O Teorema Espectral para Operadores Compactos Autoadjuntos

39.8 Operadores Compactos em Espa¸ cos de Banach e de Hilbert

39.8.2 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Autoadjuntos

Vamos na presente se¸cão demonstrar a versão do Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos agindo em um espa¸co de Hilbert, generalizando em parte o teorema espectral provado para matrizes na Se¸cão 10.4, página 491.

Faremos implicitamente uso, em tudo o que segue, da Proposi¸cão 39.17, página 2053, que estabelece que os autovalores de um operador autoadjunto são reais e que para tais operadores os autovetores de autovalores distintos são ortogonais entre si. Também faremos uso, por vezes sem men¸cão, da principal conclusão do Teorema da Alternativa de Fredholm, Teorema 39.35, página 2153: todos os elementos não-nulos do espectro de um operador compacto são autovalores.

Historicamente, a maioria dos resultados que apresentaremos sobre propriedades espectrais de operadores compactos autoadjuntos são fruto de trabalhos de Hilbert, Schmidt, Riesz e Schauder, realizados na primeira década do século XX.

Alguns dos teoremas abaixo são por vezes denominadosTeorema de Hilbert-SchmidtouTeorema de Riesz-Schauder, mas isso é feito de forma inconsistente na literatura, de modo que preferimos não adotar essa nomenclatura. Vide comentário

a p´agina 2159.

•Autovalores de operadores compactos autoadjuntos

O teorema a seguir tem um papel central a desempenhar na demonstra¸cão do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos, por garantir que os mesmos sempre possuem pelo menos um autovalor. Uma parte de seu conteúdo já foi estabelecido no Teorema 39.34, página 2148.

Teorema 39.36SejaCum operador compacto e autoadjunto agindo em um espa¸co de HilbertHe denotemos porσ(C) o espectro deCe porσp(C)o conjunto de todos os autovalores deC. Ent˜ao, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

I. 1.σ(C)\ {0}=σp(C)\ {0}.

2. ParaC6= 0tem-seσp(C)\ {0} 6=∅, pois

− kCk,kCk ∩σp(C)6=∅, isto ´e, oukCkou−kCkou ambos ´e autovalor deC.

II. 1.σp(C)⊂h

− kCk, kCki .

2. Cada autovalor não-nulo de C tem degenerescência finita, ou seja, o subespa¸co de seus autovetores tem dimensão finita.

3.σp(C)´e um conjunto infinito, exceto seCfor de posto finito.

4. SeCnão for de posto finito,0será o único ponto de acumula¸cão deσp(C).

5. SeCnão for de posto finito,σp(C)é enumerável (i.e., infinito e contável). Portanto,σp(C)é enumerável se

e somente seCn˜ao for de posto finito. 2

Comentários.Enfatizamos que o espa¸co de HilbertH, no enunciado acima, não é necessariamente separável. Um outro comentário concerne ao caso de operadores compactos não-autoadjuntos. SeCé um operador compacto não-autoadjunto, pode-se provar (vide Teorema 39.34, página 2148) que o conjunto de seus autovalores não-nulos é também contável e se acumula no máximo em zero, mas pode ser vazio (mesmo queCseja de posto finito), o que não ocorre no caso de operadores compactos autoadjuntos (parteIdo enunciado acima). Um exemplo é operador de VolterraW, tratado no Exemplo 39.9 à página 2129. Outro exemplo é discutido no Exerc´ıcio E. 39.43, página 2147.

Comentamos também que seCnão for de posto finito pode ou não valer que 0∈σp(C), mas é sempre verdade que 0∈σ(C), pois 0 é um

ponto de acumula¸c˜ao deC. ♣

Prova do Teorema 39.36. SuporemosC6= 0, de outra forma n˜ao h´a o que demonstrar. Provaremos separadamente as partesIeII.

Prova da parte I.A afirma¸cão queσ(C)\ {0}=σp(C)\ {0}foi provada no Teorema 39.35, página 2153. ComoCé autoadjunto, valekCk= sup

ψ∈H,kψk=1|hψ, Cψi|(Teorema 39.12, p´agina 2055). Logo, existe uma sequˆenciaψn, n∈N,de

vetores emHcomkψnk= 1 tal quekCk= lim

n→∞|hψn, Cψni|(justifique!). ComoC=C^∗,hψn, Cψni´e um n´umero real.

