Roteiro Sylvester

As atividades hist´oricas

Na primeira quest˜ao, esper´avamos que os participantes elaborassem um resumo da pr´atica de Sylvester para classificar o tipo de contato (quando h´a) entre duas cˆonicas a fim de que eles retomassem e lembrassem de todas as etapas do procedimento. Quest˜ao 1.

Fa¸ca um resumo descrevendo como Sylvester classifica os tipos de contatos entre duas cˆonicas U e V .

Dentre os trˆes grupos, o grupo 1.2 apresentou um resumo completo da pr´atica de Sylvester:

Dadas as duas cˆonicas a serem estudadas, Sylvester monta o ele- mento U + λV e em seguida calcula o determinante |U + λV | = 0. Desse processo, resultam os lˆambdas que ser˜ao as ra´ızes de |U +λV | = 0. [. . . ] Sylvester baseou-se na multiplicidade alg´ebrica de cada uma das ra´ızes. [. . . ] Caso existam fatores comuns dife- rentes de 1, entre o determinante completo e os determinantes menores, os contatos ser˜ao diploidal (no caso de multiplicidade 2) ou confluente (em caso de multiplicidade 3); [. . . ] (Grupo 1.2)

O grupo 1.1 apresentou sua resposta apenas enumerando os tipos de contatos e indicando as condi¸c˜oes para que cada um ocorra. E o grupo 2.1 foi ainda mais

sucinto, descrevendo apenas o in´ıcio do processo com o estudo da multiplicidade das ra´ızes do determinante completo de U + λV .

Na segunda quest˜ao, introduzimos no¸c˜oes semelhantes as de objetos epistˆemicos e t´ecnicas epistˆemicas, denominando-os como objetos de investiga¸c˜ao e t´ecnicas. Indicamos a classifica¸c˜ao dos tipos de contatos entre duas cˆonicas como o objeto de investiga¸c˜ao de Sylvester (veja Se¸c˜ao 3.2.1) e pedimos que os participantes listassem as t´ecnicas empregadas.

Quest˜ao 2.

Sylvester utiliza v´arios conceitos/ferramentas matem´aticas na pr´atica elaborada por ele para resolver o problema da classifica¸c˜ao dos tipos de contatos entre duas cˆonicas. Para entender o papel de cada um deles na sua pesquisa, vamos identificar quais desempenham o papel de induzir novo conhecimento (objeto(s) de investiga¸c˜ao) e quais ajudam a fornecer as respostas do problema colocado (t´ecnicas).

O objeto de investiga¸c˜ao de Sylvester ´e: a classifica¸c˜ao dos tipos de contatos entre duas cˆonicas. Liste todos os conceitos/ferramentas matem´aticas que constituem as t´ecnicas utilizadas por Sylvester, de acordo com o texto.

Consideramos que as respostas dos trˆes grupos foram bem pr´oximas nesta quest˜ao. Todos mencionaram o emprego de determinantes e determinantes menores:

Conceito de determinantes, determinantes menores, no¸c˜oes de ge- ometria projetiva, geometria anal´ıtica. (Grupo 1.1)

Opera¸c˜oes com polinˆomios homogˆeneos, por exemplo o c´alculo de λV e propriamente o c´alculo de U +λV . C´alculo de determinantes. No¸c˜ao de multiplicidade das ra´ızes de um polinˆomio. Introdu¸c˜ao do conceito de Determinante Menor. (Grupo 1.2)

Equa¸c˜oes homogˆeneas. Determinantes completos e “menores”. Geometria projetiva e anal´ıtica. (Grupo 2.1)

O grupo 1.2 mostrou certa dificuldade em isolar as ferramentas, por exemplo: o grupo respondeu “c´alculo de determinantes”, ao inv´es de “determinantes”; “in- trodu¸c˜ao ao conceito de determinante menor”, ao inv´es de “determinante menor”. De qualquer forma, consideramos que esse grupo reconheceu os determinantes e os menores como t´ecnicas utilizadas por Sylvester.

