Reflexões Históricas do Conhecimento Matemático e Aplicação da Matemática no

Conforme discutido no tópico anterior, sabemos que foi ao longo da história da humanidade, por meio do trabalho e das relações humanas, que os homens modificaram a natureza e, ao mesmo tempo, modificaram a si mesmos e suas relações com o mundo. E é justamente a partir dessa reflexão que queremos citar a “Matemática”, conhecimento que foi construção social e histórica, que surgiu devido às necessidades da vida cotidiana, sendo resultado das tentativas dos homens de atuar e compreender o seu mundo. O conhecimento matemático tem sido objeto de estudo de muitas civilizações, devido à necessidade de utilizála para facilitar as relações de trabalho humanas. De acordo com D’Ambrósio (1996, p. 18):

Ao longo da história se reconhecem esforços de indivíduos e de todas as sociedades para encontrar explicações, formas de lidar e conviver com a realidade natural e sociocultural. Isso deu origem aos modos de comunicação e às línguas, às religiões e às artes, assim como às ciências e às matemáticas, enfim a tudo que chamamos de “conhecimento”, muitas vezes também chamado “saber”.

Ressaltamos que a objetivação do trabalho não é só em instrumentos materiais, mas em imateriais também, tendo como exemplo disso o conhecimento científico. Sendo assim, a Matemática encontra-se como um importante elemento que auxilia os homens no conhecimento de mundo e das formas de dominação da natureza, se tornando uma ciência importante para a construção do conhecimento do homem e no processo de interação dele na sociedade; isso porque tais conhecimentos eram utilizados, inicialmente, em contextos específicos do cotidiano, como meio de auxílio em determinadas atividades, como, por exemplo: contar, agrupar, repartir, vender, trocar, medir etc. e que a transmissão dessas capacidades e habilidades se deu por meio da cultura, nas relações de trabalho. Conforme frisa D’Ambrósio (1996, p. 18):

Todo conhecimento é resultado de um longo processo cumulativo de geração, de organização intelectual, de organização social e de difusão, naturalmente não dicotômicos entre si. Esses estágios são normalmente de estudo nas chamadas teoria da cognição, epistemologia, história e sociologia, e educação e política. O processo como um todo, extremamente dinâmico e jamais finalizado, está obviamente sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social. Assim é o ciclo de aquisição individual e social do conhecimento.

Com o passar do tempo, a utilização desses conhecimentos foi se desenvolvendo e originando a “Matemática” que conhecemos hoje, na qual os conhecimentos e experiências humanas foram unificados e estruturados em uma área de estudo, se sistematizando enquanto

Ciência. Sendo assim, temos em mente que a Matemática, então, é uma idealização do homem para intervir nas suas relações com a natureza e seus pares e está presente em nosso dia a dia, praticamente em quase tudo que fazemos.

D’Ambrósio (1986, p. 35) realiza uma comparação da aquisição de conhecimentos matemáticos com o falar, apontado que essa aquisição é “[...] resultante da vida em sociedade e da exposição mútua, da mesma maneira como a linguagem”. Para o autor, isso significa que a aprendizagem matemática é um processo natural, tal como a linguagem. Sendo assim, ele atribui à Matemática “[...] o caráter de uma atividade inerente ao saber humano, praticada com plena espontaneidade, resultante de seu ambiente sociocultural e consequentemente determinada pela realidade, material na qual o indivíduo está inserido” (D’AMBRÓSIO, 1986, p. 36).

Sabendo disso e aliados ao objetivo de nossa pesquisa, compreendemos, então, que as crianças estão imersas em um mundo em que as pessoas fazem matemática o tempo todo, e que no seu cotidiano convivem, observam e participam de processos de compra e venda, cálculo de distâncias, tamanho e capacidade, no cálculo do tempo, nos objetos de uso diário, como celulares, controles remotos, balança, termômetro etc.

