Pontos Conjugados e a Equa¸c˜ ao de Jacobi

γ t, p, v(s)

, γ t, p, v(s)˙

Sw⊥(t, s) = g

˙

γ 0, p, v(s)

, γ˙ 0, p, v(s)

Sw⊥(0, s)≡p

= g v(s), v(s)

p = g v+sw⊥, v+sw⊥

p = g v, v

p+s²g w⊥, w⊥

p. Logo, temos que

∂

∂tg

∂Sw_⊥

∂t (t, s), ∂Sw_⊥

∂s (t, s)

Sw⊥(t, s)

= s g w⊥, w⊥

p . Como essa express˜ao anula-se ems= 0, segue queg_∂S

w⊥

∂t (t, 0), ^∂S_∂s^w⊥(t, 0)

Sw⊥(t,0)≡exp_p(tv)´e constante emt. Por´em, por (34.242), ^∂S_∂s^w⊥(t, 0) anula-se emt= 0 e, assim,

g ∂Sw_⊥

∂t (t, 0), ∂Sw_⊥

∂s (t, 0)

exp_p(tv)

= 0 para todot. (34.249)

Logo, por (34.248), estabelecemos queg

(dexp_p)v(v), (dexp_p)v(w⊥)

exp_p(v)= 0, provando (34.246).

Expresso em outros termos, (34.249) informa-nos que g

˙

γ t, p, v , d

dsγ t, p, v+sw⊥ s=0

γ(t, p, v)

= 0, (34.250)

para cadat∈[0, 1] e para todosv∈T_pM para os quais exp_p(v) esteja definida e todo w∈T_v(T_pM)≃T_pM. Essa afirma¸c˜ao possui um conte´udo geom´etrico, o qual expressamos na seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 34.16 Seja r >0 tal queexp_p(v)esteja definida para todo v∈T_pM comg(v, v)p=r. Seja S(r) ={v^′ ∈ T_pM|g(v^′, v^′)p=r} a superf´ıcie da “esfera” emT_pM de raior(segundo o tensor m´etricog) centrada na origem. Para t∈[0, 1], seja a superf´ıcie emM definida por S_t(r) :=

γ t, p, v^′

, v^′ ∈S(r) ⊂M, ou seja, a imagem de S(r)pelo mapa T_pM ∋u7→exp_p(tu)∈M.

Ent˜ao, para cada t ∈ [0, 1] e cada v ∈S(r) o vetor tangente γ t, p, v˙

da geod´esica τ 7→ γ τ, p, v

´e ortogonal (segundog) `a superf´ıcieS_t(r)no pontoγ t, p, v

. 2

Prova. A demonstra¸c˜ao ´e uma mera reinterpreta¸c˜ao dos fatos j´a expostos. Fixemos o vetorv∈S(r). Para os pontos da curvas7→v+sw⊥ ∈T_pM teremosg v+sw⊥, v+sw⊥

p=g v, v

p+s²g w⊥, w⊥

pe, portanto, a curvas7→v+sw⊥

tangencia ems= 0 a superf´ıcieS(r) emv. Agora, o vetor _ds^dγ t, p, v+sw⊥

s=0´e tangente a superf´ıcieS_t(r) no ponto γ t, p, v

para qualquerw⊥ ortogonal (segundog) av. Assim, (34.250) est´a afirmando que para cadat∈[0, 1] o vetor tangente ˙γ t, p, v

`a geod´esica que parte depcom velocidadev´e ortogonal `a superf´ıcieS_t(r) no pontoγ t, p, v . A afirma¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 34.16 ´e a vers˜ao do Lema de Gauss, tal como originalmente formulado por seu autor.

34.4.2 Pontos Conjugados e a Equa¸c˜ ao de Jacobi

Nesta se¸c˜ao discutiremos algumas propriedades especiais de fam´ılias de geod´esicas, como a de focaliza¸c˜ao, e discutiremos a influˆencia da curvatura sobre essas propriedades. Salvo men¸c˜ao em contr´ario estaremos sempre lidando com conex˜oes de Levi-Civita.