Dessa forma, como o módulo dehψn, Cψniconverge akCk,hψn, Cψnideve ter uma subsequência que converge akCk ou uma subsequência que converge a−kCk(ou ambas). Para evitar sobrecarregar a nota¸cão, também denotaremos essa subsequência porhψn, Cψni, a qual convergirá parac=±kCk, conforme o caso. Agora, usando o fato quecé real, que c²=kCk²e queC=C^∗, teremos

Cψn−cψn

² = D

Cψn−cψn, Cψn−cψn

= kCψnk²+c²kψnk²

| {z }

−2chψn, Cψni

≤ kCk²

| {z }

=c²

kψnk²

| {z }

+c²−2chψn, Cψni = 2c c− hψn, Cψni .

Como lim

n→∞hψn, Cψni=c, conclu´ımos que

n→∞lim(Cψn−cψn) = 0. (39.171)

Comoψné uma sequência limitada eCé compacto, a sequênciaCψnpossui uma subsequênciaCψnj convergente, ou seja, existeψ∈Htal que lim

j→∞Cψnj=ψ. A expressão (39.171) está, então, dizendo-nos que ψ = lim

j→∞Cψnj = clim

j→∞ψnj. (39.172)

Assim,

Cψ ^(39.172)= C

clim

j→∞ψnj

C´e linear

= c C

j→∞limψnj

C´e cont´ınuo

= clim

j→∞Cψnj (39.172)

= cψ .

Logo, seψ6= 0,ψé um autovetor deCcom autovalorc= +kCkouc=−kCk. Agora, ver queψ6= 0 é fácil, pois, por (39.172)

kψk = clim

j→∞ψnj

= |c|lim

j→∞kψnjk

| {z }

= |c| = kCk 6= 0. Isso completa a prova da parteI.

Prova da parte II.

II.1. Seλé um autovalor deCexiste um autovetor (não-nulo)φ∈HdeC:Cφ=λφ. Podemos escolherφde modo quekφk= 1. Isso implica|λ|=kλφk=kCφk ≤ kCk kφk=kCk. Logo, comoλ∈R(poisCé autoadjunto), segue que λ∈h

− kCk,kCki .

II.2. Vamos supor queλseja um autovalor deCe que seja infinitamente degenerado⁶⁰. Isso significa que o subespa¸coMλ

gerado pelos autovetores deCcom autovalorλtem dimens˜ao infinita. Podemos escolher emM_λum conjunto ortonormal de vetoresφⁿ,n∈N. Comohφⁿ, φ^mi=δn, m, segue que param6=n,kφⁿ−φ^mk²=

(φⁿ−φ^m),(φⁿ−φ^m)

= 2. Logo, tamb´em param6=n,

Cφⁿ−Cφ^m ² =

λφⁿ−λφ^m ² = |λ|²

φⁿ−φ^m

² = 2|λ|².

Assim, seλ6= 0, vemos queCφⁿ,n∈N, não é uma sequência de Cauchy, assim como nenhuma de suas subsequências.

Isso contraria a hipótese queCé compacto. Essa contradi¸cão leva-nos a excluir a possibilidade deλser infinitamente degenerado, exceto seλ= 0.

II.3. Vamos supor queσp(C) seja um conjunto finito. Pelo itemII.2o subespa¸co gerado por todos os autovetores deC com autovalor não-nulo é de dimensão finita e, portanto, é fechado. Vamos denotá-lo porM. É bastante claro queMé um subespa¸co invariante porC(justifique!). Assim, pelo Corolário 39.4, página 2053,M^⊥é igualmente um subespa¸co fechado que é invariante porC.

