A solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes (2.19) requer a utiliza¸c˜ao de m´etodos num´ericos para o c´alculo das derivadas e integrais. As derivadas de segunda ordem s˜ao calculadas por diferen¸cas finitas e as integrais por integra¸c˜ao num´erica. Por´em, as derivadas s˜ao extremamente sens´ıveis `a presen¸ca de ru´ıdo. Isto pode ser explicado pelo fato da amplitude da derivada de uma onda senoidal ser proporcional `a sua frequˆencia. Assim, a derivada do ru´ıdo torna predominante para sinais de baixa frequˆencia, at´e mesmo quando o n´ıvel ru´ıdo ´e baixo. Se houver presen¸ca de ru´ıdo, m´etodos como diferen¸cas finitas n˜ao s˜ao adequados. A obten¸c˜ao de modos com pouco ru´ıdo requer a utiliza¸c˜ao de aparelhos espec´ıficos e depende de uma s´erie de outros fatores, tais como t´ecnicas de medi¸c˜ao das respostas, calibra¸c˜ao dos aparelhos, ambiente de ensaio, dentre outros. O controle desses fatores e a obten¸c˜ao desses aparelhos nem sempre s˜ao f´aceis de serem adquiridos na pr´atica. Uma solu¸c˜ao para esse problema ´e a aplica¸c˜ao de m´etodos de suavi¸c˜ao dos sinais antes de serem utilizados. Neste trabalho ser´a utilizado a s´erie de Fourier discreta regressiva (RDFS), proposto por Arruda (1992), para suavisar os modos antes de serem utilizados no processo de identifica¸c˜ao. Os parˆametros da RDFS ser˜ao obtidos por otimiza¸c˜ao usando um m´etodo proposto por Vanherzeele (2007) e conhecido como s´erie de Fourier discreta regressiva otimizada (ORDFS).
2.2.1
S´erie de Fourier discreta regressiva (RDFS)
A forma mais usual de se modelar sinais bidimensionais usando s´eries exponensiais com- plexas ´e atrav´es da Transformada de Fourier Discreta (TFD). A TFD calcula os coeficientes de uma S´erie de Fourier Discreta (SFD) que interpola o sinal e tem o per´ıodo fundamental igual ao comprimento do sinal em cada vari´avel que define o dom´ınio. O efeito da peri- odiza¸c˜ao pode causar o fenˆomeno conhecido como Leakage, que ´e prejudicial na suaviza¸c˜ao pois causa distor¸c˜ao no sinal filtrado de passa-baixa sendo, portanto, cr´ıtico nas diferen- cia¸c˜oes subsequentes. Existem muitas t´ecnicas para diminuir o “Leakage”. A RDFS consiste em estimar por m´ınimos quadrados os coeficientes de uma SFD com per´ıodo e resolu¸c˜ao em frequˆencia arbitr´arios.
Para um sinal bidimensional e discreto x(ξ, η) com pontos igualmente espa¸cados com resolu¸c˜ao constante ∆ξ e ∆η, a TFD pode ser definida como:
Xkl = 1 M 1 N M −1 X m=0 N −1 X n=0 xmnWM−kmWN−nl, (2.22)
onde k = 0, ..., M − 1, l = 0, ..., N − 1, xmn ´e o sinal discretizado com resolu¸c˜ao constante, WM = exp (i2π/M) e WN = exp (i2π/N) s˜ao as M-´esima e N-´esima ra´ızes da unidade, res- pectivamente, e Xkl s˜ao os coeficientes bidimensinais de Euler-Fourier. Assim, o sinal pode ser expresso como:
xmn= M −1 X k=0 N −1 X l=0 XklWMmkWNln, (2.23)
onde m = 0, ..., M − 1, n = 0, ..., N − 1. A equa¸c˜ao (2.23) mostra que o caso particular de SFD bidimensional com per´ıodo M em ξ e per´ıodo N em η ´e o modelo matem´atico usado para interpolar xmn. A TFD ´e, geralmente, calculada por dois passos. Em cada passo, s˜ao obtidas as transformadas de Fourier discretas unidimensionais. A equa¸c˜ao (2.22) pode ser calculada partindo-se primeiramente das transformadas das colunas da matriz xmn:
Ykn= 1 M M −1 X m=0 xmnWM−km, (2.24)
sendo k = 0, ..., M − 1, n = 0, ..., N − 1. As transformadas de Fourier discretas unidimen- sionais s˜ao as linhas da matrix do sinal intermedi´ario Ykn:
Xkl = 1 N N −1 X n=0 YknWN−ln, (2.25)
k = 0, ..., M −1, l = 0, ..., N −1. A suaviza¸c˜ao ´e conclu´ıda pela filtragem de passa-baixa antes de realizar as transformadas inversas, que s˜ao tamb´em realizadas em dois passos. Primeiro, ´e feito uma filtragem na dire¸c˜ao η, e as linhas de frequˆencias q s˜ao mantidas:
Xkl = 0, (2.26)
com l = q + 2, q + 3, ..., N − q. Assim, as transformadas inversas das linhas de Xkl s˜ao feitas:
Ykn= N −1
X
l=0
XklWMln, (2.27)
onde k = 0, ..., M − 1, n = 0, ..., N − 1. Os valores intermedi´arios de Ynk s˜ao filtrados, per- manecendo as primeiras linhas de frequˆencias p:
Ykn= 0, (2.28)
com k = p+2, p+3, ..., M −p. Pode-se observar que as linhas M −p+1, ..., M e N −q+1, ..., N correspondem `as primeiras p e q frequˆencias negativas em ξ e η, respectivamente, e n˜ao po- dem ser descartadas. Deste modo, finalmente, o sinal bidimensional suavizado ´e obtido com o segundo passo da inversa das transformadas de Fourier discretas das colunas de Ykn:
x(s) mn= M −1 X k=0 YknWNkm, (2.29)
onde m = 0, ..., M −1, n = 0, ..., N −1. As derivadas parciais s˜ao obtidas derivando a equa¸c˜ao (2.23) em rela¸c˜ao a ξ = m∆ξ e η = n∆η, o que significa multiplicar Ykn por i2πk/M∆ξ e i2πl/N∆η, respectivamente, antes de calcular as inversas das transformadas de Fourier dis- cretas.
