Procedimento “Leave-One-Out” Combinando as Fases S e P

Todos os estudos anteriores s˜ao baseados na fase S das s´eries. A partir das fases P n˜ao ´e poss´ıvel diferenciar terremotos de explos˜oes. Realizamos um procedimento “leave-one-out” considerando as fases S e P conjuntamente, em uma propor¸c˜ao αSp+(1−α)Ss, em que Spe Ss

denotam, respectivamente, as fases P e S de todas as s´eries. Calculamos todas as estat´ısticas Bn7×9 e Bn9×7, mas somente consideramos os casos em que elas foram maiores que Bn8×8, exatamente como feito quando consideramos somente a fase S. As s´eries para as quais Bn7×9 e Bn9×7 s˜ao maiores que Bn8×8, quando consideramos as fases P e S conjuntamente, coincidem com aquelas onde s´o a fase S ´e considerada. Observe nas Figuras 4.10 e 4.11 que quando α cresce, isto ´e, quando mais peso ´e dado `a fase P, os p-valores dos testes crescem, indicando menor divergˆencia dos grupos. Quando α ´e maior que 0.7, a influˆencia da fase P n˜ao permite mais que a hip´otese de homogeneidade dos grupos seja rejeitada. Isso mostra que o estudo deve ser realizado com a fase S.

Figura 4.9: Fase S das explos˜oes.

Figura 4.10: Procedimento “Leave-one-out” com s´eries sendo retiradas do grupo de terremotos (EQ) e colocando-as no grupo de explos˜oes (EX), considerando-se as fases P e S de cada s´erie em uma propor¸c˜ao αSp+(1−α)Ss, em que Spe Ssdenotam, respectivamente, as fases P e S das 16 s´eries. Para

cada α, pontos indicam p-valores obtidos, atrav´es de um bootstrap simples, testando homogeneidade dos grupos EQ e EX, em que EQ e EX denotam, respectivamente, as fases S e P combinadas de terremotos e explos˜oes. Asteriscos indicam p-valores obtidos, atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EQ e EX. C´ırculos denotam p-valores obtidos, atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EQ − SEQ1 e EX + SEQ1, em que

EQ − SEQ1 significa que a s´erie 1 foi retirada do grupo EQ e EX + SEQ1significa que a s´erie 1 de

EQ foi adicionada ao grupo EX. Triˆangulos denotam p-valores obtidos atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EQ − SEQ8e EX + SEQ8.

Figura 4.11: Procedimento “Leave-one-out” com s´eries sendo retiradas do grupo de explos˜oes (EX) e colocando-as no grupo de terremotos (EQ), considerando-se as fases P e S de cada s´erie em uma propor¸c˜ao αSp+(1−α)Ss, em que Spe Ssdenotam, respectivamente, as fases P e S das 16 s´eries. Para

cada α, pontos indicam p-valores obtidos atrav´es de um bootstrap simples, testando homogeneidade dos grupos EQ e EX, em que EQ e EX denotam, respectivamente, as fases S e P combinadas de terremotos e explos˜oes. Asteriscos indicam p-valores obtidos atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EQ e EX. Asteriscos indicam p-valores obtidos atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EQ e EX. Quadrados indicam p-valores obtidos atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EX − SEX1 e

EQ+SEX1, em que EX −SEX1significa que a s´erie 1 foi retirada do grupo EX e EQ+SEX1significa

que a s´erie 1 de EX foi adicionada ao grupo EQ. Triˆangulos denotam p-valores obtidos, atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EX − SEX3 e EQ + SEX3. C´ırculos

denotam p-valores obtidos atrav´es de um procedimento bootstrap duplo, testando a homogeneidade de EX − SEX8 e EQ + SEX8.

Caso Multivariado

A globaliza¸c˜ao econˆomica e de comunica¸c˜ao na Internet tem acelerado a integra¸c˜ao dos mercados financeiros mundiais nos ´ultimos anos. Os movimentos de pre¸co em um mercado podem se espalhar f´acil e imediatamente a outro mercado. Por essa raz˜ao, os mercados financeiros est˜ao mais dependentes uns dos outros do que nunca e ´e preciso consider´a-los con- juntamente para compreender melhor a estrutura dinˆamica das finan¸cas globais. Saber como os mercados est˜ao inter relacionadas ´e de grande importˆancia em finan¸cas. Da mesma forma, para um investidor ou uma institui¸c˜ao financeira detentora de ativos m´ultiplos, as rela¸c˜oes dinˆamicas entre os retornos dos ativos desempenham um papel importante na tomada de de- cis˜ao. Um m´etodo para discriminar e agrupar s´eries temporais multivariadas n˜ao gaussianas, baseado na distˆancia de Kullback-Leibler, ´e proposto por Kakizawa et al. (1998).

Na Se¸c˜ao 5.1, apresentamos alguns dos modelos multivariados mais conhecidos na litera- tura de s´eries temporais. Na Se¸c˜ao 5.2, generalizamos os resultados do Cap´ıtulo 3 e na Se¸c˜ao 5.3, realizamos estudos de simula¸c˜ao para estudar o comportamento da estat´ıstica de teste Bn com s´eries temporais multivariadas.

5.1 S´eries Temporais Multivariadas

Neste cap´ıtulo e, particularmente, nesta se¸c˜ao, somente o caso bivariado ser´a considerado, embora as defini¸c˜oes seguintes sejam v´alidas para qualquer dimens˜ao e a nota¸c˜ao negrito ´e utilizada para denotar s´eries temporais bivariadas (multivariadas).

Considere uma sequˆencia de s´eries temporais bivariadas X1, . . . , Xnindependentes, isto ´e,

Xi= (Xi1, Xi2), para i = 1, . . . , n, em que Xi1=     Xi11 .. . Xi1K     e Xi2=     Xi21 .. . Xi2K     . (5.1)

Cada Xi, para i = 1, . . . , n, ´e uma s´erie temporal bivariada. Para uma s´erie temporal bivariada

{Xt}t∈Z, o vetor de m´edias ´e definido por

µ_t= EXt= (EX1t, EX2t)

e a matriz de covariˆancias ´e definida por

Γ(t + h, t) = Cov(Xt+h, Xt) =

γ11(t + h, t) γ12(t + h, t)

γ21(t + h, t) γ22(t + h, t)

! ,

em que γij(t + h, t) = Cov(Xi,t+h, Xj,t). Em nota¸c˜ao matricial,

Γ(t + h, t) = E(Xt+h− µt)(Xt− µt)0.

A s´erie temporal bivariada (ou multivariada), {Xt}t∈Z, ´e dita ser estacion´aria se os momentos

µ_t e Γ(t + h, t) s˜ao ambos independentes de t. Neste caso, podemos utilizar a nota¸c˜ao

µ = EXt

e

Γ(h) = Cov(Xt+h, Xt).

A matriz de variˆancias e covariˆancias de Xt´e dada por Γ(0), isto ´e, Σ = Γ(0).

Nenhuma condi¸c˜ao ´e imposta sobre a matriz Σ. Logo, essa matriz pode ser n˜ao diagonal, o que significa que estamos permitindo alguma estrutura de dependˆencia entre as s´eries tem- porais. Esta generaliza¸c˜ao ´e um avan¸co pois a suposi¸c˜ao de independˆencia era necess´aria at´e o momento.