5.1 Problema de decisão multiatributo com dois critérios 31
⇔w2·(a22−a32)>w1·(a31−a21) (5.5) A partir das expressões (5.3), (5.4) e (5.5), são estabelecidas as relações entre pares de alter-nativas, a partir das quais se obtém a ordenação resultante para uma determinada combinação de pesos.
Conhecidas as expressões relativas à diferença entre pares de alternativas, o próximo passo consiste em realizar a interseção das inequações lineares definidas com o espaço de pesos definido pelo AD.
Visto que se trata de um problema de decisão com três alternativas, por aplicação de (5.1), há possibilidade de haver seis ordenações diferentes: a1a2a3, a1a3a2, a2a1a3, a2a3a1, a3a1a2 e a3a2a1. Selecionando por exemplo a ordenação a3a1a2, significa que a alternativa A3 obteve a maior pontuação, seguida pelas alternativasA1 eA2, respetivamente. As restantes ordenações se-guem o mesmo raciocínio. Descobertos os pontos resultantes da interseção das inequações lineares com o espaço de pesos, é possível calcular a percentagem de ocorrência de cada ordenação.
Da Figura5.1, conclui-se que é possível obter três ordenações: a1a2a3,a1a3a2ea3a1a2, com uma determinada percentagem de ocorrência. As restantes ordenações têm uma percentagem de ocorrência igual a 0%, isto é, para o espaço de pesos definido, não há nenhuma combinação de pesos que permita obter as ordenações a2a1a3, a2a3a1 ea3a2a1. Importante salientar que as inequações lineares representadas por(1),(2)e(3), são exclusivamente exemplificativas do pro-cedimento, não representando um caso real.
Figura 5.1: Representação da interseção do espaço de pesos com as expressões
De forma a exemplificar a aplicação deste procedimento, apresenta-se a seguir um caso ilus-trativo com três alternativas avaliadas segundo dois critérios. Inicialmente, será feita uma análise com os pesos sob a forma de intervalos, seguida de uma análise com os pesos sob a forma de números difusos triangulares.
5.1.2 Exemplo ilustrativo 1
A título de exemplo, considerou-se o problema de decisão apresentado no ponto4.1, com três alternativas avaliadas segundo dois critérios : A=A1= (10, 12),B=A2= (7, 13)eC=A3= (17,9).
Para lidar com problemas de decisão, o procedimento para o cálculo da percentagem de ocor-rência de cada ordenação é praticamente igual quando se consideram pesos sob a forma de inter-valos ou sob a forma de números difusos triangulares, com exceção no cálculo do grau de pertença do peso. Quando se consideram pesos sob a forma de intervalos, todos os valores que o peso pode assumir dentro do seu intervalo, têm grau de pertença unitário. Por outro lado, quando se conside-ram pesos sob a forma de números difusos triangulares, o grau de pertença para o peso obtém-se por aplicação de (3.16).
Numa primeira parte, serão considerados os valores dos pesos não normalizados sob a forma de intervalos: w1= (2; 3)ew2= (7; 8).
Como se trata de um problema de decisão com dois critérios, o espaço de pesos pode ser caraterizado por um quadrado, Figura5.2.
Figura 5.2: Representação do espaço de pesos definidos pelo AD para um problema de decisão com dois critérios
Para obter as expressões que relacionam as alternativas, é realizada a diferença entre pares de alternativas por aplicação de (5.3), (5.4) e (5.5), ficando com:
(1):v(a−b)>0⇔ w1·(10−7) +w2·(12−13)
w1+w2 >0⇔3·w1−w2>0
⇔w2<3·w1
(2):v(a−c)>0⇔ w1·(10−17) +w2·(12−9)
w1+w2 >0⇔w2>2,5·w1 (3):v(b−c)>0⇔ w1·(7−17) +w2·(13−9)
w1+w2 >0⇔w2>7 3·w1
5.1 Problema de decisão multiatributo com dois critérios 33
Relativamente à expressão(1), quando o triplo do valor do peso w1 é superior ao valor do pesow2, a alternativaAé preferida relativamente à alternativaB(A≻B). Por outro lado, quando o triplo do valor do pesow1é inferior ao valor do pesow2, a alternativaBé preferida relativamente à alternativaA(B≻A). As expressões(2)e(3)seguem o mesmo raciocínio.
Determinadas todas as expressões, pode realizar-se a interseção das inequações lineares com o espaço de pesos definido pelo AD, Figura5.3.
Figura 5.3: Representação do espaço de pesos para dois critérios intersetado com as inequações lineares
Determinados os pontos resultantes da interseção entre as inequações lineares com o espaço de pesos, por aplicação de métodos analíticos, pode calcular-se a percentagem de ocorrência relativa a cada ordenação, Tabela5.1.
bac=[(2,66−2) + (2,33−2)]×1
2 =0,50=50,00%
acb=0,2×0,5
2 =0,05=5,00%
abc=1−0,05−0,50=0,45=45,00%
As restantes ordenações não podem ser obtidas para o espaço de pesos considerado pelo AD, resultando assim em:bca=cab=cba=0,00%.
