4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
4.1. Procedimentos não convencionais de cálculo da rigidez de
É notório que nos principais estudos encontrados na literatura, todos possuem como principal ferramenta de análise a simulação numérica, uma vez que através dessa ferramenta é possível levantar dados sobre o comportamento mecânico da junta de maneira eficaz, levando em consideração as não linearidades do sistema. A simulação numérica é importante nesse caso, pois a região do primeiro filete carregado do parafuso é confinada, tornando muito difícil a medição de tensões e deformações nesta que é a região mais crítica para a fratura dos parafusos [24]. Além disso, é observado que esses estudos se distinguem, principalmente, pelo método de cálculo da rigidez a partir dos resultados das simulações, pelas condições de contorno consideradas, pelo tipo de modelagem e pela utilização de dados obtidos por testes experimentais.
Wileman et al. [8] forneceram uma técnica analítica para o cálculo da rigidez dos membros desenvolvida a partir de um modelo numérico axissimétrico. Neste estudo foi considerado que os materiais dos membros se comportavam de maneira linear elástica e isotrópica.
A Figura 5 mostra a malha desenvolvida neste estudo para modelar a junta parafusada. Pode ser observado que o parafuso e a porca não foram modelados, tendo em vista que o foco deste estudo é predizer a rigidez dos membros. Além disso, a arruela é modelada apenas para aplicar o carregamento sobre membro, sendo atribuída a arruela um módulo de elasticidade da ordem de três vezes o módulo dos membros, ou seja, tratando-a como um corpo rígido.
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Figura 5 – Modelo desenvolvido por Wileman et al. [8]. Fonte: Wileman et al. [8].
Foram realizadas várias análises para diferentes geometrias e materiais, sendo aplicada para cada caso uma superfície de pressão de no plano superior da arruela.
Para calcular a rigidez dos membros a partir dos resultados da simulação, Wileman et al. [8] consideram o deslocamento realizado pelo nó localizado na intersecção entre o plano superior da arruela e a linha de centro da mesma. O carregamento total foi obtido multiplicando o valor da pressão aplicada pela área do plano superior da arruela. Por fim, a rigidez é computada simplesmente dividindo o carregamento total pelo dobro do deslocamento no nó estudado (foi utilizado o valor dobrado do deslocamento, para levar em consideração a metade do modelo que foi removida).
Como principal resultado do estudo, foi desenvolvido um procedimento empírico (Equação 23) para a determinação da rigidez dos membros em função da geometria e do material dos mesmos.
⁄ (23)
Onde e são constantes que dependem do material dos membros, de modo que para membros em aço é estabelecido que e valem e , respectivamente. Já para os membros em alumínio, e valem e , respectivamente.
Lehnhoff e Wistehuff [9] utilizaram um modelo de junta parafusada a partir de elementos finitos axisimétricos (Figura 6) para estudar os efeitos nas rigidezes dos membros e do parafuso pela variação da magnitude e da posição da carga externa, da espessura e do material dos membros.
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Figura 6 – Modelo desenvolvido por Lehnhoff e Wistehuff [9]. Fonte: Lehnhoff e Wistehuff [9].
Como pode ser observado na Figura 6, Lehnhoff e Wistehuff [9] não modelaram as roscas do parafuso e nem da porca. Além disso, desconsideram o atrito entre os componentes.
Como resultado foi verificado que as rigidezes dos membros e dos parafusos são independentes em relação à posição da força externa e que a rigidez dos membros diminui com o aumento da magnitude da carga externa. Por sua vez, a rigidez do parafuso varia pouco (2%). Em relação à espessura dos membros, foi verificado que à medida que a espessura diminui, a rigidez dos membros aumenta. Além disso, foi observado que a mudança do material dos membros altera tanto a rigidez dos membros como a rigidez do parafuso, de modo que, se o material dos membros for alterado de aço para alumínio, a rigidez dos membros diminuirá por um fator de a .
Posteriormente, Lehnhoff e Bunyard [10] propõem outro modelo de junta parafusada a partir de elementos finitos axisimétricos (Figura 7) para determinar os efeitos das roscas em relação ao modelo proposto por Lehnhoff e Wistehuff [9].
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Figura 7 – Modelo desenvolvido por Lehnhoff e Bunyard [10]. Fonte: Lehnhoff e Bunyard [10].
Como resultado foi verificado que para todas as situações houve um aumento na rigidez dos membros e uma diminuição na rigidez do parafuso quando comparado com a modelagem de Lehnhoff e Wistehuff [9].