A RDFS tamb´em consiste em representar o sinal por uma SFD. Ao contr´ario da TFD, o comprimento original do sinal n˜ao ´e igual ao per´ıodo e o n´umero de linhas de frequˆencias n˜ao ´e igual ao tamanho do sinal. Assim, a express˜ao para o sinal ´e:
xmn= p X k=−p q X l=−q XklWRmkWCln+ mn, (2.30)
onde: m = 0, ..., M − 1, n = 0, ..., N − 1, R e C ´e o n´umero de linhas e colunas, respecti- vamente, da SFD, mn ´e o elemento da matrix erro . O comprimento do sinal na dire¸c˜ao ξ ´e M∆ξ, mas o per´ıodo da SFD ´e R > M. O n´umero de linhas de frequˆencias ´e p << M. Da mesma forma, na dire¸c˜ao η, o comprimento do sinal ´e N∆η, o per´ıodo da SFD ´e C > N e, q << N. A RDFS ´e uma aproxima¸c˜ao ao inv´es de uma interpola¸c˜ao de xmn e os coefi- cientes de Euler-Fourier n˜ao podem ser calculados pela TFD. Reescrevendo a equa¸c˜ao (2.30) na forma de matriz, tem-se:
x = WRXWC + , (2.31)
e atrav´es do m´etodo dos m´ınimos quadrados, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.31) ´e dada por:
X =WHRWR
−1
WHRxWHC WCWHC
−1
onde H refere-se a transposta do conjugado complexo de uma matriz. As matrizes a serem invertidas s˜ao muito pequenas, de ordem (2p+1)x(2p+1) e (2q+1)x(2q+1), respectivamente. O sinal suavisado ´e obtido `a partir da seguinte express˜ao:
x(s) = W
RXWC. (2.33)
As derivadas espaciais parciais nas dire¸c˜oes ξ e η podem ser facilmente obtidas multi- plicando Xkl pelos termos i2πk/R∆ξ e i2πl/C∆η, respectivamente, antes de usar a equa¸c˜ao (2.33).
2.2.2
S´erie de Fourier discreta regressiva otimizada (ORDFS)
Considerando o per´ıodo da SFD como sendo R = KξM ao longo da dire¸c˜ao ξ e C = KηN ao longo da dire¸c˜ao η, na pr´atica, as raz˜oes Kξ e Kη s˜ao, geralmente, termos desconhecidos e podem ser estimados juntamente com os res´ıduos, levando-se a um problema n˜ao-linear de m´ınimos quadrados. Uma abordagem baseada na RDFS e conhecida como s´erie de Fourier discreta regressiva otimizada (ORDFS) foi introduzida por Vanherzeele (2007) e (2008), na qual permite estimar as raz˜oes Kξe Kη usando um m´etodo de busca mais robusto e computacionalmente r´apido. Usando a fun¸c˜ao lsqnonlin do Signal Processing Toolbox do soft- ware MatlabR, ´e poss´ıvel estimar estas raz˜oes desconhecidas juntamente com os coeficientes desconhecidos X da equa¸c˜ao (2.31) usando um processo iterativo cl´assico de Gauss-Newton. Para este problema de otimiza¸c˜ao, a fun¸c˜ao objetivo representa o res´ıduo entre a diferen¸ca nodal do sinal original (que neste trabalho representa os modos pr´oprios em uma frequˆencia espec´ıfica), com ru´ıdo, e os seus respectivos sinais filtrados (ou suavizados). As raz˜oes Kξ e Kη s˜ao mudadas `a cada itera¸c˜ao no processo de otimiza¸c˜ao e representar˜ao os parˆametros globais para este passo iterativo. Ap´os testados v´arios grupos de valores, o valor ´otimo de cada vari´avel, Kξ e Kη, que refere ao menor res´ıduo obtido, s˜ao utilizados na RDFS para encontrar o sinal suavizado x(s), ou mais especificamente, o modo pr´oprio suavizado.