Os grupos 1.1 e 2.1 mencionaram elementos considerados por n´os como perten- centes `a configura¸c˜ao epistˆemica de Sylvester, como por exemplo: no¸c˜oes de geome-

tria projetiva e geometria anal´ıtica. Como n˜ao introduzimos esse conceito para eles, ent˜ao “aceitamos” os elementos citados como parte das t´ecnicas. Por fim, os grupos n˜ao mencionaram as matrizes como uma t´ecnica nas respostas acima. A dificuldade de ver as matrizes como parte das t´ecnicas pode estar relacionada ao fato de que elas n˜ao foram utilizadas diretamente na resolu¸c˜ao do problema dos contatos. Para investigar se haviam pontos de contatos entre duas cˆonicas U e V , o ponto de partida de Sylvester era a equa¸c˜ao |U +λV | = 0, que envolvia o determinante completo. Nos casos de ra´ızes com multiplicidade alg´ebrica dupla ou tripla na equa¸c˜ao c´ubica ob- tida, os determinantes menores eram comparados com o determinante completo em busca de fatores comuns. Logo, os determinantes sobressaem dentre as ferramentas utilizadas. Al´em disso, representa¸c˜oes em forma de tabela eram pouco emprega- das por Sylvester no epis´odio considerado. Vale destacar que os participantes n˜ao tiveram acesso aos artigos de Sylvester, suas respostas basearam-se no resumo da pr´atica de Sylvester apresentado no roteiro que continha v´arias cita¸c˜oes dos artigos. Na terceira quest˜ao, esper´avamos que os participantes comparassem o modo como Sylvester empregava os determinantes, a partir de certas fun¸c˜oes (polinˆomios homogˆeneos, com o modo atual, em que determinantes s˜ao calculados a partir de matrizes quadradas. Esta quest˜ao teve como objetivo encorajar reflex˜oes sobre a primeira metarregra selecionada no discurso de Sylvester, segundo a qual, deter- minantes eram calculados a partir de polinˆomios homogˆeneos de grau 2, com a finalidade de investigar propriedades geom´etricas de curvas e superf´ıcies.

Quest˜ao 3.

Descreva a diferen¸ca entre como Sylvester utilizava determinantes neste epis´odio da pesquisa sobre matrizes e como n´os utilizamos nos dias de hoje. Veja o extrato IV.

O extrato IV foi indicado no enunciado porque trata-se de uma passagem em que Sylvester (1851b, p. 222) referiu-se ao determinante de uma fun¸c˜ao bin´aria - em termos atuais, uma forma bilinear - explicitando o objeto sobre o qual o determinante era calculado:

Extrato IV:

(. . . ) a teoria das fun¸c˜oes quadr´aticas mistura-se a uma teoria mais ampla de fun¸c˜oes bin´arias, consistindo da soma de m´ultiplos de produtos bin´arios formados por combinar cada um do conjunto de quantidades x, y e z . . . com cada um do mesmo n´umero de quantidades do conjunto x′

, y′ e z′ . . . Por exemplo, axx′ + bxy′ + cxz′ +a′ yx′ + b′ yy′ + c′ yz′ +a′′ zx′ + b′′ zy′ + c′′ zz′

seria uma fun¸c˜ao bin´aria e seu determinante (n˜ao mais, como em uma fun¸c˜ao quadr´atica, sim´etrico sobre dua diagonal) corresponderia `a matriz quadrada

a b c a′ b′ c′ a′′ b′′ c′′ .

(SYLVESTER, 1851a, p. 222, tradu¸c˜ao nossa)

Os polinˆomios homogˆeneos com trˆes vari´aveis e de grau 2, que representavam as cˆonicas na pr´atica de Sylvester, s˜ao fun¸c˜oes do tipo que Sylvester menciona no extrato acima.

