Nesta se¸c˜ao estudaremos as folhea¸c˜oes em CP (n) com singularidades isoladas. Em particular, veremos que o espa¸co das folhea¸c˜oes emF(n, k) que possuem todas as singularidades n˜ao degen- eradas ´e um subconjunto aberto, denso e conexo deF(n, k). Al´em disto, calcularemos o n´umero de singularidades (contados com multiplicidade) de uma folhea¸c˜ao em F(n, k) que tem todas as singularidades isoladas.
Denotaremos porS(n, k) o espa¸co das folhea¸c˜oes de F ∈ F(n, k) que possuem todas as suas singularidades n˜ao degeneradas. Recordamos que uma singularidade p de um campo holomorfo
X, definido numa vizinhan¸ca de p ´e n˜ao degenerada se a derivada DX(p) ´e n˜ao singular. Um dos resultados centrais desta se¸c˜ao ´e o seguinte teorema:
Teorema 2.4.1. S(n, k) ´e aberto, denso e conexo em F(n, k). De fato, S(n, k) ´e um aberto de
Zariski.
Uma conseq¨uˆencia do resultado acima ´e o seguinte:
Corol´ario 2.4.2. O n´umero de singularidades de uma folhea¸c˜aoF ∈ S(n, k, ) ´e:
No resultado abaixo veremos que as singularidades n˜ao degeneradas ”dependem holomorfi- camente da folhea¸c˜ao”.
Proposi¸c˜ao 2.4.3. Sejam Fo ∈ F(n, k) e p ∈ sing(Fo), singularidade n˜ao degenerada de Fo.
Ent˜ao existem vizinhan¸cas U ∋ p, U ∋ Fo, e uma aplica¸c˜ao holomorfa φ :U → U, tal que:
(a) {φ(F)} = sing(F) ∩ U, ∀F ∈ U.
(b) φ(F) ´e singularidade n˜ao degenerada de F, ∀F ∈ U.
Demonstra¸c˜ao. Fixemos um sistema de coordenadas afim Cn ≃ E ⊂ CP (n), tal que p ∈ E ´e
a origem 0. Seja Xo = Po + go.R um campo de vetores polinomial que representaFo em E.
Cada folhea¸c˜ao F ∈ F(n, k) pode ser descrita em E por um campo polinomial X = P + g.R como na Proposi¸c˜ao 2.3.5. O conjunto F(n, k) pode ent˜ao ser parametrizado (em coordenadas homogˆeneas) por P e g, ou seja, pelos coeficientes de g e das componentes de P . Identificando
{(P, g); X = P + g.R} com CM, onde M = n.N (n, k) + N (n − 1, k), podemos definir uma
aplica¸c˜ao θ :CM × Cn→ Cn, por θ(P, g, x) = X(x), sendo X = P + g.R. Assim θ ´e holomorfa e al´em disto, θ(Po, go, 0) = 0. Por outro lado, a derivada parcial com respeito a x no ponto
(Po, go, 0) ´e dada por Dxθ(Po, go, 0) = DXo(0). Como 0 ´e singularidade simples de Xo, vemos
que Dxθ(Po, go, 0) ´e um isomorfismo. Decorre do Teorema das fun¸c˜oes impl´ıcitas que existem
vizinhan¸cas U de (Po, go) e U de 0, e uma fun¸c˜ao holomorfa φ : U → U, tal que
(i) φ(Po, go) = 0.
(ii) Se (P, g)∈ U e x ∈ U s˜ao tais que θ(P, g, x) = 0, ent˜ao x = φ(P, g). Em particular, φ(P, g) ´e a ´unica singularidade de X em U .
Por outro lado, diminuindo U e U se necess´ario, podemos supor que para todo (P, g, x) ∈
U × U, a derivada parcial Dxθ(P, g, x) = DX(x) ´e um isomorfismo. Em particular, obtemos que
DX(φ(P, g)) ´e isomorfismo se (P, g)∈ U. Isto prova a proposi¸c˜ao.
Corol´ario 2.4.4. Dada uma folhea¸c˜ao Fo ∈ S(n, k), com sing(Fo) ={po1, ..., por} onde poi ̸= poj
se i̸= j, existem vizinhan¸cas conexas U de F em F(n, k), U1, ..., Urde p1, ..., prrespectivamente,
duas a duas disjuntas, e aplica¸c˜oes holomorfas φj:U → Uj, j = 1, ..., r, tais que (a) φj(Fo) = poj
para todo j. (b) Para todo F ∈ U e todo j, φj(F) ´e a ´unica singularidade de F em Uj, sendo
esta n˜ao degenerada. (c) Para todo F ∈ U temos sing(F) = {φ1(F), ..., φr(F)}.
