Equivalˆ encia Topol´ ogica
4.1 Resolu¸ c˜ ao de Singularidades e Tran¸ cas
No Teorema 3.2.1, a curva X foi parametrizada pela aplica¸c˜ao π : C→ X do conjunto anal´ıtico regular C sobre o conjunto X que pode ser singular.
Defini¸c˜ao 4.1.1 Sejam X um conjunto anal´ıtico e S(X) o seu conjunto de pontos sin- gulares. Uma Resolu¸c˜ao de Singularidades de X ´e uma aplica¸c˜ao holomorfa sobrejetiva
π : eX → X de uma variedade complexa regular eX sobre X tal que π : eX\ π−1(S(X)) → X \ S(X)
´e biholomorfa e π−1(S(X)) n˜ao ´e denso em nenhum subconjunto de eX.
´
E importante entender a defini¸c˜ao anterior de forma precisa. Neste sentido, devemos primeiro salientar que uma resolu¸c˜ao de singularidades de X n˜ao ´e dada simplesmente por uma variedade n˜ao singular eX, mas sim pela aplica¸c˜ao π : eX → X com as propriedades listadas na defini¸c˜ao acima. Por exemplo, quando se resolve as singularidades irredut´ıveis locais de curvas, ent˜ao, para representantes adequados de X, a variedade eX ´e a mesma para todas as curvas, ou seja, um disco. A diferen¸ca entre as singularidades das curvas aparecem na aplica¸c˜ao π e, consequentemente, na expans˜ao de Puiseux.
Para germes de curvas irredut´ıveis planas, o Teorema 3.2.1 d´a uma resolu¸c˜ao de sin- gularidades, por meio da expans˜ao de Puiseux. E pode-se resolver os germes de curvas redut´ıveis resolvendo as componentes irredut´ıveis individualmente e, em seguida, tomar a uni˜ao disjunta de todas essas resolu¸c˜oes.
No Teorema 3.2.1 resolvemos a singularidade X = {(x, y); f(x, y) = 0} atrav´es da cobertura ramificada X → Dδ := D, (x, y) 7→ x. A resolu¸c˜ao π(z) = (zm, y(z)) n˜ao
depende somente da cobertura topol´ogica X\ {0} → D \ {0}, mas tamb´em de como esta cobertura ´e mergulhada em C2.
Figura 4.1:
Vamos agora analisar mais detalhadamente como a expans˜ao Puiseux y(z) est´a rela-
cionada com a cobertura X → D.
Sobre cada ponto x0 ∈ D \ {0} est˜ao m solu¸c˜oes distintas yi(x0) = y(εx
1 m
0 ) da equa¸c˜ao
f (x0, y) (onde ε = e
2πi
m ). A cobertura X \ {0} → D \ {0} ´e n˜ao ramificada, desta forma,
cada caminho x(t) em D\ {0} (0 ≤ t ≤ 1) pode ser levantado para m caminhos distintos (x(t), y1(t)), . . . , (x(t), ym(t))
em X. As fun¸c˜oes yi s˜ao cont´ınuas bem definidas de valor complexo, no intervalo [0,1],
Figura 4.2:
Exemplo 4.1.2 Consideremos a curva
X ={(x, y) ∈ C2; y2 = x3}.
A resolu¸c˜ao da singularidade ´e π(z) = (z2, z3), assim m = 2 e y(z) = z3. Seja x(t)
descrevendo uma volta no c´ırculo unit´ario, ou seja, para t∈ [0, 1] temos x(t) = e2πit. As solu¸c˜oes de f (x(t), y) s˜ao y1(t) = e2πi( 3 2)t y2(t) = −e2πi( 3 2)t.
O gr´afico dessas duas aplica¸c˜oes est˜ao sobre o cilindro
Figura 4.3:
Mais a frente, vamos representar esses gr´aficos por proje¸c˜oes planas adequadas:
Figura 4.4:
No caso geral, para uma curva fechada x(t) em D\ {0} temos m fun¸c˜oes cont´ınuas yi : [0, 1] → C com yi(t) 6= yj(t) para i6= j e {y1(0), . . . , ym(0)} = {y1(1), . . . , ym(1)}. O
gr´afico ent˜ao se parece com a figura a seguir, ou seja, uma tran¸ca!
Figura 4.5:
Intuitivamente, ´e claro o que se entende por uma tran¸ca. A tran¸ca resulta quando se associa a cada ponto em [0, 1] com m n´umeros complexos distintos, de forma cont´ınua, e o mesmo conjunto de n´umeros complexos est´a associado com 0 e 1. “Puxando os fios”com o ponto inicial e final fixo nada acontece.