O grupo 2.1 apresentou sua resposta comparando o objeto sobre o qual os de- terminantes eram calculados na pr´atica de Sylvester com o objeto sobre o qual essa ferramenta apoia-se nos dias de hoje: “No passado, Sylvester utilizava o conceito de determinantes para equa¸c˜oes bin´arias. Atualmente, utilizamos o conceito de de- terminantes sempre com uma rela¸c˜ao com o conceito de matrizes.” O grupo 1.1 apontou como diferen¸ca a ordem com a qual os conceitos de matriz e determinante s˜ao apresentados nos dias de hoje e a ordem com a qual esses conceitos surgiram: “Nos dias de hoje, constru´ımos o conceito de determinante a partir de matrizes, j´a Sylvester construiu o conceito de matrizes a partir de determinantes.” J´a o Grupo 1.2 mencionou o objeto sobre o qual os determinantes eram calculados baseando-se em um trecho do extrato IV, no qual Sylvester associa ao determinante de uma fun¸c˜ao bin´aria uma certa matriz quadrada (em termos atuais, a matriz canˆonica da forma bilinear):

Para Sylvester, o determinante era um ente proveniente de uma fun¸c˜ao bin´aria, e no fundo era o determinante que estava associado a uma matriz quadrada. J´a para n´os uma matriz ´e associada a um determinante, que por sua vez, ´e associado a um n´umero. (Grupo 1.2)

Apesar das diferen¸cas nas respostas dos trˆes grupos para a Quest˜ao 3, todas mencionam a primeira metarregra que identificamos no discurso de Sylvester, se- gundo a qual determinantes eram calculados a partir de certas fun¸c˜oes (polinˆomios homogˆeneos). Al´em disso, as respostas apontam para uma metarregra que governa o discurso da ´Algebra Linear, segundo a qual determinantes s˜ao vistos como propri- edades de matrizes.

A quarta quest˜ao foi proposta apenas com o intuito de que os alunos retomassem o conceito de determinante menor, conforme introduzido por Sylvester. Os parti- cipantes estavam familiarizados com o conceito de cofator, mas n˜ao haviam visto aplica¸c˜oes do conceito de menor de uma matriz.

Quest˜ao 4.

Explique o que ´e um primeiro determinante menor de acordo com a defini¸c˜ao apre- sentada por Sylvester no Extrato I. O que ´e um segundo determinante menor? E um

r-´esimo determinante menor?

Todos os grupos basearam sua resposta no extrato do artigo em que Sylvester introduziu os determinantes menores, inclu´ıdo no roteiro.

A quinta quest˜ao foi proposta para que os alunos discutissem o papel da no¸c˜ao de determinante menor na pr´atica desenvolvida por Sylvester. Nos dois casos de ocorrˆencia de raiz, do polinˆomio c´_{ubico |U + λV | = 0, com multiplicidade alg´ebrica} maior que 1, um crit´erio a mais foi necess´ario para decidir entre dois tipos de con- tatos associados a cada um desses casos. Assim, a no¸c˜ao de determinante menor desempenha um papel chave na pr´atica de Sylvester. Al´em disso, foi com o intuito de generalizar a t´ecnica de extra¸c˜ao de sistemas de determinantes menores, a qual foi baseada em uma tabela retangular, que Sylvester introduziu a no¸c˜ao de matriz (BRECHENMACHER, 2006b, p. 14).

Quest˜ao 5.

Por que Sylvester precisou introduzir os determinantes menores?

na classifica¸c˜ao dos tipos de contatos quando ocorriam ra´ızes com multiplicidade alg´ebrica maior que 1. Apresentamos a resposta mais elaborada:

Quando a multiplicidade de cada raiz do polinˆomio era igual a um, Sylvester concluiu que n˜ao havia contato entre as cˆonicas (o determinante D pode ser escrito como (λ − a)(λ − b)(λ − c)). Mas, quando uma raiz tem multiplicidade 2 ou 3, Sylvester precisava diferenciar os contatos simples e dipl´oide e o contato pr´oximo e confluente. Assim, ele introduziu os determinantes menores para gerar um outro crit´erio (a an´alise dos fatores comuns entre os determinantes menores) para a classifica¸c˜ao. (Grupo 1.2)

As quest˜oes 6 e 7 tiveram como objetivo encorajar reflex˜oes sobre a segunda metarregra selecionada no epis´odio de pesquisa de Sylvester, segundo a qual matri- zes eram usadas como uma representa¸c˜ao em forma de tabela, para a extra¸c˜ao de menores (matriz como m˜ae dos determinantes menores).