Em particular S(n, k) ´e aberto em F(n, k).
Demonstra¸c˜ao. A Proposi¸c˜ao 2.4.3 implica a existˆencia de U,U1, ..., Ur e φ1, ..., φr satisfazendo
(a) e (b). A propriedade (c) decorre do seguinte lema, cuja demonstra¸c˜ao deixamos como exerc´ıcio para o leitor:
Lema 2.4.5. Sejam Fo∈ F(n, k) e K ⊂ CP (n) um compacto tal que K ∩ sing(Fo) = ϕ. Ent˜ao
existe uma vizinhan¸caU de Fo em F(n, k) tal que para todo F ∈ U temos K ∩ sing(F) = ϕ.
Em seguida veremos queS(n, k) ´e n˜ao vazio, para n ≥ 2 e k ≥ 0.
Exemplo 2.4.6 (O exemplo de Jouanolou). Seja J (n, k) o campo de vetores polinomial dado
em Eo=Cn⊂ CP (n) por J (n, k) = n−1 ∑ j=1 (xkj+1− xjxk1) ∂ ∂xj + (1− xnxk1) ∂ ∂xn .
A folhea¸c˜ao em CP (n) gerada por J(n, k) ser´a denotada por J (n, k). Esta folhea¸c˜ao ser´a chamada de folhea¸c˜ao de Jouanolou de grau k em CP (n).
Algumas das propriedades das folhea¸c˜oes de Jouanolou s˜ao resumidas na proposi¸c˜ao a seguir.
Proposi¸c˜ao 2.4.7. Valem as seguintes propriedades:
(a) J (n, k) ∈ S(n, k). De fato, se k ≥ 2, ent˜ao todas as singularidades de J(n, k) s˜ao tais que
os quocientes de dois auto-valores distintos n˜ao s˜ao reais positivos.
(b) J (n, k) tem todas as suas singularidades em Eo. Estas s˜ao dadas nestas coordenadas afins
por: pj = (δj, (δj)f (n−1), ..., (δj)f (1)), j = 1, ..., N , onde: δ ´e uma ra´ız N -´esima primitiva da
unidade, sendo N = 1 + k + ... + kn, e f (m) =−(k + k2+ ... + km).
(c) Existe um subgrupo c´ıclico finito G ⊂ Aut(CP (n)), com N elementos, tal que cada ele-
mento T ∈ G permuta as singularidades de J (n, k) e deixa esta folhea¸c˜ao invariante, ou seja, T∗J (n, k) ≡ J (n, k).
Demonstra¸c˜ao. As singularidades do campo J (n, k) s˜ao dadas pelo sistema de equa¸c˜oes abaixo:
1− xnxk1 = 0, xkn− xn−1xk1 = 0, ..., xkj+1− xjxk1 = 0, ..., xk2− xk+11 = 0
o qual pode ser resolvido indutivamente como abaixo:
xn= x−k1 , xn−1= xknx−k1 = x−k−k 2 1 , ..., xn−j = x f (j+1) 1 , ..., x2 = x f (n−1) 1 , (x f (n−1) 1 ) k= xk 2 = xk+11 onde f (j) =−(k + k2+ ... + kj).
Da ´ultima equa¸c˜ao, obtemos xN1 = 1, logo x1 = δj, ´e uma das ra´ızes N-´esimas da unidade.
particular J (n, k) possui N singularidades em E0. Deixamos como exerc´ıcio para o leitor, a
prova de que J (n, k) possui apenas estas singularidades.
Consideremos agora a transforma¸c˜ao A∈ GL(n, C) definida em E por:
A(x1, ..., xn) = (α1.x1, ..., αn.xn) = (δ.x1, δf (n−1).x2, ..., δf (1).xn).