Podemos fazer isso precisamente da seguinte forma: considere o grupo sim´etrico Sm
agindo sobre Cm trocando coordenadas. Ent˜ao
Ym :={(z1, . . . , zm)∈ Cm; zi 6= zj para i6= j}/Sm
´e o conjunto de todas as m−uplas n˜ao ordenadas de n´umeros complexos distintos. O conjunto Ym pode ser identificado com o espa¸co de todos os polinˆomios de grau m com
ra´ızes distintas associando cada z = (z1, . . . , zm)∈ Ym com o polinˆomio xm+ σ1(z)xm−1+
· · · + σm(z) que possui como ra´ızes z1, . . . , zm.
Defini¸c˜ao 4.1.3 Uma tran¸ca em m cordas ´e uma classe de homotopia de um caminho fe- chado em Ym com ponto inicial e final eY , ou seja, uma tran¸ca ´e um elemento de π1(Ym, eY ).
´
E f´acil constatar que π1(Ym, eY ) ´e um grupo, e a opera¸c˜ao de tran¸cas ´e simplesmente
“junt´a-las”.
Figura 4.6:
Chamamos este grupo tamb´em de Grupo das tran¸cas de Artin B(m).
O processo para resolver a equa¸c˜ao f (x, y) = 0 por uma s´erie de potˆencias y = y(x) remota a Newton, como j´a dissemos, foi desenvolvido por Cramer (1750) e aperfei¸coado por Puiseux em 1850. No trabalho de Puiseux tamb´em se encontra a ideia de investigar as singularidades com a ajuda de tran¸cas. Reconhecidamente, a topologia n˜ao estava suficientemente desenvolvida no tempo de Puiseux para que o conceito de grupo de tran¸cas pudesse ser feito exatamente como acima, ou de qualquer modo semelhante. O grupo fundamental foi desenvolvido por Poincar´e, quase cinquenta anos mais tarde. O conceito de “tran¸ca”foi introduzido pela primeira vez explicitamente por E. Artin em 1925, [A].
Cada caminho fechado x(t) em D\ {0} produz uma tran¸ca na forma descrita acima. Como esta tran¸ca resulta da cobertura X \ {0} → D \ {0}, caminhos homot´opicos pro- duzem a mesma tran¸ca.
Agora, temos que prestar aten¸c˜ao aos pontos iniciais e finais das tran¸cas. Se x(t) e x′(t)
s˜ao caminhos fechados em D\{0} com pontos iniciais diferentes, ent˜ao em geral as tran¸cas associadas γ e γ′ possuem ponto inicial diferente. Agora se x e x′ s˜ao homot´opicos livres,
isto ´e, existe uma homotopia ht entre x e x′ tal que os caminhos ht(0) e ht(1) coincidem,
ent˜ao as tran¸cas associadas γ e γ′ tamb´em s˜ao homot´opicas livres como caminhos em Y m.
Intuitivamente, isto significa que os fios de γ podem ser deformados nos fios de γ′, com
os pontos inicial e final de cada fio sendo movidos da mesma forma.
Figura 4.7:
Dizemos que duas tran¸cas s˜ao (topologicamente) equivalentes quando s˜ao homot´opicas livres como caminhos em Ym.
Assim temos que caminhos homot´opicos livres em D\ {0} resultam em tran¸cas equi- valentes.
Devido a este fato, e porque o grupo fundamental de D\ {0} ´e gerado por um circuito em torno de 0, basta nos limitar ao caminho padr˜ao
x(t) = δe2πit (δ suficientemente pequeno)
quando estamos investigando tran¸cas. Chamamos esta tran¸ca de “a tran¸ca da singulari- dade”.
Vamos agora estudar como a tran¸ca de uma singularidade est´a relacionada com a expans˜ao Puiseux y(x). Inicialmente vejamos alguns exemplos.
Exemplo 4.1.4 Consideremos a expans˜ao de Puiseux de f como dada no Exemplo 3.1.2, ou seja, y = x32+ x
7
4. Escolhendo δ suficientemente pequeno, o termo x 7
4 se torna pequeno
de x = δ temos dois pontos y = ±δ32. E, como x gira em torno do circulo |x| = δ, y faz
uma volta e meia em torno da origem em C.