Quest˜ao 6. Baseando-se nos Extratos II, III, explique o que era uma matriz e qual o papel dessa no¸c˜ao para Sylvester.

Os Extratos II e III, indicados no enunciado, referem-se a trechos de artigos de Sylvester (1850b), Sylvester (1851c) em que ele descreve a no¸c˜ao de matriz.

Extrato II:

(. . . ) n´os devemos come¸car, n˜ao com um quadrado, mas com um arranjo retangular de termos consistindo, suponha, de m linhas e n colunas. Isso n˜ao representar´a em si mesmo um determinante, mas, uma Matriz da qual podemos formar v´arios sistemas de determinantes por fixar um n´umero p, e selecionar quaisquer p linhas e p colunas, os quadrados correspondendo ao que pode ser chamado de determinantes de p-´esima ordem. (SYLVESTER, 1850b, p. 150, tradu¸c˜ao nossa, grifo nosso)

Extrato III:

Eu defini, em um artigo anterior, uma “Matriz” como um arranjo retangular de termos, dos quais diferentes sistemas de determinantes podem ser gerados, a partir do ventre de uma m˜ae comum (. . . ) (SYLVESTER, 1851b, p. 247, tradu¸c˜ao nossa)

na descri¸c˜ao de Sylvester, e mencionaram o papel da matriz como uma fonte gera- dora de determinantes menores, por exemplo: “Para Sylvester matriz ´e um arranjo retangular, donde se ´e poss´ıvel formar v´arios sistemas de determinantes de uma mesma ordem.” (Grupo 1.1)

Quest˜ao 7.

Compare a defini¸c˜ao de matriz apresentada no Extrato II com a defini¸c˜ao atual. Aponte pelo menos uma semelhan¸ca e pelo menos uma diferen¸ca.

Todos os grupos apontaram como semelhan¸ca a defini¸c˜ao de matriz baseada na sua representa¸c˜ao, isto ´e, como um arranjo retangular de n´umeros. Sobre as di- feren¸cas observadas, a resposta do grupo 1.1 toca na rela¸c˜ao entre determinante e matriz para Sylvester: “A diferen¸ca ´e que Sylvester usou determinantes para cons- truir a ideia de matrizes. E n´os fazemos o oposto.” J´a a resposta do grupo 1.2 menciona novamente o papel das matrizes para Sylvester “[. . . ] para ele, matriz tamb´em designava um arranjo do qual se originavam diferentes sistemas de deter- minantes.”

O grupo 2.1 apresentou uma resposta curiosa sobre as diferen¸cas observadas: “A diferen¸ca ´e que hoje em dia somente conseguimos calcular determinantes [menores] de matrizes quadradas.” Ao serem questionados sobre essa resposta, os integrantes do grupo indicaram que estavam referindo-se aos determinantes menores. Durante as discuss˜oes sobre o Extrato II em que Sylvester introduz o termo matriz, eles estranharam a ideia de gerar determinantes menores a partir de uma matriz retangular. Isso porque eles estavam familiarizados com o conceito de cofator, que ´e usado no procedimento para calcular determinantes de matrizes quadradas de ordem maior que trˆes. Obter os cofatores de uma matriz passa pela determina¸c˜ao dos menores da matriz, no entanto, o procedimento aplica-se a uma matriz quadrada. O ´audio das discuss˜oes desse grupo confirma a explica¸c˜ao dada por eles.

Nas pr´oximas se¸c˜oes, examinamos as discuss˜oes dos participantes enquanto re- alizavam as atividades hist´oricas, com base nas transcri¸c˜oes dos ´audios, a fim de captar reflex˜oes sobre metarregras e a ocorrˆencia de conflitos comognitivos.