Note que, AN = I e Aj ̸= I se 0 < j < N. Em particular o grupo G = {Id, A, ..., AN−1} possui N elementos. Al´em disto, como ´e f´acil ver, Aj(1, ..., 1) = pj, o que prova que os elementos
de G permutam as singularidades de J (n, k). Por outro lado,
A∗(J (n, k)) = n−1 ∑ j=1 α−1j .[αkj+1.xkj+1− αjαk1.xjxk1]∂/∂xj + α−1n .[1− αn.α1k.xn.xk1]∂/∂xn = = δk.J (n, k),
ou seja, A∗(J (n, k)) = J (n, k), o que prova (c).
Tendo-se em vista (c), para provarmos (a), ´e suficiente demonstrar que a singularidade
p = (1, ..., 1) de J (n, k) ´e n˜ao degenerada. Calculando a matriz Jacobiana de DJ (n, k)(p), obtemos a matriz J abaixo:
J = −(k + 1) k 0 0 ... 0 0 −k −1 k 0 ... 0 0 . . . . ... . . . . . . ... . . . . . . ... . . −k 0 0 0 ... −1 k −k 0 0 0 ... 0 −1
cujos auto-valˆores s˜ao da forma λj = −1 + k.ωj, j = 1, ..., n, onde ω ´e uma raiz (n+1)-´esima
primitiva da unidade. Em particular, λj ̸= 0 para todo k ≥ 1 e todo n ≥ 2, ou seja J (n, k) ∈
S(n, k). Por outro lado, se k ≥ 2, ent˜ao λj est´a no c´ırculo de centro −1 e raio k, sendo que se
i̸= j, ent˜ao os argumentos de λi+ 1 e de λj+ 1 s˜ao diferentes. Isto implica que λλij ̸∈ R+.
Corol´ario 2.4.8. S(n, k) ´e n˜ao vazio para todo n ≥ 2 e todo k ≥ 0.
Prova do Teorema 2.4.1. Fixemos n≥ 2 e k ≥ 1 (o caso k=0 ´e imediato). Seja D = {(F, p) ∈ F(n, k) × CP (n); p ´e singularidade degenerada de F}.
A id´eia ´e provar queD ´e um subconjunto anal´ıtico de F(n, k) × CP (n) e em seguida utilizar o seguinte resultado:
Teorema 2.4.9 ([43]). Sejam M e N variedades complexas e f : M → N uma aplica¸c˜ao holo-
morfa pr´opria. Se V ´e subconjunto anal´ıtico de M , ent˜ao f (V ) ´e subconjunto anal´ıtico de N .
O resultado acima implica o Teorema 2.4.1. De fato, sejam π1:F(n, k) × CP (n) → F(n, k)
e D1 = π1(D). N˜ao ´e dif´ıcil ver que D1 = F(n, k) \ S(n, k). Portanto se D for subconjunto
anal´ıtico de F(n, k) × CP (n), ent˜ao S(n, k) ser´a um aberto de Zariski de F(n, k), j´a que π1 ´e
pr´opria. Por outro lado, a Proposi¸c˜ao 2.4.7 implica que S(n, k) ̸= ϕ, logo S(n, k) ser´a aberto, denso e conexo.
Provemos ent˜ao que D ´e subconjunto anal´ıtico. Fixemos (Fo, po) ∈ D. Podemos supor,
sem perda de generalidade, que po = 0 ∈ E0 ≃ Cn. Parametrizemos F(n, k) por (P, g), onde
uma folhea¸c˜ao F ∈ F(n, k) ´e representada em E0 por X = P + g.R. Uma singularidade
p ∈ E0 de F ´e degenerada se, e somente se Det(DX(p)) = 0. Consideremos ent˜ao a aplica¸c˜ao
Γ :CM × Cn→ Cn× C, definida por
Γ(P, g, x) = (X(x), Det(DX(x))),
onde X = P + g.R e (P, g) ∈ CM, como na Proposi¸c˜ao 2.4.3. Observe que Γ ´e um polinˆomio nas vari´aveis (P, g, x). Logo Γ−1(0) ´e um subconjunto anal´ıtico de CM × Cn. Isto implica que
D ∩ (F(n, k) × E0) ´e anal´ıtico. Portanto D ´e anal´ıtico, como quer´ıamos.
Prova do Corol´ario do Teorema 2.4.1. Para provar o Corol´ario basta agora observar que a aplica¸c˜ao # : S(n, k) → N, F 7→ # sing(F) ´e localmente constante, como conseq¨uˆencia do Corol´ario da Proposi¸c˜ao 1.3.10. Como S(n, k) ´e conexo, segue que esta aplica¸c˜ao ´e constante. Por outro lado, como vimos na Proposi¸c˜ao 2.4.7, o exemplo de Jouanolou possui N = kn+ ... + k + 1
singularidades.