Vamos denotar porPo projetor ortogonal sobreMe porP^⊥=1−Po projetor ortogonal sobreM^⊥. Tem-se para todoξ∈H

CP^⊥ξ = 1CP^⊥ξ = P+P^⊥

CP^⊥ξ = P CP^⊥ξ+P^⊥CP^⊥ξ = P^⊥CP^⊥ξ ,

60Aqui supomos implicitamente queHnão tem dimensão finita, senão não haveria o que demonstrar

poisP CP^⊥ξ= 0, j´a queCP^⊥ξ∈M^⊥(poisP^⊥ξ∈M^⊥eM^⊥´e invariante porC). Isso significa que

P^⊥CP^⊥=CP^⊥. (39.173)

ComoCeP^⊥são autoadjuntos, também obtém-se da última igualdade que P^⊥C = CP^⊥∗

= P^⊥CP^⊥∗

= P^⊥CP^⊥ = CP^⊥, mas n˜ao usaremos isso.

Observemos agora queP^⊥CP^⊥é compacto (pela Proposi¸cão 39.78, página 2140) e autoadjunto. Assim, pela parteI, existeϕ∈H,ϕ6= 0, tal queP^⊥CP^⊥ϕ=±P^⊥CP^⊥ϕ. Essa igualdade diz-nos queϕ∈M^⊥, poisP^⊥(CP^⊥ϕ)∈M^⊥, devido ao fatorP^⊥à esquerda. Se assim for, entãoP^⊥ϕ=ϕe, portanto,P^⊥CP^⊥ϕ=P^⊥Cϕ=Cϕ, a última igualdade seguindo do fato queCmantémM^⊥invariante. Estabelecemos, assim, queCϕ=±P^⊥CP^⊥ϕ.

Agora, se P^⊥CP^⊥

6= 0, entãoϕseria um autovetor deCcom autovalor não-nulo, o que significa queϕ∈M, pela defini¸cão deM. Ora, seϕ6= 0, isso não é poss´ıvel, pois o único vetor queMeM^⊥têm em comum é o vetor nulo.

Conclu´ımos da´ı queP^⊥CP^⊥= 0, ou seja,P^⊥CP^⊥= 0. Logo, por (39.173),CP^⊥= 0. Isso, por sua vez, diz-nos que para todoψ∈M^⊥valeCψ=CP^⊥ψ= 0.

Assim, conclu´ımos queCaniquila todo o subespa¸coM^⊥, ou seja, queM^⊥é constitu´ıdo por autovetores deCcom autovalor zero. Pelo Teorema da Decomposi¸cão Ortogonal, Teorema 38.2, página 1982, todo vetorψ∈Hpode ser escrito na formaψ=ψM+ψM^⊥, comψM∈MeψM^⊥∈M^⊥. Logo,Cψ=CψM∈M, poisMé invariante porC. ComoMé de dimensão finita, o fato queCψ∈Mpara todoψ∈Hestá precisamente dizendo-nos queCé de posto finito.

E também f´´ acil de se ver que seCé de posto finito entãoCtem um conjunto finito de autovalores. Isso completa o que quer´ıamos provar.

II.4. SeCnão é de posto finito, vimos no itemII.3queσp(C) não é um conjunto finito. Como, pelo itemII.1,σp(C) está contido no intervalo fechado e limitado (ou seja, compacto)h

− kCk, kCki

,σp(C) deve possuir pelo menos um ponto de acumula¸cão (Teorema de Bolzano-Weierstrass, Teorema 32.7, página 1542 e Teorema 32.15, página 1554)). Sejax0

um desses pontos de acumula¸cão deσp(C) e vamos supor quex06= 0. Comox0é um ponto de acumula¸cão deσp(C), temos em cada intervalo aberto (x0−ǫ, x0+ǫ), comǫ >0, infinitos autovalores deC. Tomemosǫpequeno o suficiente de modo que 06∈(x0−ǫ, x0+ǫ), ou seja, tomemosǫ >0 mas tal que|x0|> ǫ. Tomemos também uma cole¸cão contável λn,n∈N, de autovalores distintos deCcontidos no intervalo (x0−ǫ, x0+ǫ). É claro que|λn|>|x0| −ǫpara todo n. Seja, para cadan∈N, um autovetorφndeCcom autovalorλne comkφnk= 1. Como os autovalores são distintos, valehφn, φmi=δn, m. Assim, paran6=m,

kCφn−Cφmk² = kλnφn−λmφmk² =

(λnφn−λmφm),(λnφn−λmφm)

= |λn|²+|λm|² > 2|x0| −ǫ2

. Como 2|x0| −ǫ2

não depende demen, isso está dizendo-nos queCφn,n∈N, não é uma sequência de Cauchy, assim como nenhuma de suas subsequências. Isso contraria o fato deCser compacto. Logo,x06= 0 não pode ser ponto de acumula¸cão de autovalores deC. Como pelo menos um ponto de acumula¸cão deve existir, esse deve ser o pontox0= 0.