Desse modo, observamos que as noções matemáticas estão presentes desde os primórdios da humanidade e que, ao longo da história, foram diversos os experimentos e conhecimentos numéricos presentes em objetos, como: telefone, controle remoto, placas de veículos etc. matemáticos, os quais originaram diferentes sistemas de numeração, dentre eles:

egípcio, romano, árabe etc. Atualmente, o sistema de numeração que se perpetuou e é utilizado em quase todo o mundo é o indo-arábico, denominado como “Sistema de Numeração Decimal”, que utiliza dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), sendo que todo número desse sistema é agrupado em potências de base 10.

Tal como Vigotski (2009, p. 373) descreve “[...] a criança aprende a atuar no plano do sistema decimal antes de tomar consciência dele, porque ela não domina o sistema, mas é tolhida por ele”. Assim:

A tomada de consciência do sistema decimal, isto é, a generalização, que redunda na sua compreensão como caso particular de qualquer sistema de cálculo, leva à possibilidade de ação arbitrária nesse e em outro sistema. O critério de tomada de consciência reside na possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalização do sistema decimal, formação de um conceito geral sobre os sistemas de cálculo. Por isso, a passagem para qualquer sistema é um indicador direto da generalização do sistema decimal. A criança traduz do sistema decimal para um sistema baseado no número cinco, de modo diferente antes da fórmula geral e depois da fórmula geral. Assim, a investigação mostra que sempre existem vínculos da

generalização superior com a inferior e, através desta, com o objeto (VIGOTSKI, 2009, p. 373).

Ainda nessa linha de pensamento, destacamos que a Matemática faz parte de atividades essenciais na vida das crianças, nas quais elas desenvolvem ações com o meio em que vivem.

Entendemos, portanto, que os conhecimentos matemáticos precedem à escola, e que devemos nos atentar para isso. Assim, o objetivo deste tópico é demonstrar como se dá e qual é a importância da Matemática nas situações cotidianas da criança. À vista disso, conforme apresentado por Lopes e Grando (2012), as crianças desenvolvem experiências matemáticas,

“manipulando objetos, colocando um dentro do outro, desenhando, entendendo o tempo (quanto tempo brincou? Quanto tempo vai demorar para um desenho começar, etc.), entendendo quantidades (Quantos anos tem? Qual o maior pedaço de bolo, quem tem mais balas, etc.)”

(LOPES; GRANDO, 2012, p. 5).

Sobre a matemática no cotidiano, os autores Schliemann, Carraher e Nunes (2011), ao escreverem a obra “Na vida dez, na escola zero”, caracterizam a Matemática não apenas enquanto ciência, mas também como uma atividade humana. Em seus estudos, eles se preocuparam em compreender como as crianças são capazes de utilizar princípios e modelos lógico-matemáticos em diferentes contextos culturais do seu cotidiano, analisando situações matemáticas na vida de crianças e adultos trabalhadores que, em seu dia a dia, usam muito mais matemática do que aprenderam na escola. Isso porque os autores, a partir das pesquisas realizadas, constataram que crianças que tinham dificuldades e cometiam erros na escola sabiam muito bem sobre a matemática que precisavam para sobreviver, sendo capazes de desenvolver estratégias e de solucionar problemas na experiência cotidiana; além disso, as dificuldades apresentadas por elas, na escola, não se igualavam as mesmas dificuldades encontradas na vida diária, uma vez que não há a rigidez de algoritmos e cálculos escritos; no cotidiano, elas operam os cálculos mentalmente e os expressam de maneira verbal.

Essas situações demonstram que o conhecimento matemático não é acessível apenas na escola e que ser capaz utilizar habilidades matemáticas, nas situações culturais e sociais das quais faz parte, tem muito mais significado para o indivíduo do que os conhecimentos formais escolares, pois são essas situações que o levam a adotar um procedimento de resolução de problemas, para, assim, solucionar uma necessidade.

