Transformações Lineares
Passo 3 Seja uma transformação linear tal que Seja
Então
Como G( ) F( ), para cada , resulta G F. Assim, F é única e o teorema está demons- trado.
5.14 Seja a transformação linear tal que F(1, 2) (2, 3) e F(0, 1) (1, 4). [Observe que {(1, 2),
(0, 1)} é uma base de , de modo que uma tal transformação linear F existe e é única, pelo Teorema 5.2.] Encontre uma fórmula para F, ou seja, obtenha F(a, b).
Escrevemos (a, b) como uma combinação linear de (1, 2) e (0, 1) usando incógnitas x e y.
, portanto, a x, b 2x y
Resolvemos x e y em termos de a e b, para obter x a, y –2a b. Então
5.15 Seja uma transformação linear que é injetora e sobre. Mostre que a aplicação inversa
também é linear.
Sejam . Como F é injetora e sobre, existem vetores únicos para os quais F( ) u e .
Como F é linear, também temos
e F(r ) rF( ) ru
Pela definição de aplicação inversa,
F–1(ru) r Então
e F–1(ru) r rF–1(u) Assim, é linear.
Núcleo e imagem de transformações lineares
5.16 Seja a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de F.
(a) Calculamos as imagens dos vetores da base canônica de .
Pela Proposição 5.4, os vetores imagem geram Im F. Logo, formamos a matriz cujas linhas são esses vetores ima- gem e a reduzimos à forma escalonada.
Assim, (1, 1, 1) e (0, 1, 2) formam uma base de Im F e, portanto, dim(Im F) 2. (b) Tomamos F( ) 0, com (x, y, z, t), ou seja, tomamos
Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema homogêneo cujo espaço solução é Nuc F.
As variáveis livres são z e t. Logo, dim(Nuc F) 2. (i) Tomando z –1, t 0 obtemos a solução (2, 1, –1, 0). (ii) Tomando z 0, t 1 obtemos a solução (1, 2, 0, 1). Assim, (2, 1, –1, 0) e (1, 2, 0, 1) formam uma base de Nuc F.
[Como era de se esperar, dim(Im F) dim(Nuc F) 2 2 4 , o domínio de F.]
5.17 Seja a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de G, (b) do núcleo de G.
(a) Calculamos as imagens dos vetores da base canônica de .
Pela Proposição 5.4, os vetores imagem geram Im G. Logo, formamos a matriz M cujas linhas são esses vetores imagem e a reduzimos à forma escalonada.
Assim, (1, 0, 1) e (0, 1, –1) formam uma base de Im G e, portanto, dim(Im G) 2. (b) Tomamos G( ) 0, com (x, y, z), ou seja, tomamos
Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema homogêneo cujo espaço solução é Nuc G.
A única variável livre é z. Logo, dim(Nuc G) 1. Tomando z 1, obtemos y –1 e x 3. Assim, (3, –1, 1) forma uma base de Nuc G. [Como era de se esperar, dim(Im G) dim(Nuc G) 2 1 3 , o domínio de G.]
5.18 Considere a transformação matricial , com . Encontre uma base e a
dimensão (a) da imagem de A, (b) do núcleo de A.
(a) O espaço coluna de A é igual a Im A. Logo, reduzimos à forma escalonada.
Assim, {(1, 1, 3), (0, 1, 2)} é uma base de Im A e, portanto, dim(Im A) 2.
(b) Sabemos que Nuc A é o espaço solução do sistema homogêneo AX 0, com X (x, y, z, t)T. Logo, reduzimos a matriz A de coeficientes à forma escalonada.
As variáveis livres são z e t. Logo, dim(Nuc A) 2. (i) Tomando z 1, t 0 obtemos a solução (1, –2, 1, 0). (ii) Tomando z 0, t 1 obtemos a solução (–7, 3, 0, 1). Assim, (1, –2, 1, 0) e (–7, 3, 0, 1) formam uma base de Nuc A.
5.19 Encontre uma transformação linear cuja imagem seja gerada por (1, 2, 0, –4) e (2, 0, –1, –3).
Formamos a matriz cujas colunas consistem somente nos vetores dados, digamos,
Como A determina uma transformação linear cuja imagem é gerada pelas colunas de A, vemos que a
transformação matricial A satisfaz o exigido.
