A principal motivac~ao para de nirmos o modelo encontra-se na capacidade do mesmo em reproduzir as principais propriedades observadas em solos agrcolas, como auto-a nidade e estrutura de poros. O modelo deve possuir tambem alguns par^ametros de controle, como a dimensionalidade da distribuic~ao dos tamanhos das partculas (agregados) que ser~ao depositados e a massa do maior agregado. Apenas com esses dois par^ametros esperamos reproduzir a variabilidade estrutural observada em solos naturais.
1 10 100 1000 M 100 101 102 103 104 105 N(r>R)
Figura 5.1: Distribuic~ao de tamanhos de agregados gerada em uma simulac~ao, com Mmax = 1000.
O raio das partculas e calculado via a express~ao: r = p
M=, que aproxima os agregados por esferas
(discos) de massa (area) M. Note que a distribuic~ao obedece uma lei de pot^encia pelo menos para uma
decada.
A distribuic~ao dos tamanhos dos agregados possui a forma de uma lei de pot^encia [138, 97
63], cujo expoente, D
f, e um dos par^ametros do sistema, e e chamada de dimens~ao de
fragmentac~ao. Em contraste com os modelos classicos de nidos em uma rede, nos quais todas as partculas tem a mesma morfologia, esse modelo simula a variabilidade de solos naturais gerando agregados atraves de um dado algoritmo. Neste trabalho, consideramos dois algoritmos diferentes: um considerando a percolac~ao de ligac~oes e outro construdo a partir do modelo de Eden.
As principais vantagens em se trabalhar com modelos de nidos na rede s~ao a simplicidade para se montar os algoritmos e a velocidade de execuc~ao dos programas, o que possibilita a simulac~ao de sistemas relativamente grandes (ate L = 10
5 stios) e deposic~ao de uma
enorme quantidade de partculas ( 10
9). Essa quantidade de partculas depositadas
s~ao necessarias a m de se evitar o efeito de uma adic~ao constante de microvariabilidade aleatoria, representada pela morfologia dos agregados.
Figura 5.2: Morfologias geradas pelo algoritmo de percolac~ao de ligac~oes. Acima: Algumas morfologias
para Mmax=50, tr^es agregados s~ao mostrados. Note a estrutura porosa e o formato aleatorio,
caractersticas observadas em solos. Abaixo: Algumas morfologias paraMmax=500.
Consideraremos a estrutura do solo como composta de um conjunto de partculas e agregados cujos raios s~ao distribudos segundo a relac~ao, conhecida como a lei emprica de Turcotte [138],
N(r>R)R D
f
; (5.1)
ondeN(r>R) e o numero acumulado de partculas (ou agregados) com raio rmaior que R, eD
f e a dimens~ao de fragmentac~ao da distribuic~ao de tamanhos das partculas (PSD).
Existe alguma controversia na literatura a respeito da faixa de valores permitidos para
D
f. Tyler e Wheatcraft [168] argumentam que D
f
<3, pois, considerando-se as hipoteses
usuais (densidade constante, partculas esfericas, etc.) a distribuic~ao de massas escala com M(r > R) R
D R
3 D
f, onde
D e dimens~ao fractal do solo e somente os valores D
f
<3 teriam sentido fsico, considerando uma distribuic~ao fractal. Martin e Taguas [114]
apresentaram varios argumentos matematicos suportando essa conjectura e realizaram simulac~oes de algumas PSD. Entretanto, existem varios resultados experimentais que apontam para o contrario, conforme o apresentado por Perfect e Kay [138], onde a faixa dos valores encontrados foi 2:6 < Df < 3:5. Gimenez et al [2] tambem a rmam
que n~ao ha uma nenhuma relac~ao experimental entre a dimens~ao fractal e a dimens~ao de fragmentac~ao. Neste trabalho, consideramos que a hipotese de densidade constante n~ao deve manter-se valida a medida que o raio medio das partculas cresca, devido a presenca de poros na estrutura. Portanto, dimens~oes de fragmentac~ao maiores que tr^es s~ao possveis, a princpio.