Figura 4.8:
A tran¸ca ´e a mesma que vimos anteriormente:
Figura 4.9:
Agora vamos considerar o termo de perturba¸c˜ao x74. Sobre o ponto x = δ existem
agora quatro pontos y1, . . . , y4, agrupados em pares ao redor dos pontos y = δ
3
2 e y =−δ 3 2
Figura 4.10:
Durante um circuito de x ao redor do c´ırculo |x| = δ, os pontos δ32 e−δ 3
2, como antes,
fazem uma volta e meia em torno do grande c´ırculo; e os pontos de interesse, y1, y2, y3
e y4, giram uma vez e mais trˆes quartos de uma volta em torno das cordas da primeira
tran¸ca. Se denotarmos
x = δe2πit
y = η + iξ = x32 + x 7 4,
ent˜ao a tran¸ca resultante tem como proje¸c˜ao sobre o plano (t, η):
Figura 4.11:
Exemplo 4.1.5 Suponha que a expans˜ao de Puiseux de f ´e y = x32 + x 37
2 . Para uma
Figura 4.12:
Mas desta vez o termo de perturba¸c˜ao x372 n˜ao altera o n´umero de cordas da tran¸ca.
A tran¸ca de x32 + x 37
2 apenas oscila em torno da primeira aproxima¸c˜ao:
Figura 4.13:
Esta tran¸ca pode ser suavizada de modo a obtermos a tran¸ca original, assim, as tran¸cas para x32 e x 3 2 + x 37 2 s˜ao equivalentes. Figura 4.14:
Para tanto, basta considerar a mudan¸ca de coordenadas
x→ x e y → y +
∞
X
i=1
De fato, teremos y = x32 + x 37 2 + (x 3 2 + x 37 2 ) ∞ X i=1 (−1)ix17i = x32 + x 37 2 + x 3 2 ∞ X i=1 (−1)i x17i+ x32x17 ∞ X i=1 (−1)i x17i = x32 + x 37 2 − x 37 2 = x 3 2.
Este exemplo sugere a conjectura de que para uma fun¸c˜ao f com a expans˜ao Puiseux y(x) = Pakxk (ak 6= 0), a tran¸ca de f depende somente dos termos akxk para os quais
os denominadores dos expoentes aumentam. Vamos formular isto mais precisamente em breve. A fim de podermos associar uma singularidade com uma tran¸ca que ´e unicamente determinada, a menos de equivalˆencia, devemos escolher coordenadas no plano adequadas, uma vez que as coordenadas est˜ao relacionadas com a defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao proje¸c˜ao (x, y) 7→ x e consequentemente com a defini¸c˜ao da tran¸ca. Por exemplo, associamos a singularidade de y2− x3 = 0 com a s´erie de Puiseux y = x3
2 e a tran¸ca:
Figura 4.15:
Mas se invertermos os pap´eis das coordenadas x e y na constru¸c˜ao, obt´em-se a singu- laridade y3− x2 = 0 com a s´erie de Puiseux y = x23 e a tran¸ca de trˆes cordas:
Isto ocorre porque n´os obtivemos a tran¸ca por estudo da cobertura X\{0} → D \{0}, (x, y)7→ x e essa cobertura ´e diferente nos dois casos acima, como pode ser interpretado na imagem real:
Figura 4.17:
A cobertura ´e determinada pela proje¸c˜ao ao longo do eixo y; e, no primeiro caso, o eixo y corta a singularidade com multiplicidade 2, no segundo caso, com multiplicidade 3. Portanto, faremos uma conven¸c˜ao para a escolha das coordenadas x, y; e vamos torn´a-la a base de todo o nossa investiga¸c˜ao de expans˜oes Puiseux e as tran¸cas associadas, a menos que o contexto exija o contr´ario.
Seja f (x, y) irredut´ıvel. Se m ´e a multiplicidade de f na origem, ent˜ao vamos considerar que f ´e y−regular de ordem m. Isto ´e, vamos supor que o eixo y n˜ao ´e uma tangente no ponto singular da curva. Tal suposi¸c˜ao n˜ao ´e uma restri¸c˜ao uma vez que se pode obter esta propriedade por meio de uma mudan¸ca de coordenadas.
Isto ´e equivalente a assumir que a expans˜ao Puiseux de f tem a forma y = cxα+ (termos de maior ordem) (c6= 0)
com α≥ 1. Mais ainda, se considerarmos que y = 0 ´e o cone tangente ent˜ao, como vimos na Observa¸c˜ao 3.2.3, teremos α > 1.