II.5. Tomemos emh

− kCk,kCki

um intervalo fechado [a, b] que não contém 0. Se [a, b] contivesse infinitos autovalores deC, então haveria em [a, b] um ponto de acumula¸cão de tais autovalores, o que já vimos ser imposs´ıvel. Assim [a, b]∩σp(C) é um conjunto finito. Portanto, conjuntos comoh

−kCk,−^kCkn

∩σp(C) eh

kCk n ,kCki

∩σp(C) s˜ao finitos para todon∈N. Como

σp(C)\ {0} = [∞ n=1

−kCk,−kCk n

∪ kCk

n ,kCk

∩σp(C),

conclu´ımos que o lado direito é uma união contável de conjuntos contáveis (finitos). Logo,σp(C)\ {0}é contável e, portanto,σp(C) é contável. A afirma¸cão queσp(C) é enumerável se e somente seCnão for de posto finito segue disso e do item II.3.

Isso completa a prova da parteII.

Estamos agora prontos para abordar o Teorema Espectral para operadores compactos e autoadjuntos.

•O Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos

Para o enunciar o Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos e para simplificar sua demonstra¸c˜ao precisamos acertar algumas conven¸c˜oes.

SeCé um operador compacto e autoadjunto agindo em um espa¸co de HilbertH, vimos no Teorema 39.36 que o conjunto de seus autovalores é contável (e até mesmo finito, casoCseja de posto finito) e cada autovalor não-nulo é finitamente degenerado. Vamos denotar porλn,n∈N, o conjunto dos autovalores não-nulos,convencionando que se um autovalorλtem multiplicidadekentão ele aparecek, vezes seguidas na contagem, de forma que tenhamos, digamos, λm =· · · =λm+k−1 =λ. Com isso, a sequênciaλn,n ∈N, contém cada autovalor repetido o número de vezes correspondente à sua multiplicidade. Podemos convencionar também que os autovalores são ordenados de tal forma que

|λk| ≤ |λl|para todok≥l, ou seja, de forma que a sequência|λn|, n∈Nseja não-crescente. Sabemos que autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. O subespa¸coM_λgerado pelos autovetores de autovalorλ tem dimensãok, a multiplicidade deλ. Com isso, podemos encontrar emMλum conjunto ortonormal dekautovetores φm, . . . , φm+k−1. Constitu´ımos dessa forma um conjunto ortonormalφn,n∈N, de autovetores deC, cada qual com autovalorλn:Cφn=λnφn, para todon∈N. Vamos denotar porPno projetor ortogonal relativo a cada autovetorφn: para todoψ∈HvalePnψ:=hφn, ψiφn.

CasoCseja de posto finito, então as sequênciasλn,n∈N,φn,n∈NePn,n∈Nsão, em verdade, sequências finitas. Lembramos também que casoCnão seja de posto finito, então 0 é o único ponto de acumula¸cão da sequência λn,n∈N(novamente pelo Teorema 39.36), o que implica limn→∞λn= 0, fato que usaremos adiante.

Com essas conven¸c˜oes e com essa nota¸c˜ao, temos o seguinte:

Teorema 39.37 (Teorema Espectral para Operadores Compactos Autoadjuntos) Seja C um operador com-pacto e autoadjunto agindo em um espa¸co de HilbertH. Ent˜ao, a sequˆencia de operadores de posto finito

XN n=1

λnPn, N∈N, converge aCna norma deB(H). Assim, para todoψ∈Htem-se

Cψ = X∞ n=1

λnPnψ = X∞ n=1

λnhφn, ψiφn. (39.174)

Comentários.Enfatizamos que o espa¸co de HilbertH, no enunciado acima, não é necessariamente separável.