Em ambos os estudos realizados por Lehnhoff, para o cálculo das rigidezes dos componentes a partir da simulação numérica foi utilizado um procedimento de análise não linear. Esse procedimento foi realizado com o aumento da força no parafuso ( ) em cinco iguais incrementos, partindo da aplicação de 90% da tensão de prova do parafuso até 100%. Cada incremento foi igual a um quinto da diferença entre a resistência de prova do parafuso ( ) e a pré-carga ( ), 90% da resistência de prova, como representado na Equação 24.
(24)
No primeiro incremento é aplicado apenas o valor da pré-carga no parafuso. Esse processo é realizado através da aplicação da tensão ( ), como mostrado no esquema da Figura 7. Como não foi aplicada uma carga externa, as forças no parafuso ( ) e nos membros ( ) são iguais a pré-carga ( ). Deste modo, para calcular as rigidezes dos componentes ( e ) são utilizadas as equações 24 e 25, sendo necessário obter os valores dos deslocamentos ( e ) que são fornecidos nos resultados das simulações.
(25)
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Para os quatros incrementos restantes foi necessário utilizar um caminho mais complexo para calcular as rigidezes, tendo em vista a presença de um carregamento externo. Para isso são utilizadas as Equações 26 e 27 com o intuito de calcular a carga externa ( ) e a força absorvida pelos membros ( ) respectivamente, sabendo que as variáveis , são conhecidas e , são determinadas através das simulações. De posse dos valores de , , e as rigidezes podem ser calculadas pelas equações 24 e 25.
(27)
(28)
Ambos os estudos de Lehnhoff desenvolveram equações empíricas para determinar a rigidez dos parafusos e dos membros em função do nível de carga externa. Por um lado, Lehnhoff e Wistehuff [9] estabeleceram as expressões 28 e 29 para cálculo da rigidez do parafuso e dos membros, respectivamente. Por outro lado, Lehnhoff e Bunyard [10] estabeleceram as equações 30 e 31 para cálculo da rigidez do parafuso e dos membros, respectivamente.
(29)
(30)
(31)
(32)
Onde, corresponde à carga externa adimensional, ou seja, a razão do valor da carga externa e da força de pré-carga (Equação 33). Já é o valor da rigidez adimensional que corresponde à rigidez do componente dividido pelo seu módulo de elasticidade e o diâmetro nominal do parafuso (Equação 34).
(33) (34) Williams et al. [5] analisaram o comportamento de juntas parafusadas utilizando métodos analíticos, abordagem por elementos finitos e técnicas experimentais.
Como resultado foi observado que o procedimento convencional proposto por Budynas e Nisbett [1] superestima a carga que é absorvida pelo parafuso quando comparado aos resultados fornecidos pela análise numérica e experimental, conforme ilustra a Figura 8. Dessa forma, o uso do método analítico proposto por Budynas e
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Nisbett [1] para predizer a carga absorvida no parafuso ocasiona o projeto de sistemas superdimensionados.
Figura 8 – Comparação dos resultados encontrados nas simulações realizadas por Williams et al. [5] com a teoria clássica de juntas parafusadas proposta por
Budynas e Nisbett [1]. Fonte: Williams et al. [5] adaptado.
Sethuraman e Kumar [11] realizaram um estudo da avaliação da rigidez dos membros de juntas parafusadas. Para tal foi desenvolvido um modelo axissimétrico, conforme ilustrado na Figura 11. Pode-se observar pela figura que foram modelados apenas a arruela e o membro, tornando tal modelo limitado.
Figura 9 – Modelo desenvolvido por Sethuraman e Kumar [11]. Fonte: Sethuraman e Kumar [11].
Para calcular a rigidez dos membros a partir dos resultados encontrados na simulação, Sethuraman e Kumar [11] utilizaram dois métodos distintos: UDA (Uniform
Displacement Assumption) e UPA (Uniform Pressure Assumption). No método UDA é
considerado que a arruela é extremamente rígida quando comparada ao membro, e a rigidez dos membros é calculada pela Equação 35. Já no método UPA é considerado que a arruela é extremamente dúctil quando comparada ao membro, e a rigidez dos membros é calculada pela Equação 36.
Teoria clássica
Modelo simplificado Modelo avançado Teste experimental
18 (35) (36)
Na Equação 35, corresponde a soma das forças de reação no contato da arruela e do membro e o deslocamento do membro na região de contato. Já na Equação 36, é a pressão de contato arruela-membro, é a área abaixo da arruela fornecida pela Equação 37 e é a média do deslocamento no contato.
(37)
Onde é o diâmetro da arruela e é o diâmetro do furo dos membros. Sethuraman e Kumar [11] observaram que a maioria dos métodos analíticos superestima a rigidez dos membros quando comparados com resultados encontrados através das análises por elementos finitos (AEF) realizadas no estudo, como mostra a Figura 10.