Reflex˜oes sobre metarregras no discurso de Sylvester

A primeira metarregra selecionada no discurso de Sylvester encerra a ideia de que determinantes s˜ao ferramentas usadas para investigar propriedades geom´etricas de curvas e superf´ıcies e s˜ao calculados a partir de fun¸c˜oes - polinˆomios homogˆeneos de grau 2. Ela foi explorada na Quest˜ao 3 das ati- vidades hist´oricas, que solicitava aos participantes descrever a diferen¸ca entre como Sylvester utilizava determinantes e como n´os utilizamos nos dias de hoje. Para de- senvolver a resposta, sugerimos que os participantes levassem em conta o Extrato IV, em que Sylvester explicita o objeto sobre o qual o determinante era calculado, qual seja, fun¸c˜oes bin´arias.

Todos os grupos discutiram intensamente sobre ideias relacionadas `a primeira metarregra, com mais ˆenfase no objeto em rela¸c˜ao ao qual os determinantes eram calculados no discurso de Sylvester (polinˆomios homogˆeneos), em compara¸c˜ao ao modo como os determinantes s˜ao calculados nos dias de hoje (a partir de matrizes quadradas). Para ilustrar, apresentamos alguns trechos de discuss˜oes durante a resolu¸c˜ao da Quest˜ao 3.

Yhedi: Ent˜ao, o determinante associado `a matriz. A gente que faz o contr´ario, a gente que associa matriz ao n´umero real que ´e o determinante.

Maria: Ah, t´a. Me perdi. [pausa]

Maria: A utiliza¸c˜ao nos dias de hoje ´e diferente. Porque hoje em dia, da matriz vocˆe chega em um determinante e com ele foi o contr´ario, do determinante, ele pediu para encontrar uma matriz e associar a esse determinante. E para ele esse determinante era determinante de uma fun¸c˜ao, hoje em dia determinante ´e de uma matriz. Vocˆe quer que eu escreva ou est´a bom?

(Grupo 1.2)

Matem´atico: Como ´e que ele utilizava determinante? Utilizava determinante pra relacionar com uma fun¸c˜ao.

Raelo: Fun¸c˜ao bin´aria no caso. Mas hoje em dia a gente faz o que? Hoje a gente aprende matriz . . .

Matem´atico: Mas o determinante est´a relacionado com a matriz. Raelo: Hoje em dia a gente sabe isso n˜ao ´e?

Darth: A diferen¸ca ´e que hoje a gente liga sempre determinante `a matriz.

M´ario: A gente usa determinante s´o para calcular equa¸c˜oes, siste- mas de equa¸c˜oes [lineares].

Darth: Isso. S´o matriz.

M´ario: Ou para saber se [a matriz] tem inversa ou n˜ao.

Darth: Ent˜ao, tudo ligado `a matriz. Ent˜ao, a gente usa determi- nante hoje em dia ligado `a matriz e ele n˜ao entendia assim, ele via a parte funcional do determinante.

(Grupo 1.1)

Nas falas acima, os participantes n˜ao especificaram que determinantes s˜ao cal- culados a partir de matrizes quadradas, mas percebemos que o foco da discuss˜ao estava na mudan¸ca do objeto sobre o qual determinantes eram calculados: de uma fun¸c˜ao bin´aria para uma matriz.

O grupo 1.2 mencionou ainda a invers˜ao na ordem de apresenta¸c˜ao das matrizes e determinantes, em rela¸c˜ao `a ordem com as quais surgiram. Nas falas do grupo 1.1, o participante Mario apresentou alguns exemplos de usos de determinante e obser- vou que sempre est˜ao ligados a matrizes. Levando em conta que esse grupo j´a havia conclu´ıdo dois cursos de ´Algebra Linear, achamos curioso que os exemplos apresen- tados por esse participante tenham sido tomados do conte´udo inicial do primeiro curso e do que se aprende no ensino b´asico.

A segunda metarregra selecionada por n´os diz respeito ao uso que Sylvester fazia de matriz como uma representa¸c˜ao em forma de tabela, a partir da qual sistemas de menores podem ser extra´ıdos. Essa regra tem sido enunciada na seguinte forma, mais concisa: matriz como m˜ae dos determinantes menores.