Na escola, a matemática é uma ciência ensinada em um momento definido por alguém de maior competência. Na vida, a matemática é parte da atividade de um sujeito que compra, que vende, que mede e encomenda peças de madeira, que constrói paredes, que faz o jogo na esquina. Que diferença fazem essas

circunstâncias para a atividade dos sujeitos? Na aula de matemática, as crianças fazem conta para acertar, para ganhar boas notas, para agradar a professora, para passar de ano. Na vida cotidiana, fazem as mesmas contas para pagar, dar troco, convencer o freguês de que seu preço é razoável. Estarão usando a mesma matemática? O desempenho nas diferentes situações será o mesmo? Que papel exerce a motivação da venda? Que explicação existe para que alguém seja capaz de resolver um problema em uma situação e não em outra? (SCHLIEMANN; CARRAHER; NUNES,

2011, p. 35).

Posto isso, esses autores diferenciam a solução de problemas realizada na escola e a realizada no cotidiano, isso porque a Matemática trabalhada em sala de aula se aplica mais a soluções de regras, enquanto a do cotidiano tem muito mais significado, já que é necessária para suprir determinada necessidade. Desse modo, o objetivo dos estudantes na escola, conforme apontam é,

[...] utilizar alguma fórmula ou operação que o professor ensinou; aplicado o procedimento, encontrado o número, o problema está resolvido. Em contraste, os modelos matemáticos na vida diária são instrumentos para encontrar soluções de problemas onde o significado desempenha um papel fundamental.

Os resultados não são simplesmente números; são indicações de decisões a serem tomadas _ quanto dar de troco, que comprimento de parede construir etc. Um resultado errado tem consequências; por isso, precisamos saber avaliar a solução encontrada. Numa venda, ninguém dará de troco mais dinheiro do que recebeu; numa subtração feita na escola, em contraste, não é incomum encontrar estudantes que admitem como resto um número maior que o minuendo (SCHLIEMANN; CARRAHER; NUNES,

2011, p. 168).

Isso não quer dizer que conhecimentos escolares não sejam importantes, claro que são, já que os conteúdos ditados pelo currículo são experiências e conhecimentos da humanidade, passados e aperfeiçoados de geração para geração. Porém, os autores Schliemann, Carraher e Nunes (2011), com seus estudos, confirmam que, para uma efetiva aprendizagem da matemática, os professores devem promover esses conhecimentos curriculares relacionados a experiências cotidianas e que lhes proporcionem significado, pois é a partir dos elementos intelectuais que o sujeito dispõe que ele modifica sua experiência no mundo e amplia esses conhecimentos.

Isto vem ao encontro da afirmação de Schliemann, Carraher e Nunes (2011, p. 177), ao asseverarem que “os algoritmos escolares têm algumas características que os tornam amplificadores culturais da capacidade já existente”.

Um amplificador cultural não cria uma capacidade nova: amplia uma capacidade já existente. Em outras palavras, as condições nas quais as soluções

escolares são praticadas tendem a promover certos aspectos do conhecimento de operações aritméticas que amplificam o poder das mesmas habilidades de raciocínio quando as pessoas estão resolvendo problemas (SCHLIEMANN;

CARRAHER; NUNES, 2011, p. 177-178).

Dessa maneira, sinalizamos que, quando as crianças compreendem as explicações científicas passadas pela escola e estas estejam relacionadas ao seu cotidiano, elas são capazes de se apropriar significativamente dos conhecimentos científicos produzidos pela humanidade.

A ênfase no ensino deve se dar na construção de conceitos, pois os conhecimentos científicos, como construção histórica, devem servir para que os alunos possam compreender e transformar a realidade, ou seja, a escola deve estar, a todo o momento, vinculada com a vida, com o mundo, em todos os seus aspectos: social, cultural, político etc. Isso porque a matemática não se limita apenas aos conteúdos escolares, como podemos ver, ela está presente no mundo. Assim, os autores fazem o contraste entre a vida cotidiana e as situações escolares.

O que distingue essas situações cotidianas das situações escolares é o significado que elas têm para o sujeito, o qual, resolvendo problemas, constrói modelos lógico-matemáticos adequados à situação. A educação matemática, através de situações cuidadosamente estudadas, pode visar à construção de modelos matemáticos pelas crianças, as quais estariam engajadas em resolver problemas cujo significado as orientasse sobre os próprios modelos (SCHLIEMANN; CARRAHER; NUNES, 2011, p. 203).