5.20 Suponha que seja linear com núcleo W e que f( ) u. Mostre que a “classe lateral”
é a pré-imagem de u, ou seja,
Precisamos provar que (i) e (ii) .
Começamos com (i). Seja . Então , de modo que
Agora provamos (ii). Seja . Então , com . Como W é o núcleo de f, temos f(w) 0. Dessa forma,
Assim, e, portanto, .
Essas duas inclusões implicam .
5.21 Sejam lineares. Prove que
(a) pos pos , (b) pos pos
(a) Como , também temos e, portanto, . Então
pos pos .
(b) Temos . Logo,
pos pos
5.22 Demonstre o Teorema 5.3. Seja uma transformação linear. Então
(a) Im F é um subespaço de U, (b) Nuc F é um subespaço de V.
(a) Como F(0) 0, temos . Sejam, agora, . Como u e pertencem à imagem de
F, existem vetores tais que F( ) u e . Então
Assim, a imagem de F é um subespaço de U.
(b) Como F(0) 0, temos Nuc F. Sejam, agora, . Como e w pertencem ao núcleo de
F, F( ) 0 e F(w) 0. Assim,
e, portanto, Nuc F
Assim, o núcleo de F é um subespaço de V.
5.23 Demonstre o Teorema 5.6. Sejam V um espaço de dimensão finita e uma transformação linear.
Então
dim V dim(Nuc F) dim(Im F) nul(F) pos(F)
Suponha que dim(Nuc F) r, que {w1, ..., wr} seja uma base de Nuc F, que dim(Im F) s e que {u1, ..., us} seja uma base de Im F. (Pela Proposição 5.4, Im F tem dimensão finita.) Como cada , existem vetores 1, ..., s de V tais
que . Afirmamos que o conjunto
é uma base de V, ou seja, que (i) B gera V e (ii) B é linearmente independente. Uma vez demonstrados (i) e (ii), resulta que dim V r s dim(Nuc F) dim(Im F).
(i) B gera V. Seja . Então . Como os uj geram Im F, existem escalares a1, ..., as tais que
. Denotemos . Então
Assim, Nuc F. Como os Wi; geram Nuc F, existem escalares b1, ..., br tais que
Em vista disso,
(ii) B é linearmente independente. Suponha que
(1)
com . Então
(2)
Mas F(wi) 0, pois Nuc F, e F(j) uj. Substituindo em (2), obtemos . Como os uj
são linearmente independentes, cada yj 0. Substituindo em (1), obtemos . Como os wi
são linearmente independentes, cada xi 0. Assim, B é linearmente independente.
Transformações lineares singulares e não singulares, isomorfismos
5.24 Decida se a transformação linear dada é não singular. Se não for, encontre um vetor não nulo cuja imagem
seja 0.
(a) definida por .
(b) , definida por .
(a) Encontramos Nuc F tomando F( ) 0, com (x, y), obtendo
A única solução é x 0, y 0. Assim, F é não singular. (b) Tomamos G(x, y) (0, 0) para encontrar Nuc G.
O sistema tem soluções não nulas, porque y é uma variável livre. Logo, G é singular. Tomando y 1, obtemos a solução (2, 1), que é um vetor não nulo tal que G( ) 0.
5.25 A transformação linear definida por é não singular, segundo o
Problema 5.24 precedente. Encontre uma fórmula para .
Tomando F(x, y) (a, b), temos . Calculando,
Resolvendo x e y em termos de a e b, obtemos x 2a b, y a b. Assim,
(A segunda equação foi obtida substituindo a e b por x e y, respectivamente.)
5.26 Seja definida por .
(a) Mostre que G é não singular. (b) Encontre uma fórmula para .
(a) Tomamos G(x, y) (0, 0, 0) para encontrar Nuc G. Temos
A única solução é x 0, y 0, portanto, G é não singular.
(b) Embora G seja não singular, não é invertível, porque têm dimensões diferentes. (Assim, não podemos aplicar o Teorema 5.9.) Em vista disso, não existe .
5.27 Suponha que seja linear com V seja de dimensão finita. Mostre que V e a imagem de F têm a mesma dimensão se, e só se, F é não singular. Encontre todas as transformações lineares não singulares
.