34.4.2.1 A Equa¸c˜ ao de Jacobi

Consideremos a superf´ıcie S ≡Sv, w = exp_p tv(s)

, definida em (34.236), v(s) na formav(s) = v+sw, com v, w ∈ T_pM, para um certo p ∈ M, fixo. Naturalmente, v(0) = v e v^′(0) = w. Consideremos nessa superf´ıcie o campo O∋(t, s)7→ ^∂S_∂s^{v, w}(t, s)∈Tγ(t, p, v(s))M, com (t, s)∈O. Como discutimos anteriormente (p´agina 1728), ^∂S_∂s^{v, w}(t, s)

´e o campo dasvaria¸c˜oes geod´esicas sobre a superf´ıcie definida pela fun¸c˜aoSv, w. No que segue, vamos estabelecer uma equa¸c˜ao diferencial, denominada equa¸c˜ao de Jacobi, satisfeita por ^∂S_∂s^{v, w}(t, 0), a varia¸c˜ao geod´esica sobre a geod´esica t7→γ(t, p, v). sendo que na passagem da primeira para a segunda linha usamos o Lema de Simetria, Lema 34.1, p´agina 1694, e na

´

ultima igualdade usamos a Proposi¸c˜ao 34.7, p´agina 1709.

Consideremos agora a geod´esica t 7→ γ t, p, v(0)

e sobre a mesma os campos definidos por t 7→ ^∂S_∂s^{v, w}(t, 0) e t7→ ^∂S∂t^{v, w}(t, 0) = ˙γ t, p, v(0)

≡γ(t). O primeiro ´e o campo de varia¸c˜˙ ao geod´esica sobre a geod´esica t7→γ(t, p, v) induzida por uma varia¸c˜ao “infinitesimal” da velocidade inicial na dire¸c˜aow. O segundo ´e o campo das velocidades sobre a mesma geod´esica.

A igualdade obtida em (34.251) implica (tomando-se s= 0) D²

para todo t. Essa express˜ao inspira as seguintes defini¸c˜oes. Dada uma geod´esica t 7→γ(t, p, v), t ∈ (a, b), dizemos que um campo J(t)∈ T_{γ(t, p, v)}M, t ∈(a, b), definido ao longo de γ, ´e um campo de Jacobi⁴⁶ se satisfizer a equa¸c˜ao

para todot ∈(a, b). A equa¸c˜ao (34.253) ´e denominadaequa¸c˜ao de Jacobi. Trata-se de uma equa¸c˜ao diferencial linear de segunda ordem e estaremos interessados em trat´a-la enquanto problema de valor inicial, com dados inicias tais como J(0) e _dt^dJ(0) ouJ(0) e ^D_dtJ(0) (assumindo aqui 0∈(a, b)). Note-se que ^D_dtJ(0) pode ser expressa em termos deJ(0) e

d

dtJ(0) e, reciprocamente, que _dt^dJ(0) pode ser expressa em termos deJ(0) e ^D_dtJ(0), o que facilmente se vˆe pela express˜ao (34.66), p´agina 1689, da deriva¸c˜ao covariante em uma carta local de coordenadas.

• Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Jacobi

Antes de prosseguirmos, vamos discutir algumas solu¸c˜oes mais ´obvias da equa¸c˜ao de Jacobi. Afirmamos que os campos

J₁^v,w(t) := ∂Sv, w

∂s (t, 0), J₂^v(t) := ˙γ(t, p, v), e J₃^v(t) := tJ2(t) := tγ(t, p, v)˙ (34.254) s˜ao campos de Jacobi definidos sobre a geod´esicat7→γ(t, p, v) e satisfazem as condi¸c˜oes iniciais



A argumenta¸c˜ao que justifica tais afirma¸c˜oes ´e a que segue:

46Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

1. Como vimos em (34.252), o campo J₁^v,w(t) = ^∂S_∂s^{v, w}(t, 0) ´e um campo de Jacobi e satisfaz J₁^v,w(0) = 0 (vide pois, _ds^Dv(s) =v^′(s) para todos. O estudante n˜ao convencido dessa ´ultima igualdade deve recordar que, em uma carta local de coordenadas, na qual possamos escrever as coordenadas de γ t, p, v(s)

como x^k(t, s), teremos

γ(t) = 0, devido `a antissimetria do tensor de curvaturaR, o que mostra que (34.253) ´e, nesse caso, trivialmente satisfeita.

