No absorvedor ativo proposto por Olgac e Holm-Hansen (1995), a força de controlex +w, exercida pelo atuador é proporcional ao deslocamento da massa reativa, defasado de um intervalo de tempo , ou seja:
x +w, @ J{2+w , (3.1)
A teoria do ressonador defasado é baseada no fato, evidenciado na Seção 2.1, que haverá anulação da resposta harmônica da massa primária quando a freqüência natural do ADV com sua base fixa coincidir com a freqüência de excitação. Assim, dada a freqüência de excitação ( ) e um conjunto de valores dos parâmetros passivos (p2,f2,n2) o projeto do ressonador defasado consiste em determinar os parâmetrosJ e de modo que uma de suas freqüências naturais coincida com .
Para o ADV ativo considerado isoladamente, tem-se a seguinte equação do movimento:
p2{2. f2b{2. n2{2. J{2+w , @ 3 (3.2)
^P` i{ +w,j . ^F` i b{ +w,j . ^N` ^{ +w,` @ ii +w,j . ix +w,j (3.3) com: ^P` @ p 3 3 p2 ^F` @ f. f2 f2 f2 f2 ^N` @ n. n2 n2 n2 n2 i{ +w,j @ {+w, {2+w, ii +w,j @ I +w, 3 ix +w,j @ J{2+w , J{2+w ,
Passando a equação (3.2) para o domínio de Laplace, chega-se à equação característica do ADV ativo:
p2v2. f2v . n2. Jh3 r@ 3 (3.4)
Esta equação apresenta infinitas raízes paraJ e A 3. A Figura 3.2 apresenta o gráfico do lugar das raízes da equação (3.4) no plano complexo, comJ variando em ^4> .4` e constante.
Figura 3.2- Lugar das raízes da equação (3.4). (Extraída de Olgac e Holm-Hansen, 1995) Parav @ d . el, tem-se que o valor do ganho J é:
ComoJ deve ser um número real positivo:
J @p2v2. f2v . n2h @ (3.6)
observado o fato quehK @ 4. Além disso, o argumento de J na equação (3.5) deve ser um
múltiplo de5 , ou seja:
1 4 . 1p2v2. f2v . n2. 1h @. 1hK @ 5N N @ 3> 4> 5> === (3.7)
Desenvolvendo a expressão acima, escreve-se:
. 1p2v2. f2v . n2. 3 . e @ 5N (3.8)
o que finalmente implica:
1p2v2. f2v . n2@ +5N . 4, e (3.9)
Passando agora a equação (3.3) para o domínio de Laplace, obtém-se a função de transferência para a amplitude de vibração do sistema primário:
[
I +v, @
p2v2. f2v . n2. Jh3 r
+p2v2. f2v . n2. Jh3 r, S +v, . p2v2+f2v . n2, (3.10)
ondeS +v, @ pv2. fv . né o polinômio característico do sistema primário isolado. Nota-se
que para os valores dev que satisfazem a equação (3.4), o numerador da equação (3.10) se anula, isto é, ocorre uma anti-ressonância do sistema.
Sintonizar o ADV ativo para a freqüência significa fazer com que a equação característica (3.4) seja satisfeita para o valor dev @ l. Assim:
J @ 2p 2. l f2. n2 @ t +n2 2p2,2. + f2,2 (3.11) e 1 2p 2. l f2. n2@ +5N . 4, (3.12)
@ 4 wj3 f2 2p2 n2 . 5 @ 3> 4> 5> === (3.13)
As equações (3.11) e (3.13) dão os valores deJ e que sintonizam o ADV ativo para a freqüência de excitação . Nota-se que o efeito do amortecimento do ADV é eliminado uma vez que se impõe a sintonização para o valor dev @ l, localizado sobre o eixo imaginário do plano complexo.
Como nenhuma restrição foi imposta à freqüência , é sempre possível achar valores de J e que sintonizam o ADV para esta freqüência. No entanto, é fundamentalmente importante analisar o aspecto da estabilidade. Pode ocorrer o caso em que seja posível a sintonização para uma dada freqüência, mas que o sistema acoplado resulte instável. A estabilidade do sistema acoplado é assegurada se todos os seus polos (raízes da equação característica) estiverem localizados no semiplano complexo esquerdo. A análise de estabilidade pode ser feita empregando o critério de estabilidade de Nyquist (Ogata, 1993), conforme o procedimento descrito a seguir.
O critério de estabilidade de Nyquist é baseado no mapeamento da equação característica no plano compexo, conforme ilustrado na Figura 3.3. Traçando-se o contorno de Bromwich, que compreende o semiplano complexo direito (Figura 3.3(a)), faz-se o mapeamento da equação característica (3.4), conforme mostrado na Figura 3.3(b).
O número de raízes da equação característica localizados no semiplano direito (polos instáveis do sistema) é dado por:
] @ S . Q (3.14)
ondeS é o número de polos da equação característica localizados no semiplano direito, e Q é o número de envolvimentos da origem no sentido horário, verificados no mapeamento da equação característica.