Apesar de todos os grupos terem apresentado respostas escritas para as Quest˜oes 6 e 7, os ´audios n˜ao revelaram muitas reflex˜oes sobre a segunda metarregra. Pelas falas nos ´audios, deduzimos que, ao final, os grupos 1.1 e 1.2 dividiram-se para escrever as ´ultimas quest˜oes. Apenas o grupo 2.1 apontou em suas discuss˜oes o papel das matrizes para Sylvester:

Raelo: A semelhan¸ca ´e que a gente ainda usa matrizes retangula- res.

Matem´atico: ´E, a semelhan¸ca ´e essa, que ´e um arranjo retangular igual o nosso.

Raelo: E a diferen¸ca agora? A diferen¸ca ´e que a gente n˜ao faz agora essa quest˜ao dos determinantes menores, a gente n˜ao faz isso, ou melhor a gente faz mais ou menos isso quando a gente calcula matriz dos cofatores, mas ´e bem diferente que a gente multiplica...

Matem´atico: Por menos um. A diferen¸ca . . . acho que ele enxerga determinante mesmo na matriz que n˜ao ´e quadrada.

Raelo: A gente s´o vˆe na matriz quadrada.

Matem´atico: Ele vˆe v´arios determinantes numa matriz quadrada. Raelo - A diferen¸ca que hoje em dia a gente s´o calcula com matriz quadrada.

(Grupo 2.1)

O di´alogo acima, que se passou enquanto o grupo fazia a Quest˜ao 7, esclarece a resposta apresentada para essa quest˜ao, apontando a diferen¸ca entre a defini¸c˜ao apresentada por Sylvester no Extrato II e a defini¸c˜ao atual: “hoje em dia somente conseguimos calcular determinantes [menores] de matrizes quadradas”. O extrato menciona, explicitamente, que v´arios sistemas de determinantes menores podem ser formados a partir de uma matriz retangular por fixar um n´umero p e selecionar quaisquer p linhas e p colunas. Os participantes Matem´atico e Raelo conectaram essa ideia com o procedimento de calcular cofatores de uma matriz, empregado para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem maior que 3.

Reflex˜oes sobre as pr´oprias metarregras

Buscamos encorajar reflex˜oes sobre as pr´oprias metarregras dos participantes solici- tando que eles comparassem o modo como Sylvester usou determinantes e o modo como usamos hoje, que apontassem semelhan¸cas e diferen¸cas entre a defini¸c˜ao de matriz apresentada por ele e a atual, bem como que discutissem o papel das matrizes no primeiro epis´odio estudado.

Nos di´alogos apresentados anteriormente, podemos encontrar v´arios ind´ıcios de que os participantes perceberam e discutiram sobre suas pr´oprias metarregras. Em v´arios momentos, todos os grupos discutiram sobre ideias relacionadas a uma me- tarregra que governa o discurso da ´Algebra Linear, segundo a qual determinantes s˜ao vistos como propriedades de matrizes quadradas. O di´alogo seguinte, que se passou enquanto o grupo 2.1 discutia a diferen¸ca entre o modo como Sylvester

utilizou determinantes e como n´os utilizamos nos dias de hoje (Quest˜ao 3), ilustra uma reflex˜ao sobre a metarregra em quest˜ao:

Matem´atico: Nos dias de hoje . . .

Raelo: Utilizamos o conceito de determinante . . . Matem´atico: Sempre ligado a uma matriz. [pausa]

Raelo: A gente n˜ao tem nenhum caso que a gente utilize determi- nante sem pensar em matriz?

Matem´atico: Quando vai resolver o sistema, mas a´ı . . . Raelo: Mas a gente constr´oi a matriz.

Matem´atico: N˜ao sei de nenhum caso. Raelo: Se tem sistema, faz a matriz. (Grupo 2.1)

Diante da pr´atica de Sylvester para resolver o problema dos contatos, em que determinantes s˜ao calculados a partir dos coeficientes de um polinˆomio homogˆeneo de grau 2 com trˆes vari´aveis, o participante Raelo questionou se, hoje, h´a alguma situa¸c˜ao em que o determinante seja calculado sem se basear em uma matriz. Temos