Para esse campo de Jacobi tem-seJ₂^v(0) = ˙γ p, 0, v(0)

=v(0)≡ve ^D_dtJ₂^v(0) = 0, pois ^D_dtJ₂^v(t) =^D_dtγ(t) = 0 para˙ todo t, novamente pela equa¸c˜ao da geod´esica.

3. O campoJ₃^v(t) =tγ(t) ´e tamb´em um campo de Jacobi, pois˙ R tγ(t),˙ γ(t)˙

Da linearidade da equa¸c˜ao de Jacobi e das considera¸c˜oes acima, conclu´ımos:

Lema 34.6 Considere-se a geod´esica[0, a]∋t7→γ(t, p, v). Ent˜ao, fixadas condi¸c˜oes iniciaisJ(0)e ^D_dtJ(0), a equa¸c˜ao de Jacobi (34.253) possui solu¸c˜ao ´unica. Em particular, para as condi¸c˜oes iniciais J(0) = 0 e _dt^DJ(0) =w a solu¸c˜ao

´

unica ´eJ₁^v,w(t). 2

E f´acil inferir disso, que em uma variedade´ ndimensional existemncampos de Jacobi linearmente independentes.

• Algumas propriedades dos campos de Jacobi

As afirma¸c˜oes da proposi¸c˜ao e do corol´ario que seguem e suas demonstra¸c˜oes provˆem de [271].

Proposi¸c˜ao 34.17 SeJ ´e um campo de Jacobi ao longo de uma geod´esica [0, a]∋t7→γ(t, p, v) ent˜ao vale para todo

devido `a antissimetria do tensor de curvatura. Isso mostrou que g _dt^DJ, γ˙

(t) ´e constante e, logicamente, igual a g ^D_dtJ, γ˙

(0). Logo, (34.257) fica _dt^dg(J, γ) (t) =˙ g _dt^DJ, γ˙

(0). Integrando-se ambos os lados entre 0 e t, obtemos g(J, γ) (t) =˙ g(J, γ) (0) +˙ tg ^D_dtJ, γ˙

(0), como quer´ıamos provar.

Corol´ario 34.3 Seja J um campo de Jacobi sobre uma geod´esica [0, a]∋ t7→ γ(t, p, v)≡γ(t). Se existirem t1 e t2

distintos em[0, a]tais queg(J, γ)(t˙ 1) =g(J, γ)(t˙ 2)ent˜aog ^D_dtJ(0), v

p= 0eg(J, γ)(t)˙ ´e constante em todo[0, a]. 2

Prova. E evidente da linearidade em´ t do lado direito da express˜ao (34.256) que se existiremt1 et2 distintos em [0, a]

tais queg(J, γ)(t˙ 1) =g(J, γ)(t˙ 2) ent˜aog ^D_dtJ(0), v

p= 0 eg(J, γ)(t) ´e constante em todo [0, a].˙

34.4.2.2 Pontos Conjugados

• Pontos conjugados

Seja [−a, a]∋t 7→γ(t)≡γ(t, p, v), a >0, uma geod´esica que passa por p∈ M em t = 0. Um ponto ˜p=γ(t0), t0∈[−a, 0)∪(0, a], ´e dito ser umponto conjugadodepse existir sobre a curvaγum campo de Jacobi n˜ao identicamente nuloJ tal que J(0) = 0 eJ(t0) = 0.