Logo, as vivências que as crianças trazem são fatores fundamentais para que ocorra a aprendizagem, pois um conceito não é formado do nada, e sim desenvolvido por meio de outro conceito. Assim, a bagagem que a criança já traz de seu cotidiano, junto com a intencionalidade de desenvolver um conceito e a mediação do professor, é que proporcionará a aprendizagem.

No desenvolvimento de um estudo semelhante, Schliemann (1998) compara a resolução de problemas dentro e fora da escola, destacando a matemática utilizada pelo pedreiro, pela cozinheira, pelo alfaiate etc. Este estudo gerou descobertas da utilização de propriedades matemáticas por esses sujeitos, sem mesmo terem frequentado a escola, e/ou tomado consciência das operações utilizadas para a resolução dos problemas de seu cotidiano.

Assim, a autora defende que:

É pelo uso de conhecimentos anteriores que crianças e adultos podem vir a compreender novas situações e desenvolver conhecimento matemático mais avançado. Simplesmente trazer para a sala de aula atividades de ensino que são cópias das atividades do dia a dia não proporciona oportunidades para desenvolvimento de novos conhecimentos. Mas as atividades na sala de aula podem certamente beneficiar-se do conhecimento desenvolvido fora da escola ao proporcionar oportunidades para que a criança o utilize quando enfrenta e tenta compreender novas situações. As atividades para ensino de matemática

devem, portanto, procurar engajar o estudante em utilizar todos os seus recursos para compreender novos sistemas e situações. E essas situações nem sempre são aquelas que ele encontra fora da escola (SCHLIEMANN, 1998, p.

33).

Concluímos, então, que a matemática é exigida socialmente e que se desdobra no cotidiano, se mostrando não enquanto algoritmo tradicional e provida de regras, pois, muitas vezes, as pessoas resolvem situações que envolvem matemática sem ter conhecimento disso.

Esse conhecimento, em momento algum, deve ser desvalorizado, mas entendido como um elemento possível de ser incorporado às práticas escolares. Ou seja, entendemos que é no ambiente escolar que ocorrerá a mediação entre o conhecimento cotidiano e o científico, sem que nenhum seja desvalorizado ou superior ao outro, mas ambos constituintes da experiência e formação do homem na sua vida em sociedade.

1.3 Ensino-Aprendizagem de Matemática – Formação de Conceitos

À vista da formação de conceitos na criança, as pesquisas de Vigotski (2009) nos abriram caminhos para compreendermos esse processo. O autor distingue os processos de desenvolvimento que se dão a partir dos conceitos espontâneos e científicos, sendo que os conceitos espontâneos ocorrem a partir das experiências da criança com o mundo ao solucionar problemas do dia a dia, mas sem tomar consciência de suas ações; e os conceitos científicos se dão a partir da atividade mental, isto é, quando a criança, por meio do processo de mediação (que ocorre na escola, por meio das ações do professor), toma consciência de suas ações.

Essa contribuição de Vigotski (2009) proporcionou para esta pesquisa a relação da formação dos conceitos com o ensino-aprendizagem da Matemática, considerando que, para que a criança se aproprie do sistema de numeração, é importante considerar seu contexto social e, a partir dele, pensar possibilidades para a prática pedagógica, sendo imprescindível a mediação entre os conceitos espontâneos e os científicos.

Friedrich (2012, p. 99) atribui aos conceitos científicos as “generalizações de segunda ordem, já que a referência ao mundo que eles operam não é nunca imediata nem direta. Ela sempre se realiza por intermédio de algum outro conceito”. Como descrito por Vigotski, a autora explica seus pressupostos na formação dos conceitos científicos, ilustrando que:

[...] um conceito científico tem uma relação tanto com os objetos do mundo, quanto com os conceitos. Isso significa duas coisas: 1) os conceitos científicos sempre se apoiam nos conceitos cotidianos, não podendo existir sem eles e 2)