Para a equação característica dada por (3.4) o número de polos é zero. Devido à natureza transcedental da equação característica, seu mapeamento é bastante complicado. Para facilitar, um outro método é usado, baseado na separação da equação característica (3.4) em duas componentes:
O mapeamento de E1 é imediato e o de E2 é um círculo de raioJ. Ambos são mostrados na Figura 3.3(b).
Figura 3.3- Mapeamento da equação característica no plano complexo segundo o contorno de Bromwich.
Tomando-se então os pontos correspondentes nestes dois mapeamentos, D4 e D5, e monitorando-se o argumento de D4 D5, calcula-se o número Q de incrementos de 5 do ângulo no sentido horário.
Observando a Figura 3.3(b) notam-se quatro interseções entre os mapeamentos das duas componentes da equação característica. Duas delas correspondem às raízes impostas da equação característica, isto é, v @ l, e são chamadas verdadeiras. As outras duas são interseções puramente geométricas, pois H4 e H5 assumem o mesmo valor, mas para diferentes valoresv. Este último tipo de interseção não causa problemas no cálculo de , já queD4 D5 não é nulo. As interseções verdadeiras, no entanto, causam problemas para o cálculo de.
O procedimento neste caso é modificar o contorno de Bromwich, gerando um pequeno desvio em torno das raízes da equação característica, na formav @ l.%h, com! variando
de @5 a @5, % 5 ?, % 4. O contorno resultante é mostrado na Figura 3.4(a). No mapeamento das componentes da equação característica aparecerão desvios idênticos em torno das interseções verdadeiras, como se verifica na Figura 3.4(b).
Figura 3.4- Mapeamento da equação característica no plano complexo segundo o contorno de Bromwich modificado.
Obtido o número de envolvimentos Q, calcula-se a quantidade de zeros da equação característica localizados no semiplano direito. Se ] @ 3, então o sistema é estável para aquela combinação deJ e . Pode-se assim determinar os limites de estabilidade do sistema, calculando o valor mínimo de para o qual o sistema é estável.
A análise feita vale para o ADV isolado do sistema primário. Para analisar a estabilidade do sistema combinado, toma-se o denominador da equação (3.10), que é o polinômio característico do sistema combinado, que será designado porF +v,, e pode-se então escrever:
F +v, @ D +v, . Jh3 rS +v, (3.16)
ondeD +v, @p2v2. f
2v . n2S +v,.p2v2+f2v . n2, corresponde ao polinômio característico
do sistema combinado sem o elemento ativo. Dividindo a equação (3.16) porS +v,, tem-se: F +v, @ F +v, S +v, @ D +v, S +v, Jh3 r (3.17)
A função D +v, @S +v, pode ser facilmente mapeada no plano complexo, segundo o contorno de Bromwich. Como já foi visto, Jh3 r gera uma circunferência de raio J.
Da mesma forma como foi feito para o ADV sozinho, tomam-se dois pontos D4 e D5 correspondentes nos gráficos de D +v, @S +v, e Jh3 r, e calcula-se o argumento do
número complexo D4 D5 para cada valor de v do contorno de Bromwich. O número Q de envolvimentos da origem pelo polinômio característico no sentido horário é igual ao número de incrementos de5 no valor de .
O número de polosS do polinômio característico no semiplano direito é também dado pelo número de zeros deS +v,, que é facilmente obtido. Assim, calculando ] pela equação (3.14), verifica-se a estabilidade do sistema combinado.
Olgac e Holm-Hansen (1995) propõe uma outra forma de analisar a estabilidade do sistema que torna mais simples a determinação dos limites de estabilidade do sistema. Sabe-se que a estabilidade do sistema acoplado deve ser assegurada enquanto o Ressonador Defasado isolado, sintonizado para a freqüência de excitação, é marginalmente estável (seus polos estão localizados sobre o eixo imaginário). A situação de estabilidade marginal do sistema acoplado é determinada a partir do cálculo de J e para os quais seus polos (raízes da equação característica do sistema acoplado (3.16)) estão localizados sobre o eixo imaginário. Desde queJ 5 ?n, escreve-se para o sistema acoplado:
JE7 @ mD +v,mmS +v,m (3.18)
e:
E7 @ 4 ^1D +v, . 1S +v, . +5 . 4, ` @ 3> 4> 5> === (3.19)
Observando a Figura 3.2 nota-se que quanto maior o valor do ganho J (J 5 ?n), mais
à direita se localizam as raízes da equação característica (3.4), e maior é a tendência do sistema ser instável. Deseja-se alocar os polos do Ressonador Defasado isolado sobre o eixo imaginário, garantindo que os polos do sistema acoplado se localizem no semiplano esquerdo. Assim, para que o sistema seja estável:
J ? JE7 (3.20)
Traçando para cada valor de , a curva de J versus que sintonizam o Ressonador Defasado isolado, e a curva que dá os valores de ganho e atraso para a situação de estabilidade marginal do sistema acoplado (JE7 , E7 ), mostradas na Figura 3.5, determina- se o valor crítico do atraso So e o respectivo valor crítico de freqüência So, para os quais
J @ JE7 . Para valores de ? So ( ? So), a equação (3.20) é satisfeita e o sistema
Figura 3.5- Curvas de J versus para o Ressonador Defasado isolado e para o sistema acoplado.