Pelo Teorema 5.6, dim V dim(Im F) dim(Nuc F). Logo, V e Im F têm a mesma dimensão se, e somente se, dim(Nuc F) 0, ou Nuc F {0} (ou seja, se, e só se, F é não singular).
Como é menor do que , temos que dim(Im T) é menor do que a dimensão do domínio de T. Em vista
disso, nenhuma transformação linear pode ser não singular.
5.28 Demonstre o Teorema 5.7. Seja uma transformação linear não singular. Então a imagem de
qualquer conjunto linearmente independente é linearmente independente.
Suponha que 1, 2, ..., n sejam vetores linearmente independentes de V. Afirmamos que F(1), F( 2), ..., F( n) também
são linearmente independentes. Suponha que , com . Como F é linear,
. Logo,
Nuc F
Mas F é não singular, ou seja, Nuc F {0}. Logo, . Como os i são linearmente inde-
pendentes, todos os ai são nulos. Por isso, os F(i) são linearmente independentes. Assim, demonstramos o teorema.
5.29 Demonstre o Teorema 5.9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e suponha que dim V dim U.
Seja linear. Então F é um isomorfismo se, e só se, F é não singular.
Se F é um isomorfismo, então somente 0 é levado em 0, de modo que F é não singular. Reciprocamente, suponha que F seja não singular. Então dim(Nuc F) 0. Pelo Teorema 5.6, dim V dim(Nuc F) dim(Im F). Assim,
Como U tem dimensão finita, Im F U. Isso significa que F leva V sobre U. Assim, F é injetora e sobre, ou seja, um isomorfismo.
Operações com transformações lineares
5.30 Defina e por Encontre
fórmulas que definam as transformações (a) F G, (b) 3F, (c) 2F 5G.
5.31 Sejam e definidas por . Deduza
fórmulas que definam as transformações .
(a)
(b) A aplicação não está definida, porque a imagem de G não está contida no domínio de F.
5.32 Demonstre. (a) A transformação nula 0, definida por 0 , para cada , é o elemento nulo de
Hom(V, U). (b) O negativo de é a transformação (–1)F, ou seja, –F (–1)F.
Seja . Então, para cada ,
Como , para cada , temos F 0 F. Analogamente, 0 F F.
5.33 Suponha que F1, F2, ..., Fn sejam transformações lineares de V em U. Mostre que, dados escalares a1, a2, ...,
an quaisquer e um vetor qualquer,
A transformação a1F1 é definida por (a1F1)( ) a1F1( ). Logo, a afirmação é válida para n 1. Dessa forma, por in-
dução, obtemos
5.34 Considere as transformações lineares definidas por
Mostre que F, G, H são linearmente independentes [como elementos de ].
Dados escalares , suponha que
0 (1)
(Aqui, 0 é a transformação nula.) Para , temos 0(e1) (0, 0) e
Assim, por (1), (a 2b, a b c) (0, 0) e, portanto,
a 2b 0 e a b c 0 (2)
Analogamente, para , temos 0(e2) (0, 0) e
Assim,
a 2c 0 e a b 0 (3)
Usando (2) e (3), obtemos
a 0, b 0, c 0 (4)
Como (1) implica (4), as transformações F, G, H são linearmente independentes.
5.35 Seja k um escalar não nulo. Mostre que uma transformação linear T é singular se, e só se, kT é singular. Em
particular, T é singular se, e só se, –T é singular.
Suponha que T seja singular. Então T( ) 0, para algum vetor . Logo, (kT)( ) kT( ) k0 0 e, portanto, kT é singular.
Agora, suponha que kT seja singular. Então (kT)(w) 0, para algum vetor . Logo,
T(kw) kT(w) (kT)(w) 0
Mas, e implicam Assim, T é singular.
5.36 Encontre a dimensão d de
Usamos que dim[Hom(V, U)] mn se dim V m e dim U n.
