A reconstru¸c˜ao

Embora o procedimento de c´alculo da integral de correla¸c˜ao C(r) seja sim-ples, em muitas situa¸c˜oes o sistema em estudo ´e multidimensional, e.g. a RMA analisada neste trabalho, onde a dimens˜ao do espa¸co ´e igual ao n´umero de s´ıtios.

Neste caso, o c´alculo computacional de C(r) torna-se impratic´avel quando precisa-mos calcular uma distˆancia entre dois pontos em um espa¸co de dimens˜ao 10000! Em muitos sistemas reais, como o escoamento de Taylor-Couette, n´os nem mesmo temos acesso a todas as componentes do vetor x (o qual em princ´ıpio possuiria todas as informa¸c˜oes dinˆamicas poss´ıveis sobre o sistema investigado), quando muito, apenas algumas componentes. Isto como veremos a seguir j´a ´e, pelo menos em uma primeira abordagem, suficiente.

Em 1980 Packard [48] introduziu um m´etodo que permite a um observador ter acesso `as informa¸c˜oes dinˆamicas de um sistema multidimensional sem ter que recorrer ao vetor x. A id´eia, conhecida na literatura como m´etodo das coordenadas de retardo, permite ao observador “reconstruir” a dinˆamica, nem sempre acess´ıvel, do sistema dinˆamico. Vamos admitir, que ao inv´es de termos o conjuntoSanteriormente mencionado, tiv´essemos um conjunto s proveniente da observa¸c˜ao de uma ´unica componente do vetor x. Chamaremos esta componente simplesmente de x. Assim, s ={x1, x2, ..., xM}. A id´eia b´asica da recontru¸c˜ao consiste em tomar os M pontos da s´erie temporal anterior e formar vetores

ξ_n= (xn, xn+τ, ..., xn+(m−1)τ) (5.2)

-2 -1 0

x

Figura 5.2: Reconstru¸c˜ao do atrator de H´enon representado na figura 5.1.

no R^m (ou espa¸co-ξ), as quantidades m e τ s˜ao chamadas respectivamente de di-mens˜ao de imers˜aoetempo de retardo. Uma vez representados noR^m o conjunto de vetoresξ pode ent˜ao ser analisado como se o mesmo formasse a ´orbita de um sistema dinˆamico noR^m. Esta mudan¸ca topol´ogica ´e baseada na id´eia de que as propriedades dinˆamicas contidas na ´orbita do sistema no espa¸coR^N (espa¸co de fase pleno) podem ser transmitidas para a ´orbita reconstru´ıda no espa¸coR^m e o grau com que estas in-forma¸c˜oes s˜ao transmitidas depende de qu˜ao boa ´e a escolha da dimens˜ao de imers˜ao.

A figura 5.2 mostra a reconstru¸c˜ao do atrator de H´enon exibido na figura 5.1 usando-se somente a coordenada xn, ´e interessante observar a grande semelhan¸ca entre as geometrias nos diferentes espa¸cos. A id´eia bastante pr´atica de Packard foi endossada sob o ponto de vista topol´ogico pelos trabalhos de Man´e-Takens [49, 47, 31] em 1981.

Feita esta transi¸c˜ao de coordenadas, a id´eia de Grassberger (Eq. 5.2) pode ent˜ao ser aplicada diretamente `a ´orbita reconstru´ıda. Ou seja,

C(r, m) = lim

Neste momento surge uma quest˜ao cogitada a pouco: qual o valor de m a ser usado? Os argumentos de Man´e e Takens sugerem que o valor da dimens˜ao do espa¸co recontru´ıdo m depende da dimens˜ao DA do atrator: se m ´e maior que 2DA, que ´e um valor fracion´ario, ent˜ao o atrator no espa¸co reconstru´ıdo estar´a suavemente relacionado ao atrator visto no espa¸co de fase original, o qual n˜ao conhecemos. Na pr´atica esta afirma¸c˜ao de Man´e-Takens, expressa na forma de um teorema [47], sugere que, ao escolhermos umm suficientemente grande, as propriedades f´ısicas de