ComoCφn=λnφn, a express˜ao (39.174) significa tamb´em que para todoψ∈H,Cψ=

∞ X

n=1

hφn, ψiCφn. Compare-se isso `as afirma¸c˜oes

do Teorema 39.33, p´agina 2142. ♣

Prova do Teorema 39.37. SejaP_m≡[φ1, . . . , φm],m∈No subespa¸co deHgerado pelos autovetores ortonormais φ1, . . . , φmdeC. Por ser de dimens˜ao finita, cadaPm´e um subespa¸co fechado deH. Para cadaN∈Ndefina-se

KN := C− XN n=1

λnPn. CasokKMk= 0 para algumM∈N, ent˜aoC=PM

n=1λnPne a prova est´a completa. CasokKNk 6= 0 para todoN∈N, procedemos da seguinte forma.

Como os vetoresφnformam um conjunto ortonormal, valePiφj=hφi, φjiHφi=δi, jφi. Logo, se 1≤l≤N, tem-se KNφl = Cφl−

XN n=1

λnPnφl = λlφl−λlφl = 0, o que significa dizer queKNaniquila o subespa¸coPN.

OsPj’s são autoadjuntos e compactos (por serem de posto finito) e, portanto, cadaKNé também compacto e autoadjunto. O Teorema 39.36, página 2155, garante, então, queKNpossui um autovalor igual akKNkou a−kKNk.

Sejaψum autovetor n˜ao-nulo correspondente. TeremosKNψ=cNψondecN=kKNkoucN=−kKNk. ComoKN

aniquila o subespa¸coPN, essa igualdade e a hip´otese quecN6= 0 implicam queψ∈(PN)^⊥.

Para ver isso, lembremos que pelo Teorema da Decomposi¸cão Ortogonal, Teorema 38.2, página 1982, podemos escrever ψ=χ+ξ, ondeχ∈PNeξ∈(PN)^⊥. ComoKNé autoadjunto e aniquila todo vetor dePN, valehχ, KNψiH= hKNχ, ψiH= 0. Como,KNψ=cNψ, isso diz-nos que 0 =cNhχ, ψiH=cNhχ, χiH=cNkχk², provando queχ= 0 e queψ=ξ∈(P_N)^⊥.

Agora, o fato queψ∈(P_N)^⊥implicaPnψ= 0 para todo 1≤n≤N. Logo,KNψ=Cψe a igualdadeKNψ=cNψ significaCψ=cNψ, ou seja,kKNkou−kKNk´e um autovalor deC.

Quando definimos a sequênciaλn, n∈N, convencionamos colocar consecutivamente autovalores de multiplicidade repetida e ordená-los de modo que|λn|, n∈Nseja uma sequência não-crescente. Isso implica que secN=±kKNké um autovalor deCcujo autovetor não pertence aPn, então temos|cN| ≤ |λN|, ou seja,kKNk ≤ |λN|. Agora, também pelo Teorema 39.36, limN→∞|λN|= 0, o que implica limN→∞kKNk= 0. Isso é precisamente o que quer´ıamos provar.

•Base ortonormal completa de autovetores de um operador compacto autoadjunto

SejaCum operador compacto e autoadjunto agindo em um espa¸co de Hilbert (não necessariamente separável)H. SejaB₁={φn|n∈N}, como acima, um conjunto ortonormal contável de autovetores deCcom autovalores não-nulos.

SejaTo fecho do subespa¸co gerado pelos vetoresφn,n∈N. É fácil de ver que seψ∈T^⊥, entãoψ∈Ker (C). De fato, para todoψ∈T^⊥valehφn, ψiH= 0 para todone, por (39.174), isso implicaCψ= 0. Vemos, portanto, queHé uma soma direta dos subespa¸cos fechadosTe Ker (C). Como Ker (C) é fechado, é um espa¸co de Hilbert e, portanto, possui uma base ortonormal completa (não necessariamente contável)B0. Todos os vetores dessa base são autovetores deC com autovalor nulo. O conjuntoB₀∪B₁será, portanto, uma base ortogonal completa emH, formada por autovalores (nulos ou não) deC. Conclu´ımos então a prova do seguinte teorema:

