Registros com erros conceituais e algébricos

Exemplificamos os erros conceituais por meio das seguintes resoluções, conforme as Figuras 29 e 30 apresentadas a seguir.

Figura 30 – PT24Q7Mi

Fonte: relatório da pesquisa.

Figura 31 – PT37Q7Tau

Fonte: relatório da pesquisa.

Esses registros apontam que tal mecanismo de resolução de uma equação constituiu-se em um obstáculo didático para o desenvolvimento da questão por ter sido fruto de uma metodologia comumente praticada em sala de aula. Porém, por estar ligado ao conhecimento que o estudante construiu de que, ao se deparar com uma equação, de qualquer tipo, ele deverá isolar de um lado termos dependentes e de outros termos independentes, pode ser

também considerado como um obstáculo epistemológico que levará a erros, como os apresentados.

Os dois protocolos seguintes evidenciam a situação em que os estudantes têm o conceito de função, porém incorrem em erros algébricos comuns do uso da distributividade em presença de um sinal negativo antes da expressão ou na resolução do quadrado de uma soma escrita como soma dos quadrados (COXFORD et al, 1995).

Figura 32 – PT44Q7Upsilon

Fonte: relatório da pesquisa.

Figura 33 – PT38Q7Eta

Fonte: relatório da pesquisa.

Algumas resoluções apresentaram procedimentos onde ocorreu uma combinação das duas dificuldades algébricas. Nelas aparecem erro no uso da propriedade distributiva bem como no desenvolvimento de (2+h)², como no exemplo mostrado pela Figura 33 a seguir:

Figura 34 – PT43Q7Chi

Fonte: relatório da pesquisa.

Os protocolos das figuras 30 e 34 apresentam outro fenômeno observado nas produções. Ele diz respeito ao costume de se calcular o valor da função usando sempre a variável x. A questão proposta, inicialmente solicitava que se calculasse f(2+h) e, por isso, a resposta final deve ser uma função da variável h. As duas produções citadas não dispensam o uso de f(x). Do mesmo modo, outros cinco protocolos mantiveram o resultado f(x) até o final. Desta forma, essas produções sinalizam que o conceito de função não está adequado para a aprendizagem do Cálculo, tendo de ser remobilizado desde o início, voltando à noção de variável independente. Elas revelam a falta de compreensão da distinção entre varável independente e variável dependente, isto é, a falta de conceitos e representações para o estudo de funções, o que é essencial para o estudo de Cálculo. Erros algébricos dessa natureza podem ser observados por professores de Matemática que lecionam a partir dos anos finais do Ensino Fundamental. Os erros destacados aqui nesse trabalho são citados no livro de Coxford et al. (1995) no capítulo que trata dos erros mais comuns em Álgebra.

Novamente, os registros das questões 6 e 7 produzidos nos levam a identificar a presença de obstáculos didáticos tanto quanto epistemológicos, revelando conhecimento algébrico errôneo, cuja produção matemática é calcada em malabarismos incompletos e falsos. Isso evidencia pouca compreensão por parte dos alunos dos significados das operações algébricas realizadas, não apoiadas em definições e nem em propriedades, que são objetos de ensino e aprendizagens nos anos finais do Ensino Fundamental.

Questão 08

As funções compostas são uma parte do estudo de funções que exigem dos estudantes o entendimento e a identificação das leis de formação de cada função componente da

composição. Além disso, também requer habilidades manipulativas na construção da função composta a partir de uma ou mais funções. Por serem funções especiais, sua regra de derivação tem nome próprio e é chamada a Regra da Cadeia.

Enunciado

8. Encontre fogoh se f(x) =

, g(x) =

_{e h(x) = x + 3.}

Conteúdos envolvidos: Funções compostas; potenciação, divisão; soma. Nível da questão: Ensino Médio

Tabela 15 – Resultados da Questão 8 Acertos Brancos Outras

Resoluções

12 24 14

Fonte: relatório da pesquisa.

Durante a resolução do pré-teste, foram constatadas algumas dúvidas com relação ao enunciado desta questão. Sendo assim, a pesquisadora esclareceu oralmente e escreveu no quadro o que se pretendia com a escrita fogoh, pois a formulação não foi entendida por parte dos alunos. Ou seja, foi solicitado que substituíssem “f bola g bola h” por “f bola g de h de x. Em símbolos, foi pedido que escrevessem fogoh(x) = f(g(h(x))) em lugar de fogoh.

O tipo dessa questão não favorece resoluções diferenciadas ou alternativas. Por isso, a maior parte das doze soluções consideradas pertinentes seguiu o caminho apresentado a seguir:

f(g(h(x))) = f(g(x+3))=f(( _{) =}

Primeiramente resolve-se a função mais interna da composição g(x+3) e por fim, calcula-se f(( _).

