O Código de Shor - Constru¸cão do Código de Shor

2.3 Constru¸c˜ao do C´odigo de Shor

2.3.3 O C´odigo de Shor

O código de Shor é capaz de corrigir um erro quântico arbitrário em um qubit. Para constru´ı-lo basta fazer uma combina¸cão dos códigos de três qubits para os canais bit flip e phase flip. Primeiro codificamos o qubit usando o código phase flip: |0i → | + ++i e |1i → |−−−i. A seguir, codificamos cada um destes qubits usando o código bit flip de três qubits: |+i é codificado como (|000i + |111i)/√2 _{e |−i é codificado como (|000i − |111i)/}√2. O resultado é um código de nove qubits, com palavras-código dadas por

|ui → |uLi ≡ 1 2√2 1

∑

p,q,r=0 (−1)(p+q+r)u|p, p, p, q, q, q, r, r, ri, (2.18) onde u = {0,1}. Ou, mais explicitamente,

|0i → |0Li ≡ (|000i + |111i)(|000i + |111i)(|000i + |111i)

2√2

(2.19) |1i → |1Li ≡ (|000i − |111i)(|000i − |111i)(|000i − |111i)

2√2

Uma superposi¸c˜ao original a|0i + b|1i ´e codificada como a|0Li + b|1Li, deslocalizando a

informa¸c˜ao a ser codificada entre os nove qubits.

Este código quântico corrigirá um erro quântico geral em qualquer dos qubits pelas seguintes razões. Primeiro devemos mostrar que este código é capaz de corrigir erros X e Z em qualquer dos qubits. Sem perda de generalidade, suponha que tenha ocorrido um erro X no primeiro qubit. Da mesma forma que para o código bit flip, este erro pode ser detectado sem ambiguidade quando realizamos a medida dos observáveis Z1Z2e Z2Z3. Neste caso, os

resultados das medidas serão, respectivamente −1 e +1, indicando que ocorreu um erro no primeiro qubit. Para corrigi-lo basta então aplicar o operador X ao primeiro qubit. Simi- larmente, podemos detectar e corrigir um erro bit flip em qualquer um dos nove qubits do código. Como em geral não sabemos em qual dos blocos um erro X eventualmente ocorreu, é necessário realizar a medida de seis observáveis {Z1Z2, Z2Z3, Z4Z5, Z5Z6, Z7Z8, Z8Z9}.

Similarmente, um erro Z pode ser facilmente detectado quando comparamos os sinais do primeiro e do segundo blocos, e do segundo e do terceiro blocos, da mesma forma que comparamos o sinal do primeiro e do segundo qubits para o c´odigo phase flip. Por exemplo,

um dos três primeiros qubits tem este efeito e, portanto, o procedimento que vamos descrever serve para um erro Z em qualquer um dos três qubits. ´E poss´ıvel demonstrar com um pouco de álgebra que os dois poss´ıveis observáveis que comparam os sinais dos blocos são X1X2X3X4X5X6, X4X5X6X7X8X9. O primeiro destes observáveis compara o sinal

do primeiro e do segundo blocos e o segundo observável compara o sinal do segundo e do terceiro blocos. Quando um erro Z ocorre em qualquer um dos três primeiros qubits, os sinais do primeiro e do segundo blocos são diferentes e os sinais do segundo e do terceiro blocos são iguais. Para recuperar o estado original, basta aplicar o operador Z sobre qualquer um dos três primeiros qubits.

O código de Shor também pode corrigir um erro X e Z ocorrendo no mesmo qubit. Para que isto seja poss´ıvel é necessário aplicarmos ambos os procedimentos acima descritos de deteçcão e corre¸cão de erros X e Z, os quais são independentes. Finalmente, um qubit com um erro arbitrário é projetado para ter erros I, X, Z, ou XZ durante as medidas de s´ındrome dos erros X e Z, e assim fazer com que estes erros possam ser corrigidos.

A ordem dos códigos bit flip e phase flip na concatena¸cão é importante. É fácil de verificar que se tivéssemos codificado o qubit primeiro com o código bit flip, ou seja, |0i → |000i e |1i → |111i, e em seguida codificado cada um destes três qubits com o código phase flip, ou seja, |0i → | + ++i e |1i → | − −−i, ter´ıamos, na base {|0i, |1i}, o seguinte código:

|0i →(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)(|0i + |1i)

16√2

(2.20) |1i →(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)(|0i − |1i)

16√2

Mas este é um “código universal” do tipo |000...000i, |000...001i, |000...010i, . . . , |111...101i, |111...110i, |111...111i, incapaz de garantir a corre¸cão de qualquer erro.

dos neste c´odigo:

1. Medir as s´ındromes não implica em medir os qubits. As s´ındromes podem ser encontradas sem o ganho de qualquer informa¸cão sobre os estados codificados. Os erros unitários (X e Z) podem ser invertidos sem o conhecimento da informa¸cão codificada. Isto é análogo ao método de decodifica¸cão clássica que projeta o estado recebido do canal sobre uma classe lateral do arranjo padrão e inverte o erro mais provável (de peso m´ınimo).

2. A redundância é usada para inserir o espa¸co das palavras-código em um espa¸co maior, de forma a fazer com que os erros corrig´ıveis mapeiem o espa¸co do código em subespa¸cos ortogonais (sem interseçcão). Isto é o análogo quântico das esferas de Hamming.