(a) d 3(4) 12. (c) Como
5.37 Demonstre o Teorema 5.11. Se dim V m e dim U n, então dim[Hom(V, U)] mn.
Sejam { 1, ..., m} uma base de V e {u1, ..., un} uma base de U. Pelo Teorema 5.2, cada transformação linear de Hom(V,
U) fica univocamente determinada associando valores arbitrários de U aos elementos i da base de V. Definimos
como sendo a transformação linear dada por Fij( i) uj e Fij( k) 0, com . Ou seja, Fij leva i em uj e os demais
em 0. Observe que {Fij} contém exatamente mn elementos. Dessa forma, o teorema estará demonstrado se mostrarmos
que esse conjunto é uma base de Hom(V, U).
Demonstremos que{Fij} gera Hom(V, U). Considere uma transformação arbitrária. Sejam F( 1) w1,
F( 2) w2, ..., F( m) wm. Como , cada wk é uma combinação linear dos ui, digamos,
(1)
Considere a transformação linear . Como G é uma combinação linear dos Fij, a demonstração de
que {Fij} gera Hom(V, U) termina se mostrarmos que F G.
Para isso, calculamos G( k), para k 1, ..., m. Como Fij( k) 0, para , e Fki( k) ui, temos
Assim, por (1), G( k) wk, para cada k. Mas F( k) wk, para cada k. Em vista disso, pelo Teorema 5.2, F G. Assim,
{Fij} gera Hom(V, U).
Demonstremos que{Fij} é linearmente independente. Considere escalares tais que
0
Para cada k, com k 1, ..., m,
Mas os ui são linearmente independentes, portanto, para k 1, ..., m, temos . Em outras
palavras, todos os cij 0 e, portanto, {Fij} é linearmente independente.
5.38 Demonstre o Teorema 5.12.
(i) Dado qualquer,
Assim,
(ii) Dado qualquer,
Assim, .
(iii) Dado qualquer,
Por isso, . (Enfatizamos que a maneira de demonstrar que duas aplicações são iguais consiste em mostrar que cada uma delas associa a mesma imagem a cada ponto do domínio.)
Álgebra das transformações lineares
5.39 Sejam F e G os operadores lineares de definidos por F(x, y) (y, x) e G(x, y) (0, x). Encontre fórmulas
que definam os operadores dados.
(e) (Observe que F2 I, o operador identidade.)
(f) (Observe que G2
0, o operador nulo.)
5.40 Considere o operador T de definido por T(x, y, z) (2x, 4x y, 2x 3y z). (a) Mostre que T é inver-
tível. Encontre fórmula para
(a) Seja W Nuc T. Basta mostrar que T é não singular (ou seja, que W {0}.) Tomando T(x, y, z) (0, 0, 0),
obtemos
T(x, y, z) (2x, 4x y, 2x 3y z) (0, 0, 0)
Assim, W é o espaço solução do sistema homogêneo
2x 0, 4x y 0, 2x 3y z 0
cuja única solução é a trivial (0, 0, 0). Logo, W {0}. Assim, T é não singular e, portanto, invertível.
(b) Tomemos T(x, y, z) (r, s, t) [e, portanto, .] Temos
Resolvendo x, y, z em termos de r, s, t, obtemos . Assim,
(c) Aplicamos T duas vezes para obter
(d) Aplicamos duas vezes para obter
5.41 Sejam V um espaço de dimensão finita e T um operador linear de V para o qual TR I, para algum operador
linear R de V. (Dizemos que R é uma inversa à direita de T.) (a) Mostre que T é invertível. (b) Mostre que
(a) Seja dim V n. Pelo Teorema 5.14, T é invertível se, e só se, T é sobre, de modo que é invertível se, e só se,
pos(T) n. Temos pos pos pos . Logo, pos(T) n e T é invertível.
(b) . Então
(c) Seja V o espaço dos polinômios em t sobre K, digamos, do tipo . Sejam T e R
os operadores de V definidos por
Temos
e, portanto, TR I, o operador identidade. Por outro lado, se , então
Por isso, .
5.42 Sejam F e G operadores lineares de definidos por F(x, y) (0, x) e G(x, y) (x, 0). Mostre que (a) GF
0, o operador nulo, mas 0. (b) G2 G.
(a) . Como GF associa 0 (0, 0) a cada vetor (x,y) , é o operador
nulo, ou seja, GF 0.
Por outro lado, . Por exemplo, (FG)(2, 3) (0, 2). Assim,
0, pois não associa 0 (0, 0) a cada vetor de .
(b) Dado qualquer vetor (x, y) em , temos . Logo, G2 G.
