g11m1 + g12m2 + · · · + g1NmN = d1 g21m1 + g22m2 + · · · + g2NmN = d2 ... + ... + ... + ... = ... gM 1m1 + gM 2m2 + · · · + gM NmN = dM (3.8)
Cujos elementos gij são os coe cientes do sistema acima, podendo assumir valores complexos. Resolver o sistema signi ca encontrar os valores das incógnitas que satisfazem simultanea-mente todas as equações, ou seja, um vetor representado por:
mest
= [m1, m2, ..., mN]T, (3.9) que satisfaça o sistema acima. Tal vetor é chamado de solução do sistema linear.
3.2.1 Estudo da Solução dos Sistemas Lineares
A classi cação do problema linear está baseado no fornecimento su ciente de informação para a determinação dos parâmetros do modelo, ou incógnitas do sistema. Sendo G a matriz M × N, o problema será:
• Subdeterminado - quando não prover informação su ciente para determinar os pa-râmetros do modelo, ou seja, os problemas indeterminados ocorrem quando existem mais incógnitas do que dados, isto é M < N. Neste caso, existem várias soluções que satisfazem o sistema;
• Determinado - quando existe informação su ciente e exata, isto é M = N, temos, então, única solução;
• Sobredeterminado - quando tem mais dados que incógnitas, isto é M > N.
3.3 Problemas Inversos e as Questões de Condicionamento
O problema inverso é considerado bem-posto se satisfaz as condições de existência, unici-dade e estabiliunici-dade; e considerado mal-posto se alguma destas não seja satisfeita, ou seja, o problema é considerado mal-posto se sua solução não existe, não é única e/ou não depende continuamente dos dados de entrada.
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3.3.1 Existência
O problema deve ter uma solução.
Essa condição pode ser violada por equações inconsistentes entre si, podendo ser aten-dida através de uma reformulação do problema tal como Mínimos Quadrados. Os problemas inversos são considerados, matematicamente, mal postos, uma das razões para essa conside-ração é a inexistência de sua solução.
O problema da existência equivale ao problema matemático de se saber se uma questão que é necessária é também su ciente para aceitação de alguma hipótese, ou seja, como todo modelo contem simpli cações e aproximações, uma condição necessária será respeitá-las ou a solução não existirá.
Contudo, a condição necessária não é su ciente para a existência da solução, é necessário que haja certo grau de delidade do modelo adotado, recaindo assim na de nição de existência.
3.3.2 Unicidade
Deve existir apenas uma solução para o problema.
Essa condição é mais crítica, podendo também ser atendida utilizando uma reformulação do problema, tipicamente incluindo requisitos adicionais ao problema, tal como buscar uma solução de norma mínima. Se estes requisitos forem escolhidos adequadamente, obtém-se a unicidade da solução.
3.3.3 Estabilidade
A solução deve variar continuamente com os dados.
Essa condição é mais difícil de ser atendida pela modi cação de problemas originalmente mal-postos, porque a violação da mesma implica no fato de que pequenas perturbações nos dados podem produzir grandes perturbações nas soluções obtidas.
Para atender esta condição, faz-se necessário reformular o problema de modo a se obter um novo problema que seja menos sensível às perturbações nos dados. Esta reformulação é denominada condicionamento, estabilização ou regularização do problema e pode ser obtida, por exemplo, através de requisitos adicionais de suavidade da solução. A regularização é de grande relevância em problemas inversos, uma vez que os mesmos são frequentemente mal-postos, requerendo regularização para que soluções realistas sejam obtidas.
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Número de Condição de uma Matriz
Partindo da equação (3.6), ao tentar resolver problemas desse tipo, podemos ter problemas de condicionamento e de instabilidade numérica. Os problemas de estabilidade numérica estão relacionadas com o algoritmo que usamos para resolver o sistema. No entanto para problemas mal condicionados, o sistema será sempre numericamente estável, então é interessante o fato de identi car quais sistemas poderão nos trazer problemas de condicionamento, ou seja, se pegarmos a expressão anterior onde G e d são respectivamente uma matriz e um vetor, e m o vetor solução do sistema, então aplicando o operador G−1 à esquerda e à direita, temos:
G−1d = G−1Gm, (3.10)
o que resultará em:
m = G−1d. (3.11)
Considerando que m + δm representa a solução de um sistema perturbado, temos:
d + δd = G(m + δm). (3.12)
A partir de d = Gm e δm = G−1d, pode-se deduzir pela Desigualdade de Schwarz que:
||d|| ≤ ||G||||m||, (3.13)
e
||δm|| ≤ ||G−1||||δd||. (3.14)
Correlacionando as duas expressões, obtém-se que: ||δm|
||m|| ≤ ||G||||G
−1||||δd|
||d||. (3.15)
O produto das normas matriciais da equação anterior trata da de nição do número de con-dição, ou seja:
||δm|
||m|| ≤ N C ||δd|
||d||. (3.16)
Além disso, temos que ||δd||/||d|| e ||δm||/||m|| tratam do erro relativo entre os dados e os modelos respectivamente, logo podemos reescrever a equação anterior como:
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onde emodelo e edados são os erros relativos entre os parâmetros do modelo e dos dados, res-pectivamente.
Para um determinado erro relativo associado ao dado, o erro relativo da solução pode admi-tir uma faixa de valores possíveis, o quanto maior for o número de condição. Desta forma, para valores do NC próximo de 1, temos praticamente a mesma faixa de variação entre os erros relativos dos dados e da solução, fato este que caracteriza o bom condicionamento do sistema e, por consequência, sua estabilidade. Para valores altos de NC, o erro relativo da solução do sistema assume uma faixa ampla de variação quando comparado ao erro relativo associado aos dados do modelo, uma vez que ampliado o erro relativo dos dados, observamos uma faixa de variação ainda maior do erro relativo associado à solução do sistema. Esses fatos caracterizam o mal condicionamento do sistema, bem como sua instabilidade (Santana, 2013).
Segundo Hansen (1998), as normas matriciais podem ser expressas em função dos au-tovalores (λ) das matrizes, portanto:
||G|| = λ1, (3.18) e ||G−1|| = λ−1k , (3.19) sendo, N C = ||G||||G−1||, (3.20) logo, N C = λmax λmin. (3.21)
Desta forma, podemos através dos autovalores associados ao sistema, determinar o grau de condicionamento e por consequência, o grau de estabilidade de um determinado problema a ser invertido.
Portanto, o erro entre os parâmetros do modelo será controlado pelo valor do NC considerado para o sistema e da qualidade dos dados de entrada.
Uma forma de se contornar este problema é encontrando um novo sistema em que as soluções sejam menos sensíveis às perturbações nos dados, ou seja, um sistema em que o valor de NC seja o menor possível (Fontes, 2014).