Como se percebe, a quest˜ao por tr´as da existˆencia de pontos conjugados ´e a quest˜ao de saber se alguma varia¸c˜ao geod´esica ^∂S_∂s^{v, w}(t, 0) da geod´esica γ(t, p, v) anula-se em outro ponto que n˜ao p. Dessa forma, podemos interpretar pontos conjugados apcomo pontos de focaliza¸c˜ao de geod´esicas “infinitesimalmente” pr´oximas que partem de p.

O corol´ario a seguir ´e uma decorrˆencia elementar do Corol´ario 34.3, p´agina 1734, e dispensa demonstra¸c˜ao.

Corol´ario 34.4 Se uma geod´esica [0, a] ∋ t 7→ γ(t, p, v) ≡ γ(t) possuir um ponto conjugado a p, digamos, em t0∈(0, a], e J for um campo de Jacobi n˜ao-nulo tal que J(0) =J(t0) = 0, ent˜ao g ^D_dtJ(0), v

p = 0 e g(J, γ)(t) = 0˙ para todo t∈[0, a], ou seja, o campoJ ´eg-ortogonal ao vetor tangente aγ em toda a geod´esica. 2

E interessante observar que decorre de (34.256) e de (34.255) que´ g

J₁^v,w(t), γ(t, p, v)˙

γ(t, p, v) = tg(w, v)p ,

que g(J₂^v, γ)(t) =˙ g(v, v)p e que g(J₃^v, γ)(t) =˙ tg(v, v)p (as duas ´ultimas rela¸c˜oes s˜ao triviais pelas defini¸c˜oes de J₂^v eJ₃^v). Disso segue que se ptem um ponto conjugado em γ, digamos, em t0, e J₁^v,w anula-se em 0 e em t0, ent˜ao g(w, v)p= 0, ou seja,w´eg-ortogonal `a velocidade inicialv.

• Pontos conjugados e singularidades da aplica¸c˜ao exponencial

A no¸c˜ao de ponto conjugado ´e relevante em fun¸c˜ao da interpreta¸c˜ao que apresentamos acima como ponto de focaliza¸c˜ao aproximada de geod´esicas pr´oximas. H´a tamb´em uma outra raz˜ao que agora discutiremos, a saber, pontos conjugados possuem uma ´ıntima rela¸c˜ao com pontos singulares da aplica¸c˜ao exponencial. Como acima, seguimos aqui proximamente [271].

Proposi¸c˜ao 34.18 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana (ou Lorentziana) e p∈ M. Seja v ∈ T_pM no dom´ınio de defini¸c˜ao do mapa exponencial exp_p e seja a geod´esica [0, 1]∋ t 7→γ(t, p, v)∈ M. Um ponto p˜=γ(t0, p, v) = γ(1, p, t0v) = exp_p(t0v), com t0 ∈ (0, 1], ´e um ponto conjugado de p se e somente se t0v for um ponto cr´ıtico⁴⁷ da

aplica¸c˜ao exponencialexp_p. 2

47A no¸c˜ao de ponto cr´ıtico encontra-se definida `a p´agina 1634. Recordemo-la. Sef:M₁→M₂´e uma aplica¸c˜aoC^∞entre duas variedades de mesma dimens˜aom, ent˜ao um pontop∈M1´e dito ser umponto cr´ıticoparafse a aplica¸c˜ao diferencialdfpn˜ao for um isomorfismo entre T_pM1eT_f(p)M2. Pela Proposi¸c˜ao 33.6, p´agina 1633,f n˜ao pode ser um difeomorfismo local em torno de um ponto cr´ıtico.