5.43 Encontre as dimensões de .
Usamos que dim[A(V)] n2 se dim V n. Logo,
5.44 Seja E um operador linear de V para o qual E2 E. (Tais operadores são denominados idempotentes.) Sejam
U a imagem e W o núcleo de E. Prove as afirmações seguintes.
(a) Se , então E(u) u (ou seja, E é a transformação identidade em U). (b) Se , então E é singular (ou seja, E( ) 0, para algum ). (c)
(a) Se , então E( ) u para algum . Logo, usando E2 E, obtemos
(b) Se , então E( ) u, para algum , com . Por (a), E(u) u. Assim,
com (c) Mostremos que V U W. Seja . Tomemos u E( ) e w E( ). Então
Por definição, a imagem de E. Agora mostramos que , o núcleo de E, como segue.
Logo, . Assim, V U W.
Agora mostremos que Dado , temos E( ) pela parte (a), pois . Como
. Logo, E( ) 0 e, assim, As duas propriedades demonstradas implicam que
Problemas Complementares
Aplicações
5.45 Encontre o número de aplicações diferentes de (a) {1, 2} em {1, 2, 3}, (b) {1, 2, ..., r} em {1, 2, ..., s}.
5.46 Sejam e definidas por e . Encontre fórmulas que definam as
aplicações compostas
5.47 Para cada aplicação , encontre uma fórmula para a inversa.
5.48 Dada qualquer aplicação , mostre que .
Transformações lineares
5.49 Mostre que são lineares as aplicações dadas.
(a) definida por
(b) definida por , com a, b, c, d escalares reais.
5.50 Mostre que não são lineares as aplicações dadas.
(a) definida por .
(b) definida por .
(c) definida por .
(d) definida por .
5.51 Encontre F(a, b) se a transformação linear é definida por F(1, 2) (3, –1) e F(0, 1) (2, 1).
5.52 Encontre uma matriz A que leve
(a) e em e , respectivamente.
(b) e em e , respectivamente.
5.53 Encontre uma matriz singular B que leve em .
5.54 Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes reais quadradas de ordem n e seja M uma matriz não nula de V fixada.
Mostre que as duas primeiras aplicações dadas são lineares, mas não a terceira. (a) T(A) MA, (b) T(A) AM MA, (c) T(A) M A.
5.55 Dê um exemplo de uma aplicação não linear tal que mas F não é injetora.
5.56 Sejam definida por e S o círculo unitário de . (S consiste nos pontos
satisfazendo ) Encontre (a) a imagem F(S), (b) a pré-imagem
5.57 Considere a transformação linear definida por e a esfera uni-
tária S2 em , que consiste nos pontos satisfazendo Encontre
5.58 Seja H o plano x 2y 3z 4 de e seja G a transformação linear do Problema 5.57. Encontre
5.59 Seja W um subespaço de V. A aplicação inclusão é definida por i(w) w, para cada . Mostre que a
inclusão é linear.
Núcleo e imagem de transformações lineares
5.61 Para cada uma das transformações lineares F dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de F.
(a) definida por
(b) definida por
5.62 Para cada uma das transformações lineares G dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de G.
(a) definida por
(b) definida por
(c) definida por
5.63 Cada uma das matrizes seguintes determina uma transformação linear de em .
Encontre uma base, bem como a dimensão, do núcleo e da imagem de cada transformação linear.
5.64 Encontre uma transformação linear cuja imagem seja gerada por (1, 2, 3) e (4, 5, 6).
5.65 Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja gerado por (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1).
5.66 Seja V P10(t) o espaço vetorial dos polinômios de grau . Considere a transformação linear , onde D
4
denota a derivada quarta . Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de D4; (b) do núcleo de D4.
5.67 Suponha que seja linear. Mostre que (a) a imagem de qualquer subespaço de V é um subespaço de U; (b) a
pré-imagem de qualquer subespaço de U é um subespaço de V.
5.68 Mostre que, se é sobre, então Encontre todas as transformações lineares que
são sobre.
5.69 Considere a transformação nula 0 definida por 0( ) 0, para cada de V. Encontre o núcleo e a imagem de 0.
Operações com transformações lineares
5.70 Sejam e definidas por e . Encontre fórmu-
las que definam as transformações F G e 3F 2G.