(a) (b)

Figura 5.3: Reconstru¸c˜ao de um atrator unidimensional (ciclo limite) no (a)R³ e no (b) R². Fonte: Ott [30].

interesse do atrator inferidas do sistema de coordenadas de retardo ser˜ao as mesmas quando estas propriedades s˜ao inferidas do sistemas de coordenadas originais. Este procedimento para se escolher ummsuficientemente grande ´e conhecido na literatura como imers˜ao (embedding) e o valor adequado de m, me, ´e a dimens˜ao de imers˜ao, o ´ındice e significa embedding. Uma vez atingido m = m_e, ent˜ao qualquer m ≥ m_e tamb´em proporciona uma imers˜ao [34].

Sem d´uvida, um dos maiores resultados provenientes do teorema de Man´e-Takens ´e o de indicar um espa¸co euclidiano R^m grande o suficiente para que o con-junto de pontos cuja dimens˜ao ´e DA e que forma o atrator possa ser “desdobrado”

(unfolded) adequadamente, retirando dos olhos do observador atento todas as falsas proje¸c˜oes, “ambiguidades visuais”, provenientes da observa¸c˜ao do mesmo conjunto em um espa¸co de dimens˜ao muito baixa. Esta explica¸c˜ao fica bem mais clara quando analisamos a figura 5.3. Se o atrator ´e unidimensional, por exemplo um ciclo limite, e ´e visto noR² (Fig. 5.3b), pode ocorrer que a curva unidimensional cruze ela pr´opria em pontos isolados. Neste ponto de cruzamento existe, em princ´ıpio, uma ambigui-dade sobre que pontos s˜ao realmente vizinhos de outros pontos. Esta ambiguiambigui-dade, ou seja, a presen¸ca defalsos vizinhos, ´e completamente removida quando observamos o mesmo atrator unidimensional no R³ (Fig. 5.3a), ou ainda no R⁴. Em resumo, e de forma geral, vemos que o teorema de Man´e-Takens proporciona uma condi¸c˜ao suficiente para que a proje¸c˜ao do atrator seja a melhor poss´ıvel, eliminando todos os cruzamentos de ´orbitas com dimens˜ao zero, dois, trˆes, etc.

Uma quest˜ao surge ap´os toda esta prele¸c˜ao sobre a reconstru¸c˜ao: se n˜ao conhe-cemos DA como saberemos qual o valor conveniente de m a fim de se ter uma boa reconstru¸c˜ao? Se o atrator foi apropriadamente desdobrado ap´os termos escolhido um m suficientemente grande, ent˜ao qualquer propriedade associada ao atrator no

R^N que dependa da distˆancia entre os pontos tornar-se-´a independente do valor da dimens˜ao de imers˜ao, uma vez que tenhamos alcan¸cado o valor necess´ario m =me. Aumentando m al´em do valor m =me n˜ao afetar´a o valor desta propriedade. Uma propriedade candidata bastante adequada aos nossos interesses ´e, sem d´uvida, a pr´opria integral de correla¸c˜ao aplicada `a ´orbita reconstru´ıda (Eq. 5.3). Deste modo, a priori, o valor apropriado dem pode ser alcan¸cado avaliando-se a integral de cor-rela¸c˜ao para m = 1,2,3, ... at´e que a varia¸c˜ao da mesma com m termine, ou seja, quando os valores avaliados para 5.3 saturarem. Nesta situa¸c˜ao, basta observarmos a regi˜ao dos pequenos valores de ronde C(r, me)'r^D. Nesta regi˜ao podemos ent˜ao afirmar que D=DA.

Em resumo, o processo de obten¸c˜ao dadimens˜ao de correla¸c˜ao DA do atrator consiste em se determinar o valor da equa¸c˜ao

D= lim

m→ ∞lim

r→0

∂lnC(r, m)

∂lnr (5.4)

e verificar onde a mesma ´e constante. Naturalmente, o limite para m indica que o mesmo deve ser aumentado at´e o ponto de satura¸c˜ao.