Prova. Por defini¸c˜ao, ˜p=γ(t0, p, v) ´e um ponto conjugado depemγse e somente existir sobreγ um campo de Jacobi n˜ao-identicamente nulo J tal queJ(0) = 0 e J(t0) = 0. Sejaw := ^D_dtJ(0). Pelo Lema 34.6, p´agina 1733, o campo de JacobiJ satisfazendoJ(0) = 0 e ^D_dtJ(0) =w´e igual aJ₁^v,w, definido em (34.254), ou seja,

J(t) = J₁^v,w(t) = ∂Sv, w

∂s (t, 0) ^(34.243)= (dexpp)tv tw

= t(dexpp)tv w . E claro que (d´ exp_p)tv w

anula-se caso w = 0, pois (dexp_p)tv ´e uma aplica¸c˜ao linear. Da igualdade J(t) = t(dexp_p)tv w

conclu´ımos que se J for n˜ao-nulo para algum valor de t 6= 0, ent˜ao w 6= 0. Ao mesmo tempo, se w6= 0 o campoJ n˜ao pode ser identicamente nulo, pois se o fosse ter´ıamos _dt^DJ(t) = 0 para todot e comow= ^D_dtJ(0) ter´ıamos uma contradi¸c˜ao. Conclu´ımos disso que o campoJ ´e n˜ao-identicamente nulo se e somente sew6= 0.

Agora, por hip´otese,ptem um ponto conjugado em ˜p=γ(t0, p, v),t0∈(0, 1], se e somente se valer 0 =J(t0) = t0(dexp_p)t0v w

, o que ´e verdadeiro se e somente se (dexp_p)t0v w

= 0. Por´em, comow6= 0, isso ´e poss´ıvel se e somente set0vfor um ponto cr´ıtico de exp_p.

• O tensor de curvatura e a ausˆencia de pontos conjugados. Caso Riemanniano

A seguinte proposi¸c˜ao elementar aponta para o fato que certas condi¸c˜oes sobre o tensor de curvatura podem implicar na ausˆencia de pontos conjugados. Chamamos a aten¸c˜ao do leitor para o fato de usarmos a conven¸c˜ao (34.148) para a defini¸c˜ao do tensor de curvatura, cujo sinal ´e oposto daquele comummente usado em geometria Riemanniana (a esfera tem curvatura negativa na nossa conven¸c˜ao).

Proposi¸c˜ao 34.19 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana dotada de uma conex˜ao de Levi-Civita ∇ e seja γ uma geod´esica em M. Se em cada ponto q∈γ e para todos os campos vetoriais diferenci´aveis A eB definidos sobreγ valer

g

R A, B A, B

q ≥ 0, (34.258)

ent˜ao n˜ao ocorrem pontos conjugados em γ. 2

Observe-se que no caso Riemanniano a condi¸c˜ao (34.258) equivale `a n˜ao-negatividade da curvatura seccional relativa ao plano gerado porAeB emT_qM.

Prova da Proposi¸c˜ao 34.19. Vamos supor que J seja um campo de Jacobi n˜ao-nulo sobre a geod´esica γ e que J(0) = J(t0) = 0. Temos que

d

dtg(J, J) = 2g D

dtJ, J

. (34.259)

Agora, usando a antissimetria deR, d

dtg D

dtJ, J

= g D²

dt²J, J

+g D

dtJ, D dtJ

(34.253)

= +g

R γ(t), J˙

˙ γ(t), J

+g D

dtJ, D dtJ

≥ 0, poisg ^D_dtJ, ^D_dtJ

≥0 e, por hip´otese,g R γ(t), J˙

˙ γ(t), J

≥0. Com isso, estabelecemos que a fun¸c˜aog _dt^DJ, J (t) ´e n˜ao-decrescente em t. Como J anula-se em 0 e emt0 conclu´ımos disso queg ^D_dtJ, J

(t) = 0 para todot. Logo, segue de (34.259) queg(J, J) (t) ´e constante emte comoJ(0) =J(t0) = 0, segue queg(J, J) (t) = 0 para todot, implicando queJ ´e identicamente nulo, uma contradi¸c˜ao que implica na inexistˆencia de um campo de Jacobi com as propriedades mencionadas e, portanto, na inexistˆencia de pontos conjugados emγ.

No documento N Cap´ıtulo34No¸c˜oesGeom´etricasemVariedades (páginas 63-67)