mesma fonte de l´ogica.
5.4.1 Modelo binomial
O modelo binomial de precificac¸˜ao de opc¸˜oes ´e baseado numa f´ormula simples do processo de prec¸os de ativos, em que o ativo, a qualquer momento, pode se deslocar para um de dois prec¸os poss´ıveis.
O objetivo, ao se criar uma carteira replicante, ´e utilizar uma combinac¸˜ao de tomar (cap- tar) / emprestar (aplicar) recursos livre de risco com o ativo subjacente para criar os mesmos fluxos de caixa que os da opc¸˜ao sendo avaliada. Os princ´ıpios da arbitragem ent˜ao se apli- cam, e o valor da opc¸˜ao ter´a que ser igual ao valor da carteira replicante. Suponha que um ativo com valor de mercado S, em que seu prec¸o pode se deslocar a qualquer momento para Su ou Sd, sendo Su maior que S e Sd menor que S. A carteira replicante para uma opc¸˜ao de compra com prec¸o de exerc´ıcio K envolver´a tomar emprestado $B e adquirir uma quantidade ∆ do ativo subjacente, em que:
∆ = n´umero de unidades do ativo subjacente adquiridas = (Cu− Cd)/(Su− Sd) ,
sendo
Cu = valor da opc¸˜ao de compra se o prec¸o da ac¸˜ao for Su; Cd = valor da opc¸˜ao de compra se o prec¸o da ac¸˜ao for Sd.
S ❳❳❳❳ ❳❳❳❳ ❳❳❳❳❳❳❳ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘ Sd Su❳❳❳❳ ❳❳❳❳ ❳❳❳❳❳❳❳ ❳ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘✘ Sud Su2 ❳❳❳❳ ❳❳❳❳ ❳❳❳❳❳❳❳ ❳ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘✘✘✘ ✘✘✘✘ S2 d
O modelo binomial fornece uma vis˜ao das determinantes do valor das opc¸˜oes. O valor de uma opc¸˜ao n˜ao ´e determinado pelo prec¸o esperado do ativo, mas sim pelo seu prec¸o atual que, ´e claro, reflete expectativas sobre o futuro. Isto ´e conseq¨uˆencia direta da arbitragem. Se o valor da opc¸˜ao desvia do valor da carteira replicante, os investidores podem criar uma posic¸˜ao de arbitragem, ou seja, uma posic¸˜ao que n˜ao requeira qualquer risco e produza retornos positivos. O valor da opc¸˜ao valoriza `a medida que o prazo at´e o vencimento ´e ampliado e que os movimentos de prec¸o (u e d) tornam-se maiores e com o aumento das taxas de juro.
5.4.2 Modelo de Black e Scholes
O modelo binomial de determinac¸˜ao do prec¸o de uma opc¸˜ao requer grande quantidade de dados de entrada em termos de prec¸os futuros esperados em cada n´o. O modelo de Black e Scholes ´e um caso limitador do binomial, que reduz substancialmente as necessidades de informac¸˜ao.
O modelo binomial ´e um modelo de tempo discreto da movimentac¸˜ao de prec¸os de ativos, com um intervalo de tempo (t) entre as movimentac¸˜oes de prec¸o. `A medida que o intervalo de tempo ´e encurtado, a distribuic¸˜ao limitadora (quando t se aproxima de zero), pode as- sumir uma de duas formas. Se `a medida que t aproxima de zero e as variac¸˜oes de prec¸os se tornam menores, a distribuic¸˜ao limitadora ´e a distribuic¸˜ao normal e o processo de prec¸os ´
permanecerem grandes, a distribuic¸˜ao limitadora ´e a distribuic¸˜ao de Poisson, ou seja, uma distribuic¸˜ao que permite saltos de prec¸os.
O modelo de Black e Scholes se aplica quando a distribuic¸˜ao limitadora ´e a distribuic¸˜ao normal e sup˜oe, explicitamente, que o processo de prec¸os ´e cont´ınuo e que n˜ao h´a saltos nos prec¸os de ativos.
A vers˜ao do modelo apresentada por Black e Scholes foi projetada para a avaliac¸˜ao de opc¸˜oes europ´eias, que s˜ao protegidas de dividendos. Desta forma, nem a possibilidade de exerc´ıcio antecipado nem o pagamento de dividendos afetam o valor das opc¸˜oes neste modelo.
O valor de uma opc¸˜ao de compra no modelo Black-Scholes pode ser expresso como func¸˜ao das seguintes vari´aveis:
S =valor atual do ativo subjacente; K =prec¸o do exerc´ıcio da opc¸˜ao;
t =vida remanescente at´e a vida da opc¸˜ao;
rf =taxa de juros livre de risco correspondente `a vida da opc¸˜ao; σ2 =variˆancia do logaritmo neperiano (ln) do valor do ativo subjacente. O modelo em si pode ser expresso como:
Valor da opc¸˜ao de compra = S.N(d1) − (Ke−rft)N (d2) , (5.1)
onde N(d1), N(d2)s˜ao estimativas das func¸˜oes cumulativas da distribuic¸˜ao normal.
As determinantes de valor no modelo Black e Scholes s˜ao as mesmas do modelo bino- mial: prec¸o atual da ac¸˜ao, variabilidade nos prec¸os das ac¸˜oes, o tempo a decorrer at´e o vencimento da opc¸˜ao, o prec¸o de exerc´ıcio e a taxa de juros livre de risco. O princ´ıpio das carteiras replicantes usado na avaliac¸˜ao binomial tamb´em ´e subjacente ao modelo Black- Scholes.
A vers˜ao do modelo Black-Scholes apresentada n˜ao leva em considerac¸˜ao a possibili- dade de exerc´ıcio antecipado nem o pagamento de dividendos. Ambos impactam o valor das opc¸˜oes, e h´a ajustes que, embora n˜ao sejam perfeitos, oferecem correc¸˜oes parciais de valor.
Caracter´ısticas como irreversibilidade, incerteza e possibilidade de adiamento podem ser sintetizadas no modelo de Black e Scholes atrav´es da analogia entre a oportunidade de investimento e a opc¸˜ao financeira (Dixt e Pindyck (1994)): uma firma, com uma oportunidade de investimento irrevers´ıvel, carrega uma opc¸˜ao de investir no futuro (ou esperar); ela tem
o direito - mas n˜ao a obrigac¸˜ao - de comprar um ativo (o projeto) no futuro, a um prec¸o de exerc´ıcio (o investimento). Quando a firma investe, ela exerce a opc¸˜ao e paga um custo de oportunidade igual ao seu valor. O exerc´ıcio da opc¸˜ao (o investimento) ´e irrevers´ıvel, mas a firma sempre tem a possibilidade de preservar o valor da sua opc¸˜ao (adiar o investimento) at´e que as condic¸˜oes de mercado se tornem mais favor´aveis.