5.71 Seja definida por . Usando as transformações lineares F e G do Problema 5.70, encontre fórmu-
las que definam as transformações
5.72 Mostre que as transformações lineares F, G, H dadas são linearmente independentes.
(a) definidas por .
(b) definidas por
5.73 Dadas , mostre que pos pos pos (Aqui, V tem dimensão finita.)
5.74 Sejam e lineares. Mostre que, se F e G são não singulares, então é não singular. Dê um
5.75 Encontre a dimensão d de
5.76 Decida se a transformação linear dada é não singular. Se não for, encontre um vetor não nulo cuja imagem seja 0; caso
contrário, encontre uma fórmula para a transformação inversa.
(a) definida por
(b) definida por
(c) definida por
5.77 Quando ocorre dim[Hom(V, U)] dim V?
Álgebra dos operadores lineares
5.78 Sejam F e G os operadores lineares de definidos por F(x, y) (x y, 0) e G(x, y) (–y, x). Encontre as fórmulas
que definem os operadores lineares (a) F G, (b) 5F 3G, (c) FG, (d) GF, (e) F2, (f) G2.
5.79 Mostre que cada operador linear T de dado é não singular e encontre uma fórmula para .
5.80 Mostre que cada um dos operadores lineares T de dados é não singular e encontre uma fórmula para .
5.81 Encontre a dimensão de A(V), nos casos
5.82 Quais dos inteiros dados pode ser a dimensão de uma álgebra A(V) de operadores? 5, 9,12, 25, 28, 36, 45, 64, 88, 100.
5.83 Seja T o operador linear de definido por . Encontre uma fórmula para f(T), nos casos
dados. .
Problemas variados
5.84 Sejam linear e k um escalar não nulo. Prove que as transformações F e kF têm o mesmo núcleo e a mesma
imagem.
5.85 Sejam F e G operadores lineares de V. Suponha que F seja não singular e que a dimensão de V seja finita. Mostre que
pos(FG) pos (GF) pos(G).
5.86 Sejam V um espaço de dimensão finita e T um operador linear de V tal que pos(T2) pos(T). Mostre que
Nuc T Im T {0}.
5.87 Suponha que . Sejam E1 e E2 os operadores lineares de V definidos por E1( ) u, E2( ) w, com
u w, , w W. Mostre que (ou seja, E1 e E2 são projeções); (b) E1 E2 I,
o operador identidade; (c) E1E2 0 e E2E1 0.
5.88 Sejam E1 e E2 operadores lineares de V quaisquer que satisfazem as condições (a), (b) e (c) do Problema 5.87. Prove que
5.89 Sejam e w elementos de um espaço vetorial real V. O segmento de reta L de a w é definido como o conjunto de
vetores tw, com . (Ver Figura 5-6.)
(a) Mostre que o segmento de reta L entre os vetores e u consiste nos pontos
(b) Seja linear. Mostre que a imagem F(L) de um segmento de reta L de V é um segmento de reta de U.
Figura 5-6
5.90 Seja linear e W um subespaço de V. A restrição de F a W é a aplicação definida por
, para cada de W. Prove que
(a) F|W é linear; (b) Nuc (F|W) (Nuc F) ; (c) Im (F|W) F(W).
5.91 Um subconjunto X de um espaço vetorial V é dito convexo se o segmento de reta entre dois pontos (vetores)
quaisquer estiver contido em X. (a) Mostre que a interseção de conjuntos convexos é um conjunto convexo; (b) Suponha
que seja linear e X convexo. Mostre que F(X) é convexo.
Respostas dos Problemas Complementares
5.45
5.46
5.47
5.49 com
5.50 (a) u (2, 2), r 3; então F(ru) (36, 36), mas rF(u) (12, 12); (b) ;
(c) u (1, 2), (3, 4); então F(u ) (24, 6), mas F(u) F( ) (14, 6); (d) u (1, 2, 3), r –2; então F(ru) (2, –10), mas rF(u) (–2, –10).
5.51
5.52 (a) ; (b) Não existe. (2, –4) e (–1, 2) são linearmente dependentes, mas (1, 1) e (1, 3) não são.
5.53 [Sugestão: levar em .]
5.55