Teorema 39.38SejaCum operador compacto e autoadjunto agindo em um espa¸co de Hilbert (não necessariamente separável)H. Então, o espa¸co de HilbertHdecompõe-se em uma direta de subespa¸cos ortogonaisH=H0⊕

M∞ k=1

! , ondeH₀ := Ker (C)é o subespa¸co dos autovetores deCcom autovalor0eH_k := Ker (λk1−C)é o subespa¸co dos autovetores deCcom autovalorλk. CadaHk comk≥1tem dimensão finita eH0 pode ter dimensão infinita. Por conseguinte,Hpossui uma base ortonormal completa formada por autovetores (com autovalores nulos ou não) deC. 2

Esse teorema pode também ser demonstrado sem evocar-se o Teorema Espectral. Para tal, considere-se o subespa¸co fechadoAdeHformado pela soma direta deT e Ker (C). Ou seja,Aé o subespa¸co fechado gerado por todos os autovetores deC(com autovalores nulos ou não). ComoAé mantido invariante porC, entãoA^⊥também o é (Corolário 39.4, página 2053). SeP^⊥é o projetor ortogonal sobreA^⊥, então o fato deA^⊥ser invariante porCsignificaCP^⊥= P^⊥CP^⊥. Agora,P^⊥CP^⊥é obviamente compacto e autoadjunto (Proposi¸cão 39.78, página 2140). Vamos supor que P^⊥CP^⊥6= 0. Pelo Teorema 39.36, existiráφ∈H,φ6= 0, tal queP^⊥CP^⊥φ=cφ, ondec=±P^⊥CP^⊥. Essa expressão implicaφ∈A^⊥(devido ao fatorP^⊥do lado esquerdo). Assim, ela afirma queCφ=cφ. Mas isso diz-nos que φé autovalor deC, o que só é poss´ıvel seφ∈A. LogoP^⊥CP^⊥= 0, mas isso, por sua vez, implicaCP^⊥= 0, pois CP^⊥=P^⊥CP^⊥. Logo, para todoψ∈A^⊥teremosCψ=CP^⊥ψ= 0, o que implicaψ∈Ker (C). Agora, Ker (C)⊂A e o único vetor queAeA^⊥têm em comum é o vetor nulo. Provamos então que seψ∈A^⊥entãoψ= 0, ou sejaA=H. Pela defini¸cão, isso diz precisamente que o conjunto ortonormalB0∪B1, que geraA, é uma base ortonormal completa emH, encerrando novamente a prova.

Comentário. Os Teoremas 39.36 e 39.38 foram demonstrados por Hilbert⁶¹, Schmidt⁶², Riesz⁶³e Schauder⁶⁴. O Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos foi provado por Hilbert em 1906, sendo o restante da teoria (re)elaborado pelos demais autores por volta de 1908. Esses trabalhos são os marcos iniciais da Análise Funcional. Para mais detalhes históricos desses importantes desenvolvimentos, vide

[95]. ♣

•O caso de operadores compactos n˜ao-autoadjuntos

O Teorema Espectral demonstrado acima para operadores compactos e autoadjuntos pode ser, como veremos, esten-dido em um certo sentido para operadores compactos não-autoadjuntos. Já observamos, porém, que nem todo operador

61David Hilbert (1862–1943).

62Erhard Schmidt (1876–1959).

63Frigyes Riesz (1880–1956).

64Juliusz Pawel Schauder (1899–1943). Schauder foi tragicamente assassinado pela Gestapo.

compacto em espa¸cos de dimensão infinita possui autovalores. Assim, esperamos alguma diferen¸ca em rela¸cão ao caso autoadjunto, pois na decomposi¸cão espectral (39.174) são os autovaloresλndeCque comparecem. A observa¸cão crucial vem do fato que|C|:=√

C^∗Cé compacto e autoadjunto (Proposi¸cão 39.82, página 2145) e, pelo Teorema 39.36, página 2155, possui autovalores, valendo inclusive o Teorema 39.37.