Tabela 5.1: Percentagem de ocorrência relativa a cada ordenação Ordenação Percentagem de ocorrência (%)
abc 45,00
acb 5,00
bac 50,00
Restantes 0,00
Segundo o espaço de pesos definido pelo AD, a ordenação ”bac” tem uma percentagem de
ocorrência de 50,00%, a ordenação acbtem 5,00%, a ordenaçãoabc tem 45,00% e as ordena-çõesbca, cabe cbatêm 0,00%. Umas vez que os pesos foram definidos pelo AD sob forma de intervalos, o grau de pertença é igual a 1 para as ordenaçõesabc, acbe bac, e igual a 0 para as ordenaçõesbca,cabecba. Como o grau de pertença não acrescenta nenhuma informação sobre as ordenações, estas são organizadas por ordem decrescente da percentagem de ocorrência, ficando com:
bac≻abc≻acb≻bca∼cab∼cba
Conclui-se assim que a ordenação preferida pode ser abac, por ter a maior percentagem de ocorrência. Por conseguinte, a alternativaBpode ser a preferida, seguida da alternativa Ae, por último, a alternativaC.
A partir deste ponto, considerou-se que o AD definiu os pesos sob a forma de números difusos triangulares. Do exemplo apresentado no ponto 4.1, mantiveram-se os valores dos atributos das alternativas e as expressões que relacionam as alternativas. Relativamente aos pesos, foi necessário adaptá-los, adicionando o valor intermédio a cada peso, ficando com w1= (2; 2,6; 3) e w2= (7; 7,4; 8).
Como os pesos estão sob a forma de números difusos triangulares, o grau de pertença do peso varia consoante o seu valor, sendo que pode ser obtido por aplicação da adaptação da função de pertença (3.16). Desta forma, o grau de pertença dos pesos, w1 ew2, podem ser obtidos por aplicação das funções de pertença (5.6) e (5.7), respetivamente.
µ(w1) =
w1<2⇔u=0
2<w1<2,6⇔u= 2,6−21 ×(w1−2) w1=2,6⇔u=1
2,6<w1<3⇔u= 2,6−31 ×(w1−3) w1>3⇔u=0
(5.6)
µ(w2) =
w2<7⇔u=0
7<w2<7,4⇔u= 7,4−71 ×(w2−7) w2=7,4⇔u=1
7,4<w2<8⇔u= 7,4−81 ×(w2−8) w2>8⇔u=0
(5.7)
Na Figura5.4, encontram-se representadas as interseções das inequações lineares com o es-paço de pesos definido para diferentes níveisα que o AD considera adequados. Pretende-se com isso alargar a lista para incluir casos com grau de pertença superiores ao nívelα definido por ele.
5.1 Problema de decisão multiatributo com dois critérios 35
Figura 5.4: Representação da interseção das inequações lineares com o espaço de pesos para diferentes níveisα: (1)α=0; (2)α=0,5 e (3)α=1
Para determinar a percentagem de ocorrência relativa a cada ordenação, é necessário determi-nar os pontos resultantes da interseção das inequações lineares com o espaço de pesos definido pelo AD. O processo para o cálculo das percentagens de ocorrência de cada ordenação é igual ao procedimento utilizado quando os pesos foram definidos sob a forma de intervalos. Para níveis α̸=0, é necessário realizar a proporção relativamente à área do novo "quadrado" (espaço de pesos para o nívelα), com a finalidade de obter uma percentagem relativamente a essa área, facilitando a compreensão dos resultados, Tabela5.2.
Tabela 5.2: Percentagem de ocorrência de cada ordenação para diferentes níveisα
Nível Ordenação Percentagem de ocorrência (%)
abc 45,00
acb 5,00
bac 50,00
α≥0
Restantes 0,00
abc 63,30
bac 36,70
α≥0,5
Restantes 0,00
abc 100,00
α=1
Restantes 0,00
A ordenação que pode ser preferida pelo AD varia consoante o nível α que ele considere adequado. Da Tabela5.2, se o AD considerar um nívelα ≥0 adequado, a ordenação preferida pode ser abac, por apresentar a percentagem de ocorrência mais elevada. Por outro lado, se o AD considerar um nívelα ≥0,5 adequado, a ordenação preferida passa a ser aabc, visto que, para o nívelα considerado, é a ordenação com maior percentagem de ocorrência.
Com intenção de fornecer mais informação ao AD, visto que se tratam de pesos sob a forma de números difusos triangulares, os dados sobre a percentagem de ocorrência de cada ordenação podem ser complementados com dados sobre o seu grau de pertença máximo. Para determinar o grau de pertença máximo analiticamente, traça-se uma linha auxiliar que intersete os limites máximos de cada peso (intersete o ponto ondew1=3 ew2=7, e o ponto ondew1=2 ew2=8)
e todas as inequações lineares, Figura5.5. Através da aplicação da regra de 3 simples e das regras de trigonometria, calcula-se o grau de pertença para o ponto resultante da interseção, sabendo que o ponto com grau de pertença igual a 1(u=1)corresponde ao máximo. Fazendo a relação entre o ponto máximo e o valor correspondente à interseção entre a reta auxiliar e a reta correspondente às inequações lineares, obtém-se o grau de pertença máximo para cada ordenação, Tabela5.3.
Figura 5.5: Representação do espaço de pesos definidos pelo AD com a interseção da reta auxiliar e as inequações lineares
Tabela 5.3: Grau de pertença máximo para cada ordenação
Ordenação umáx(ordenação)
abc 1,0000
acb 0,3567
bac 0,8333
Restantes 0,0000
Da Tabela 5.3, verifica-se que a ordenação abc tem um grau de pertença máximo igual a 1,0000, a ordenação acb tem 0,3567, a ordenaçãobac tem 0,8333 e as "Restantes"ordenações têm 0,0000. As ordenações podem ser organizadas por ordem decrescente do grau de pertença máximo, ficando com:
abc≻bac≻acb≻bca∼cab∼cba
Conclui-se assim que a ordenação preferida pode ser aabc, por ser a que tem maior grau de pertença máximo. Por conseguinte, a alternativa preferida pode ser a alternativaA, seguida pela alternativaBe, por último, a alternativaC.