Figura 5.3: Deposic~ao utilizando o algoritmo de percolac~ao por ligac~oes. A) deposic~ao tpica em uma
rede comL=100, 5000 partculas depositadas,Mmax=10 eDf = 3.0. B: o mesmo, comDf = 1.0 e 2500
partculas depositadas. Note a variabilidade da estrutura do solo simulado com a variac~ao da dimens~ao de fragmentac~ao. As partculas em destaque correspondem a ultima camada depositada.
Uma classi cac~ao geral para a classi cac~ao dos tamanhos dos agregados e a seguinte [129]
areia: 50< r <2000m aluvi~ao: 2< r <50m argila: r <2m.
As percentagens de cada tamanho de agregado pode variar bastante em solos reais. Nemes
etal[129] propuseram uma padronizac~ao para a classi cac~ao dos solos europeus utilizando
varios dados experimentais.
Os dois par^ametros do modelo s~ao a dimens~ao de fragmentac~ao,Df, e o numero de massa
maximo permitida para os agregados, Mmax. A cada instante de tempo, o algoritmo
sorteia um numero de massa, M; seM >1, uma con gurac~ao aleatoria e selecionada de acordo com a morfologia desejada; neste trabalho, utilizamos a percolac~ao de ligac~oes,
onde a con gurac~ao de um agregado corresponde a um aglomerado com tamanho M,
e o modelo de Eden do tipo C, tal como descrito na sec~ao 2.1, onde depositamos M
partculas em uma rede quadrada com uma semente ocupando o stio central (simetria esferica). Nas Figuras 5.2 e 5.4, mostramos algumas das possveis morfologias para os agregados. Com apenas esses par^ametros, o modelo e capaz de reproduzir de maneira simples a variabilidade estrutural encontrada nos solos naturais.
Na Figura 5.1 apresentamos uma PSD tpica gerada pelo algoritmo do modelo. Essa PSD e construda considerando que os agregados podem ser aproximados por discos, de tal modo que existe uma relac~ao direta entre a massa e o raio do agregado, que e utilizada para se construir a PSD.
Figura5.4: Morfologias geradas pelo modelo de Eden. Acima: Possveis morfologias paraM = 50. Tr^es
agregados s~ao mostrados em cada caso. Note que com o algoritmo de Eden os agregados formados s~ao menos fragmentados e possuem uma simetria esferica predominante, mais proximos dos encontrados em solos reais.
A deposic~ao de cada agregado obedece o modelo de deposic~ao solido-sobre-solido com relaxac~ao super cial [13]. A posic~ao inicial para a deposic~ao e escolhida aleatoriamente entre os L stios da rede, e o aglomerado segue uma linha reta (em relac~ao ao seu centro
de massa) ate o primeiro toque na superfcie do \solo" (n~ao s~ao permitidas rotac~oes para as partculas). Ent~ao, o algoritmo simula a relaxac~ao super cial para o aglomerado, que so se adere ao substrato quando o mnimo local de energia potencial for alcancado. A escolha desse mecanismo e baseada no comportamento real de agregados em superfcies naturais.
Considerando a teoria de crescimento de superfcies, a deposic~ao solido-sobre-solido per- tence a classe de universalidade da equac~ao de Edwards-Wilkinson, descrita no captulo 2, e a rugosidade das interfaces obtidas deve obedecer a relac~ao de Family-Vicsek. Na classe EW, em d = 1, os expoentes crticos s~ao conhecidos exatamente: = 1=2, z = 2.
Outra classe de universalidade relacionada a deposic~ao SOS e a da equac~ao de Kardar- Parisi-Zhang, tambem apresentada no captulo 4. Nesse caso, os expoentes exatos s~ao:
= 1=2, z = 3=2.
Desse modo, realizamos simulac~oes em d = 1 a m de testar a in u^encia dos par^ametros
do modelo (Df e Mmax) nos valores medidos para os expoentes e na dimens~ao fractal dos
per s obtidos, e comparamos os resultados com os dados experimentais disponveis. A dimens~ao fractal e obtida atraves da relac~ao D =d H (vide Ap^endice C), onde H e o
expoente de Hurst.
Figura 5.5: A) Deposic~ao de 5000 partculas com o algoritmo de Eden, em uma rede com L=100, Mmax=10 eDf=3.0; B) o mesmo, para 2500 partculas depositadas e Df = 1.