SejaC um operador compacto mas não necessariamente autoadjunto e sejaC = U|C|sua decomposi¸cão polar (Teorema 39.31, página 2136). Pela Proposi¸cão 39.82, página 2145, sabemos que|C|é compacto, autoadjunto e positivo.

Podemos, pelo Teorema Espectral para operadores compactos e autoadjuntos, Teorema 39.37, p´agina 2158, escrever

|C| = X∞ n=1

µnhφn,· iφn, (39.175)

ondeµnsão os autovalores positivos de|C|(os quais são positivos pois|C|é um operador positivo) eφnos correspondentes autovetores normalizados. Usando a decomposi¸cão polarC=U|C|, temos então

C = X∞ n=1

µnhφn,· iU φn.

Lembremos que, pelo Teorema da Decomposi¸c˜ao Polar (Teorema 39.31, p´agina 2136), Ker (U) = Ker |C|

= Ker (C), de modo queU φn6= 0, poisµn>0. Se definirmosψn:=U φn, teremoshψn, ψmi=hU φn, U φmi=hφn, φmi=δm, n, a segunda igualdade decorrendo do fato deUser uma isometria parcial (e do fato queU φn6= 0 para todon∈N). Isso mostra que os vetoresψn, tal como os vetoresφn, formam um conjunto ortonormal.

Em resumo, o que conclu´ımos desses coment´arios ´e o seguinte:

Teorema 39.39 (Representa¸cão Canônica de Operadores Compactos) Seja C um operador compacto agindo em um espa¸co de HilbertH. Então, existem números positivosµn, n∈N(denominadosvalores singularesdo ope-radorC) e conjuntos ortonormaisφn, n∈N, eψn, n∈N, emHtais que

C = X∞ n=1

µnhφn,· iψn, (39.176)

a convergência da série de operadores do lado esquerdo se dando na norma deB(H). SeCfor de posto finito, a soma acima será finita. Assim, para todoχ∈Hpodemos escrever

Cχ = X∞ n=1

µnhφn, χiψn, (39.177)

A representa¸cão (39.176), ou (39.177), é denominadarepresenta¸cão canônica do operador compactoC. 2

Nota.Definindo os operadores lineares e limitadosQnχ:=hφn, χiψn,n∈N, podemos escrever (39.176) na forma C =

∞ X

n=1 µnQn.

Note-se que os operadoresQnsão compactos (por serem de posto finito) e satisfazemQ²n=hφn, ψniQn(verifique!) e geralmente não são,

portanto, projetores, nem sequer s˜ao autoadjuntos, exceto seφn=ψn. ♣

A expressão (39.176) está também dizendo-nos que todo operador compactoCagindo em um espa¸co de Hilbert pode ser aproximado em norma por operadores de posto finito. Isso generaliza o Teorema 39.33, página 2142, pois aqui não precisamos supor queHseja separável.

A decomposi¸cão (39.176) generaliza para operadores compactos em espa¸co de Hilbert a decomposi¸cão em valores singulares para matrizes, a qual foi apresentada na Se¸cão 10.8.2, página 542.

•Valores singulares de um operador compacto

Os n´umerosµnque comparecem em (39.176) e (39.177) s˜ao denominadosvalores singularesdo operador compactoC.

Vemos que trata-se dos autovalores de|C|. O operadorCnão necessariamente tem autovalores mas sempre tem valores singulares e, por isso, há que se fazer a distin¸cão entre ambos os conceitos.

E. 39.44Exerc´ıcio. Mostre que a representa¸cão canônica do operador compacto não-autoadjuntoC:ℓ2(N)→ℓ2(N)definido no Exerc´ıcioE. 39.43, página 2147, é

Ca = X∞

k=1

khek, aiek+1, paraa∈ℓ2(N), ondeek∈ℓ2(N)´e o vetor cujal-´esima componente ek

l´e dada por ek

l=δk, l. 6

•Operadores nucleares

Já comentamos à página 2143 que nem todo operador compacto agindo em espa¸cos de Banach pode ser aproximado por operadores de posto finito. Para espa¸cos de Hilbert, porém, isso é verdade, como atesta a expressão (39.177). No entanto, essa mesma expressão motiva uma importante defini¸cão que apresentaremos e discutiremos brevemente aqui: a deoperadores nucleares, no¸cão introduzida por Grothendieck⁶⁵.