Em seguida veremos uma generaliza¸c˜ao do Corol´ario do Teorema 2.4.1 para folhea¸c˜oes com singularidades isoladas.
Defini¸c˜ao 2.4.10. Seja X = ∑nj=1Xj∂/∂xj um campo de vetores holomorfo definido num
aberto U de Cn. Dada uma singularidade isolada p∈ U de X, o n´umero de Milnor, ou multi-
plicidade de X em p, ´e o inteiro
µ(X, p) = m(X, p, 0)
onde acima, m(X, p, 0) denota a multiplicidade de X = (X1, ..., Xn) em p, 0, pensado como
aplica¸c˜ao de U em Cn(veja a defini¸c˜ao 4 do§1).
Tendo-se em vista (b) e (c) do Lema 1.3.4, valem as seguintes propriedades: (I) Se f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em U que n˜ao se anula em p, ent˜ao µ(X, p) = µ(f.X, p). (II) Se φ : U → V ⊂ Cn ´e um biholomorfismo, ent˜ao µ(φ
⋆(X), φ(p)) = µ(X, p).
Lema 2.1.16. A afirma¸c˜ao (d) do Lema 2.1.16 implica: (III) µ(X, p) = 1 se, e somente se p ´
e singularidade n˜ao degenerada de X.
Levando-se em conta (I) e (II), o conceito se estende a singularidades isoladas de folhea¸c˜oes em variedades complexas, via cartas locais: se p ∈ M ´e uma singularidade isolada de uma fol- hea¸c˜aoF em M, tomamos um campo de vetores holomorfo X que represente F numa vizinhan¸ca
U de p, uma carta local φ em p e definimos µ(F, p) = µ(φ⋆(X), φ(p)).
Podemos ent˜ao enunciar o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 2.4.11. SejaF ∈ F(n, k), uma folhea¸c˜ao com singularidades isoladas. Ent˜ao
∑
p∈sing(F)
µ(F, p) = kn+ ... + 1.
Demonstra¸c˜ao. No caso em que F ∈ S(n, k), por (III), a f´ormula acima reduz-se ao Corol´ario
do Teorema 2.4.1. Vejamos o caso geral.
SejaFo∈ F(n, k) uma folhea¸c˜ao com singularidades isoladas, digamos sing(Fo) ={p1, ..., pr}.
Tomando um hiperplano H tal que pj ̸∈ H, para todo j = 1, ..., r, podemos obter uma carta
afim Cn ≃ E = CP (n) \ H, tal que {p1, ..., pr} ⊂ Cn. Seja Xo = Po + go.R um campo de
vetores polinomial que represente Fo em E. Fixemos bolas B1, ..., Br, Bj = B(pj, ρ), j = 1, ...r,
tais que Bi ∩ Bj = ϕ, se i ̸= j. Consideremos o compacto K = CP (n) \ ∪rj=1B(pj, ρ/2). Pelo
Lema 2.4.5, existe uma vizinhan¸ca U1 de Fo tal que seF ∈ U1 ent˜ao sing(F) ∩ K = ϕ, isto ´e,
sing(F) ⊂ ∪rj=1B(pj, ρ/2).
Observemos agora que a Proposi¸c˜ao 2.1.18 implica que existe uma vizinhan¸caU ⊂ U1 deFo,
tal que seF ∈ U, ent˜ao: ∑
p∈sing(F)∩Bj
µ(F, p) = µ(F, pj).
De fato, pela Proposi¸c˜ao 2.1.18, existe ϵ > 0 tal que se X = P +g.R satisfaz|| X −Xo||Bj< ϵ
para todo j = 1, ..., r, ent˜ao
∑
p∈sing(X)∩Bj
µ(X, p) = µ(Xo, pj).
Isto nos fornece a vizinhan¸ca U desejada. Finalmente, como S(n, k) ´e denso em F(n, k), tomamosF ∈ S(n, k) ∩ U, para a qual temos:
kn+ ... + 1 = ∑ p∈sing(F) µ(F, p) = r ∑ j=1 ( ∑ p∈sing(F)∩Bj µ(F, p)) = r ∑ j=1 µ(Fo, pj), como quer´ıamos.