Nas manipulações elaboradas nas resoluções, selecionamos dois grupos os quais serão apontados a seguir.

No primeiro grupo, ilustrado pelo protocolo da Figura 34, encontramos uma resolução em que o resultado final é apresentado corretamente num primeiro passo, porém é feito o cancelamento do termo _{do numerador com o do denominador, resultando 1} dividido por um. Seguiram o mesmo caminho outros três protocolos, dois com resposta 1 como na Figura 26 e um com resposta . Ou seja, percebe-se o entendimento do conceito da função composta, porém comete erros no processo algébrico da simplificação.

Figura 35 – PT40Q8Ni

Fonte: relatório da pesquisa.

Mais uma vez, de forma reincidente, verificamos a dificuldade comum entre os estudantes na diferenciação entre uma situação aditiva de uma multiplicativa, o que nos remete, necessariamente, às construções de aprendizagens essencialmente do 8º ano do Ensino Fundamental.

Apesar de não ser um produto de funções, a notação (fogoh)(x) pode sugerir um produto de funções. Nessa linha, tivemos quatro resoluções, das quais exibimos uma delas na Figura 36.

Figura 36 – PT35Q8Rho

Fonte: relatório da pesquisa.

O protocolo mostra um desenvolvimento com o uso do produto das funções f, g e h como resultado para fogoh(x).

Questões 9 e 10

Ao finalizar a apresentação e análise dos itens do Pré-teste e devido à opção pela ênfase nos aspectos algébricos das resoluções, para as questões 9 e 10 finais, somente apresentaremos os resultados e informações gerais das respostas numa mesma tabela (Tabela

16), sem incluir comentários ou análises mais elaboradas. Ademais, são questões objetivas e juntamente com a questão de número dois não são apropriadas para as análises.

Ambas as questões são de nível difícil. A questão nove envolve comparação de senos e cossenos usando argumentos em graus e radianos. A questão dez exige o conhecimento das funções trigonométricas, bem como os valores dos arcos conhecidos como fundamentais. Nenhum dos participantes acertou um dos dois itens e tivemos 5 protocolos com os dois itens em branco.

Questão 09 Enunciado

9. Dadas as desigualdades I) sen2 > sen3

II) sen1 > sen30º III) cos2 > cos3 é correto afirmar que:

a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas.

c) somente I e II são verdadeiras. d) somente II e III são verdadeiras. e) somente I e III são verdadeiras.

Fonte: https://brainly.com.br/tarefa/6165682

Conteúdos envolvidos: desigualdades, funções trigonométricas, cálculo de valores das funções trigonométricas fundamentais.

Nível da questão: Ensino Médio

Questão 10 Enunciado

10. Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero de lado l e ABDE e AFGC são quadrados. Expresse a distância DG em função de l.

Fonte: http://material.descomplica.com.br/matematica/Listadeexercicios-matematica1-trigonometria- linhas-trigonometricas-funcoes-graficos-10-11-2016.pdf

Conteúdos envolvidos: triângulos, distância entre dois pontos, trigonometria. Nível da questão: Ensino Médio

Tabela 16 – Resultados Questões 09 e 10 Questão Acertos Brancos Outras

Resoluções

09 01 22 27

10 0 22 28

Fonte: relatório da pesquisa.

É surpreendente o baixíssimo índice de acerto nessas questões de Geometria, sobretudo na última, número 10, em que a visualização geométrica faz parte da problematização. Será que a figura associada à questão serviu como um obstáculo à tentativa de resolução? Será que no Ensino Médio as aprendizagens de Geometria e Trigonometria ficam arraigadas aos cálculos de áreas e volumes e aos procedimentos algébricos associados a esses cálculos?

Em suma, da mesma forma que em relação aos conteúdos e processos algébricos, os resultados da tabela acima sinalizam que os estudantes ingressantes têm lacunas em conceitos e procedimentos geométricos. De fato, os fenômenos aqui descritos não são inéditos. Em um prefácio de 2003, de seu conhecido livro “Cálculo das funções de uma variável”, Volume 1, o Professor Geraldo Ávila escreve

Quando esse texto foi escrito, há mais de duas décadas, os estudantes chegavam ao Ensino Superior com graves deficiências de formação básica, daí a necessidade da inclusão de tópicos do Ensino Médio, como noções de Geometria Analítica, funções - particularmente o logaritmo e a exponencial – e Trigonometria. Infelizmente, a situação não melhorou, desde, pelo

menos, 1968, ano que marca o início da grande expansão do Ensino Superior. (ÁVILA, 2003)