SejamXeYdois espa¸cos de Banach. Um operador limitadoN:X→Y´e dito ser umoperador nuclearse existirem constantesµn>0, n∈N, comP∞

n=1µn<∞, funcionais lineares cont´ınuosln∈X^†comklnkX^†= 1 para todon∈Ne vetoresyn∈Ycomkynk^Y= 1 para todon∈N, tais que

N x= X∞ n=1

µnln(x)yn, (39.178)

para todox∈X.

A condi¸c˜aoP∞

n=1µn< ∞, é inclu´ıda por ser suficiente para garantir convergência do lado direito da expressão (39.178). Pela expressão (39.177), vemos que um operador compacto em um espa¸co de Hilbert é nuclear se e somente se a sequência de seus valores singulares for somável.

E. 39.45Exerc´ıcio-exemplo.Sejaψn,n∈N, um conjunto ortonormal de vetores em um espa¸co de HilbertHe sejaPno projetor ortogonal sobreψn. O operador

C = X∞

n=1

1 nPn

é compacto (vide o exemplo da equa¸cão (39.160)) mas não é nuclear. Justifique essas afirma¸cões. 6

Como exerc´ıcio, deixamos ao leitor demonstrar as seguintes afirma¸cões, válidas no contexto geral de espa¸cos de Banach:1.todo operador de posto finito é nuclear (isso é evidente, aliás);2.todo operador nuclear é compacto;3.toda combina¸cão linear de dois operadores nucleares é novamente um operador nuclear;4.o produto (à direita ou à esquerda) de um operador nuclear por um operador cont´ınuo é novamente um operador nuclear. Vide [429].

39.9 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espa¸ cos de Hilbert

Na presente se¸cão trataremos do Teorema Espectral para operadores limitados autoadjuntos agindo em espa¸cos de Hilbert em suas diversas formas. Seguiremos proximamente [315], mas completaremos várias lacunas daquela exposi¸cão.

39.9.1 O C´ alculo Funcional Cont´ınuo e o Homomorfismo de Gelfand

Come¸camos com uma defini¸c˜ao elementar. Sep(x) =a0+Pn

k=1akx^k´e um polinˆomio emx∈C, eT∈B(H),Hsendo um espa¸co de Hilbert, define-sep(T)∈B(H) porp(T) :=a01+Pn

k=1akT^k. Convencionando queT⁰=1, podemos escrever tamb´emp(T) =Pn

k=0akT^k.

O seguinte lema resume alguns fatos fundamentais a respeito de polinômios de operadores autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert e é um caso particular da Proposi¸cão 39.42, página 2077, dispensando demonstra¸cão.

65Alexander Grothendieck (1928–2014).

Lema 39.14SejaH um espa¸co de Hilbert eA∈B(H)um operador limitado e autoadjunto. Seja tamb´emp(x) =

k=0Σakx^kum polinômio emx∈C. Então, o espectro dep(A)é a imagem porpdo espectro deA, ou seja, σ p(A)

p(λ), λ∈σ(A) =: p σ(A)

. (39.179)

Fora isso,p(A)= sup

λ∈σ(A)

p(λ). 2

Seja agora o espa¸co de BanachC σ(A)

da fun¸c˜oes complexas cont´ınuas definidas no espectro deAdotado da norma kfk∞ := sup_λ∈σ(A)f(λ)e sejaP σ(A)

o subespa¸co deC σ(A)

formado por polinˆomios. Sabemos pelo Teorema de Weierstrass (Teorema 36.18, p´agina 1848) queP σ(A)

´e denso emC σ(A)

. Vimos tamb´em no Lema 39.14 que a aplica¸c˜aoφA≡φ:P σ(A)

→B(H) dada porφ(p) =p(A) satisfaz φ(p)

_B(H)=kpk∞. Ora, isso diz-nos queφ´e limitada e, pelo Teorema BLT, Teorema 39.1, p´agina 2023, pode ser estendida unicamente e isometricamente ao fecho de

No documento 2036 39.2 Operadores Limitados em Espa¸cos de Hilbert (páginas 70-74)