3. Os erros são locais e a informa¸cão codificada é não local. É importante en- fatizar a hipótese central que serve de base para a constru¸cão de um código quântico − erros afetando diferentes qubits são, em boa aproxima¸cão, não correlacionados. Assumimos que um evento que causa um erro em dois qubits é muito menos provável que um evento que causa um erro em um qubit. É claro que uma questão f´ısica é saber se esta hipótese é justificada ou não − podemos facilmente imaginar processos que causam erros em dois qubits de uma só vez. Se tais erros correlacionados forem comuns, a codifica¸cão falhará.

4. O código de Shor é um código concatenado. Este código concatena dois códigos de repeti¸cão de três qubits. A concatena¸cão segue uma hierarquia de n´ıveis. O primeiro código, que corrige erros Z, é concatenado ao segundo código, que corrige erros X. Portanto, a matriz geradora do código clássico associado ao código de Shor é G= GZ· GX = h 1 1 1 i ·     1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1     = h 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i . (2.21)

2.3. Constru¸cão do Código de Shor 57 ou seja, um código de repeti¸cão de taxa 1/9 (e, obviamente, distância igual a nove). Portanto, este código clássico é capaz de corrigir b(9 − 1)/2c = 4 erros.

5. O código de Shor pode corrigir um erro arbitrário ocorrendo em um qubit. O código de Shor pode corrigir um erro quântico geral porque os códigos clássicos associados aos códigos bit flip, phase flip e bit-phase flip têm distâncias três (o que garante a corre¸cão de um erro X), três (o que garante a corre¸cão de um erro Z) e nove (o que garante a corre¸cão de um erro cuja base é gerada pelos erros X, Z, XZ e I), respectivamente. O grupo de erros que este código corrige é composto por dois geradores, hX,Zi. Isto é aparentemente imposs´ıvel, já que o espa¸co de s´ındromes é finito e o número poss´ıvel de erros é infinito. Porém, o continuum de erros pode ser discretizado. Para ver isto, suponha que um erro arbitrário E tenha ocorrido em um qubit. Como E pode ser sempre escrito como E = ciI+ cxX+ cyY+ czZ, o

As medidas de s´ındrome, as quais identificam os erros I, X, Y e Z, projetam o estado corrompido sobre um dos quatro termos, todos eles corrig´ıveis. Em outras palavras, quantizamos os erros. Embora os erros na informa¸c˜ao quˆantica possam ser pequenos, fazemos medidas que projetam nosso estado sobre um estado sem nenhum erro ou sobre um estado com um erro que pertence a um conjunto discreto de erros que sabemos como corrigir.

6. Erros Z atuando em diferentes qubits dentro do mesmo bloco tˆem efeitos idênticos. Não é poss´ıvel, nem necessário, distinguir tais erros. Um código quân- tico é não degenerado se todos os erros corrig´ıveis podem ser identificados sem ambiguidade; caso contrário, é degenerado. O código de Shor é portanto um código degenerado.

Esta propriedade é mais facilmente entendida através de um exemplo. Considere o efeito dos erros Z1, Z2 e Z3 (primeiro bloco) sobre a palavra-código (2.19). É fácil de

perceber que o efeito destes erros sobre esta palavra-código é o mesmo. O processo de decodifica¸cão nos permite identificar um erro de fase no primeiro bloco, mas não nos permite identificar em qual dos três primeiros qubits o erro de fase ocorreu. Para

corrigir qualquer um destes trˆes erros, basta aplicar qualquer um dos operadores inversos, ou seja, Z1, Z2 ou Z3.

A informa¸cão foi armazenada em correla¸cões envolvendo vários qubits. Presumimos uma natureza local para os erros e codificamos a informa¸cão por um método não local. Não existe meio de distinguir |0Li de |1Li através da medida de nenhum dos nove qubits. Se

medirmos um qubit, encontraremos |0Li com probabilidade 1/2 e |1Li com probabilidade

1/2 independente do valor do qubit codificado.

O meio circundante pode ocasionalmente “medir” um dos qubits. Mas, neste caso, a informa¸cão codificada não pode ser prejudicada através da perturba¸cão daquele qubit, porque um qubit, por si só, não carrega informa¸cão pelo todo. A informa¸cão codificada não localmente é invulnerável a influências locais − este é o princ´ıpio central sobre o qual os CCEQs estão fundamentados.

2.4 Critérios para a Corre¸cão de Erros Quânticos

Nesta se¸cão apresentamos as condi¸cões algébricas para que um subespa¸co

C

seja um c´odigo quˆantico que corrige certos erros atuando sobre o espa¸co de Hilbert

H

. Estas condi¸cões são freqüentemente chamadas de critérios para a corre¸cão de erros quânticos, e são de grande valor para o entendimento e a constru¸cão de códigos quânticos. Tais condi¸cões também permitem que as no¸cões de corre¸cão de erros quânticos sejam tratadas de modo mais rigoroso.

Para codificar k qubits em n qubits, um código terá 2k _{palavras-código-base. Qualquer}

combina¸cão linear destas palavras-código-base também é uma palavra-código. O espa¸co

C

de palavras-código (o espa¸co de codifica¸cão) é portanto um espa¸co de Hilbert de 2k

dimens˜oes e um subespa¸co de um espa¸co de Hilbert com 2n _dimens˜oes.

Vimos através do código de Shor que se pudermos corrigir erros E e F, também poder- emos corrigir um erro arbitrário aE + bF. Logo, precisamos somente nos preocupar se o código pode corrigir uma base de erros. Uma base conveniente para se usar é o conjunto de produtos tensoriais de X, Y , Z e I. O peso de um operador desta forma é o n´umero de qubits que diferem da identidade. O conjunto de todos estes produtos tensoriais com

2.4. Critérios para a Corre¸cão de Erros Quânticos 59

No documento Codigos convolucionais quanticos concatenados (páginas 73-78)