Dentre as premissas de cálculo consideradas nas análises anteriores sobre a estabilidade de sistemas elásticos, a mais importante delas é a consideração de que as perturbações atuantes nos sistemas são pequenas. Definiu-se como posição de equilíbrio estável para um sistema aquele em que, quando o sistema é submetido a uma pequena perturbação externa, ao se retirar tal perturbação, este retorna ao seu estado de equilíbrio inicial. Caso contrário, diz-se que a posição de equilíbrio do sistema é instável.
Ocorre que, a perturbação dita pequena pode ser tão pequena quanto possível, em outras palavras, uma perturbação infinitesimal. Assim sendo, tais análises e suas formulações não são aplicáveis, a princípio, no caso de perturbações mais energéticas, isto é, grandes perturbações. Neste caso a análise da estabilidade é denominada “Análise da estabilidade no caso de grandes deformações”. É fácil de concluir que um sistema estável a grandes perturbações também é estável no caso de pequenas. No entanto, a afirmação contrária não é verdadeira.
Uma ilustração do caso pode ser apresentada com o exemplo das esferas sobre superfícies curvas, como mostrado na Figura 15. Outro exemplo de sistema elástico que pode manter a estabilidade no caso de perturbações pequenas e não pode mantê-la no caso de grandes perturbações, é o pilar de extremidades planas comprimido entre duas lajes. Ademais, a análise da estabilidade dos sistemas elásticos no caso de grandes perturbações é muito mais complexa que no caso de pequenas perturbações, sendo que nesses casos, a solução dos problemas reduz- se, por via de regra, a uma análise de equações não lineares.
Figura 15 - Posições de equilíbrio Fonte: Autor
Outro caso de posição de equilíbrio estável possível é o denominado equilíbrio indiferente ou equilíbrio neutro (Figura 15). Observa-se que, para a esfera apoiada sobre a superfície reta, uma perturbação externa atuando sob esta não a retira de sua situação de equilíbrio. Analisando do ponto de vista energético, uma vez perturbada a esfera, o centro de massa desta permanece no mesmo nível, de modo que a variação da energia potencial é nula (ΔU=0).
É possível sintetizar os critérios de estabilidade de um corpo rígido de acordo com o ponto de vista da análise adotada; Critério Estático onde é analisado o equilíbrio de forças e momentos ou o Critério Energético onde é analisada a variação da energia potencial total do sistema. Segundo Ferreira et al. (2006):
Critério Estático: Estabelecem-se as equações de equilíbrio
estático para o sistema sujeita a pequena perturbação em relação ao estado inicial de equilíbrio e verifica-se a tendência das forças resultantes em restaurar ou não o sistema ao seu estado inicial de equilíbrio. Se a tendência é para restituir o
sistema perturbado ao seu estado inicial, diz-se que o equilíbrio é estável.
Critério Energético: Admitindo-se que o sistema é
conservativo e que a energia potencial total é uma função contínua das coordenadas generalizadas, o sistema será estável se o incremento na energia potencial total devido a um campo de
deslocamento adicional suficientemente pequeno e
cinematicamente admissível for positivo definido, ou seja, a energia potencial total é mínima. O sistema será instável se esse incremento for negativo. (FERREIRA, SILVEIRA e NETO, 2006)
Considere ainda, outra premissa de cálculo das análises anteriores, a hipótese sobre a irrelevância das forças de inércia que surgem durante o movimento do sistema. Como consequência desta hipótese, a análise da estabilidade das formas de equilíbrio fica limitada a uma análise estática, que por vezes é denominada de Método Estático.
Há, no entanto, o denominado Método Dinâmico, onde o estudo da estabilidade se desenvolve analisando as leis de movimento do sistema submetido a um impulso que o desvia de sua posição inicial. Se o movimento do sistema se desenvolve de maneira que a posição inicial do equilíbrio se restabelece, então esta posição é dita estável.
Ocorre que, para a maioria dos problemas práticos, os métodos estáticos e dinâmicos são equivalentes e fornecem os mesmos valores para cargas críticas. No entanto, em casos particulares, a análise de um sistema pelo método estático não fornece uma solução dada à inexistência de formas de equilíbrio diferentes da original. Ao se perder a estabilidade, tais sistemas entram, em geral, num regime de movimento oscilatório de amplitude crescente.
Um exemplo de sistema com tais características é mostrado na Figura 16, onde uma barra engastada em sua extremidade inferior é solicitada por uma carga axial que atua permanentemente segundo a normal à extremidade superior. É possível demonstrar que para esta barra, não existe formas de equilíbrio com o eixo flexionado. Aplicando-se o Método Dinâmico e assumindo-se uma distribuição uniforme de massa, obtém-se a carga crítica desta barra:
𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 ≈ 20𝐸𝐼
𝐿2 (2.54)
Figura 16 - Perda de estabilidade pelo método dinâmico Fonte: Adaptado de Féodosiev (1977)
Para uma carga P igual à Pcrit a forma retilínea do equilíbrio torna-se instável e quando P aumenta ainda mais, surgem na barra oscilações de flexão.
Finalmente, observa-se que, na seção 2.1.3 analisou-se o problema da estabilidade para barras que apresentam tensões superiores ao limite de elasticidade do material. Ocorre que, considerando a definição inicial de estabilidade, tais problemas não se enquadram totalmente no esquema clássico da análise. Isto decorre do fato de que, a partir do momento que no corpo surgem deformações plásticas, o sistema perde a capacidade de retornar a posição de equilíbrio inicial. Assim, a formulação encontrada para este tipo de sistema apresenta uma inconsistência teórica dada à definição de Estabilidade. Féodosiev (1977) propõe uma definição diferente para estabilidade a fim de contemplar os sistemas com deformações plásticas na metodologia de análise anterior.
“É qualificado como estável, o sistema que no caso de perturbações pequenas não passa a um estado qualitativamente novo.” (Feódosiev, 1977, p.497).