Figura 10 - Comparação dos resultados obtidos por Sethuraman e Kumar [11] com diversos procedimentos de cálculo da rigidez dos membros. No eixo das ordenadas e das abscissas tem-se a rigidez adimensional e a razão do diâmetro do
furo dos membros pelo comprimento do parafuso, respectivamente. Fonte: Sethuraman e Kumar [11] adaptado.
Além disso, foi proposto um método de cálculo analítico da rigidez dos membros para cada um dos procedimentos (UDA e UPA) dado pela Equação 38.
(38)
Onde, corresponde à rigidez de um cilindro oco com diâmetro interno, externo e a altura equivalentes ao diâmetro do furo dos membros , ao diâmetro
Juvinall Shigley (α=30°) VDI Wileman UDA UPA AEF com UDA AEF com UPA Pedersen
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externo da arruela e altura total dos membros , respectivamente. Essa rigidez é calculada segundo a Equação 39. Por outro lado, é o fator de correção que é calculado pela Equação 40. Tal expressão estabelece uma variável intermediária ), Equação 41, e uma série de constantes que dependem do tipo do procedimento utilizado (UDA ou UPA) cujos valores estão ilustrados na Tabela 3.
(39)
(40)
⁄ ⁄ ⁄ (41)
Tabela 3 – Constantes estabelecidas por Sethuraman para o cálculo do fator de correção . Fonte: Sethuraman e Kumar [11]
Constante UDA UPA
Na Equação 41, a variável corresponde à constante de Lamé do material do membro e pode ser calculada pela expressão 42 que leva em consideração o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material dos membros.
( )
(42)
Alkatan et al. [7] apresentaram uma abordagem para o cálculo da rigidez dos componentes de uma junta parafusada. O desenvolvimento dessa abordagem foi realizado com auxílio de uma modelagem numérica axissimétrica que considerava o atrito entre os componentes e a geometria das roscas.
Foi aplicado o princípio da conservação da energia de deformação elástica (Equação 43) para o sistema da Figura 11 para predizer as rigidezes equivalentes do parafuso e dos membros, e , respectivamente.
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Figura 11 – Modelagem realizada por Alkatan. Fonte: Alkatan et al. [7] Na Equação 43, é a energia de deformação elástica do parafuso, é a energia de deformação elástica do membro, é a energia de fricção dissipada e é trabalho da força externa. O cálculo do trabalho da força externa é realizado somando os valores locais de nos nós da secção de contato entre o membro e cabeça do parafuso. Por outro lado, e são encontrados como resultado nas simulações, sendo estes o somatório da energia de deformação elástica de cada elemento numérico da malha gerada.
Deve-se salientar que o modelo de “molas” (Figura 11b) convencionalmente atribuído ao comportamento mecânico de juntas parafusadas não leva em consideração a energia de fricção dissipada. Por esse motivo, foi considerado que as energias de deformação que atende o modelo de “molas” ( e ) para calcular as rigidezes equivalentes ( e ), como mostrado nas Equações 44 e 45.
(44)
(45)
A relação entre todos esses tipos de energia é realizada pelo balanço expresso pela Equação 46:
(46)
Além disso, foi observada que a energia dissipada pelo atrito é proporcional à energia de deformação elástica pelo parâmetro , como representado nas equações 47, 48 e 49.
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(47)
(48)
(49)
Onde o parâmetro pode ser calculado pela Equação 50,
(50)
Por fim, Alkatan et al. [7] através da combinação entre as equações 44, 45, 47, 48 e 49 chegaram as equações 51 e 52 que possibilitam calcular as rigidezes do parafuso e dos membros, respectivamente, a partir de dados extraídos dos resultados das simulações ( , , e ).
(51)
(52)
Para casos práticos, Alkatan et al. [7] apresentaram equações 53 e 54 para o cálculo da rigidez do parafuso e dos membros, respectivamente.
(53) (54)
Na Equação 53, , e correspondem às rigidezes da cabeça do parafuso, da parte rosqueada do parafuso e da parte carregada do parafuso, respectivamente, e são calculadas pelas equações 55, 56 e 57. Na Equação 54, é o modulo de elasticidade dos membros, é a área de seção transversal dos membros e é a espessura de cada membro no agarramento.
(55) (56) (57)
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Onde é o módulo de elasticidade do parafuso, é área do maior diâmetro do parafuso, é o comprimento da parte não-rosqueada do parafuso, é área de tensão de tração, é comprimento da parte rosqueada do parafuso no agarramento, é o diâmetro nominal do parafuso. Já , e correspondem ao fator de correção da rigidez da cabeça do parafuso, da parte rosqueada do parafuso e da parte carregada do parafuso, respectivamente.
4.2. Avaliação do comportamento mecânico de juntas parafusadas