Snarks de Loupekhine

No documento Publicações do PESC Coloração Total de Famílias de Snarks (páginas 51-63)

Ap´os a colora¸c˜ao total dos Snark-Flor e Goldberg verificamos que se uma fam´ılia possui uma constru¸c˜ao recursiva ´e pode ser que seja poss´ıvel colorir o primeiro snark

e usar a constru¸c˜ao do grafo para produzir a colora¸c˜ao total. Este ´e o caso dos snarks de Loupekhine coloridos a seguir.

A fam´ılia de snarks de Loupekhine foi descoberta por F. Loupekhine em 1976 [27]. Sejam LOi, i ´ımpar e i ≥ 3, os membros desta fam´ılia, a qual o grafo LOi possui

7i + 1 v´ertices.

Para a constru¸c˜ao desta fam´ılia, seja P o grafo de Petersen. Retire de P os trˆes v´ertices consecutivos, como mostra a Figura 3.17, obtendo o bloco Bi.

Figura 3.17: Bloco Bi.

O bloco Bi ´e formado pelo conjunto de v´ertices V (Bi) = {si, ti, ui, vi, xi, yi, zi} e

pelo conjunto de arestas E(Bi) = {uivi, vixi, xiyi, yiti, tizi, ziui, uisi, siyi}.

A Figura 3.18 mostra o grafo de liga¸c˜ao Li, i ´ımpar e i ≥ 5, obtido pelos blocos

Bi−1 e Bi, conectados pela aresta si−1si.

Figura 3.18: Grafo de liga¸c˜ao Li.

Considere o seguinte conjunto de arestas de liga¸c˜ao Ek,j = {tkzj, vkxj}. O pri-

meiro snark da fam´ılia Loupekhine, LO3, ´e definido pela uni˜ao de B1, B2 e B3,

atrav´es das arestas de liga¸c˜ao E1,2, E2,3 e E3,1, juntamente ao v´ertice fixo a e o

conjunto de arestas fixo s1a, s2a e s3a. Este grafo ´e mostrado na Figura 3.19.

Para cada i ´ımpar e i ≥ 5, o grafo LOi´e obtido a partir de LOi−2e Lida seguinte

forma: V (LOi) = V (LOi−2) ∪ V (Li) e E(LOi) = (E(LOi−2) − Eiout) ∪ E(Li) ∪ Eiin,

onde Eiout s˜ao dois conjuntos quaisquer de arestas de liga¸c˜ao de LOi−2 e Eiin s˜ao

Figura 3.19: Snark LO3.

Observe esta constru¸c˜ao na obten¸c˜ao do grafo LO5. Este snark ´e formado pelo

snark LO3 e o grafo de liga¸c˜ao L5.

Figura 3.20: Snark LO5.

V (LO5) = V (LO3) ∪ V (L5) e E(LO5) = (E(LO3) − E5out) ∪ E(L5) ∪ Eiin, onde

Eout

5 = E1,2∪ E3,1 e Eiin = E1,4∪ E4,2∪ E1,5∪ E3,5.

A escolha de Eout

i permite a constru¸c˜ao de snarks n˜ao isomorfos LOi, i ≥ 7. Veja

a Figura 3.21.

Teorema 19. Cada Snark de Loupekhine LOi, i ´ımpar e i ≥ 3, ´e tipo 1.

Prova. Na Figura 3.22 apresentamos o primeiro snark da fam´ılia, LO3, munido de

Figura 3.21: Snark LO7.

total fixa π. As cores das arestas dos snarks de Loupekhine se encontram no meio das respectivas arestas.

Note que o grafo LOi ´e constru´ıdo recursivamente a partir de LOi−2 e do grafo

de liga¸c˜ao Li. Construiremos a 4-colora¸c˜ao total πi da seguinte forma.

Para cada i ´ımpar e i ≥ 5, atribua a cada elemento de LOi − Eiin as cores

Figura 3.22: Snark LO3 com uma 4-colora¸c˜ao total π3.

Figura 3.23: Grafo de liga¸c˜ao Li com uma 4-colora¸c˜ao total π.

Atribua a cor 1 as arestas de Ein

i . N˜ao h´a conflito na colora¸c˜ao destas arestas,

pois constituem um conjunto independente.

Mostraremos agora que πi ´e uma 4-colora¸c˜ao total para LOi. A colora¸c˜ao πi−2´e

uma 4-colora¸c˜ao total de LOi−2 e π ´e uma 4-colora¸c˜ao total para o grafo de liga¸c˜ao

Li. A cor 1 n˜ao ocorre nos v´ertices extremos das arestas de Eiin, ou seja, estes

v´ertices n˜ao possuem a cor 1 e ainda suas arestas incidentes tamb´em possuem cor diferente da cor 1. Esta cor est´a livre nestes v´ertices por ser a cor atribu´ıda ao conjunto de arestas de Eout

i .

Al´em disso, os extremos das arestas pertencentes a Eiin possuem cores diferentes pela colora¸c˜ao de LO3 que ´e fixa e porque os seguintes v´ertices do grafo de liga¸c˜ao

possuem cores diferentes. S˜ao estes: xi−1e vi−1, zi−1e ti−1, ti e zi, vi e xi, pois j´a s˜ao

adjacentes em Li. Esta propriedade possibilita conectar em um mesmo grafo LOi,

os grafos de liga¸c˜ao Li e Li+1 consecutivamente. Isto ocorre porque esta colora¸c˜ao

possui algumas propriedades importantes; s˜ao estas: • todo v´ertice zj e xj ter˜ao a cor 2;

Logo, sempre ´e poss´ıvel ligar v´ertices zj com tk e xj com vk. Estas propriedades

s˜ao conservadas na hip´otese de indu¸c˜ao.

Para exemplificar a colora¸c˜ao, veja as Figuras 3.24 e 3.25, LO5 e LO7 munidos

com uma 4-colora¸c˜ao total cada, colora¸c˜ao esta obtida pelo processo acima citado.

Cap´ıtulo 4

Produto interno

O produto interno (dot product) ´e uma opera¸c˜ao que gera um novo snark a partir de dois snarks. Esta opera¸c˜ao foi introduzida pela primeira vez por R. Isaacs [26] e, independentemente, por Adelson e Titov [1]. A opera¸c˜ao ´e feita da forma a seguir.

Sejam G1 e G2 dois snarks. Remova duas arestas ab e cd n˜ao adjacentes do grafo

G1 e remova dois v´ertices adjacentes x, y do grafo G2. Sejam r e s os dois v´ertices

adjacentes a x em G2 e t e u os dois v´ertices adjacentes a y em G2. Adicione as

arestas: ar, bs, ct e du. Note que os v´ertices r, s, t, u s˜ao todos distintos entre si. A Figura 4.1 explicita o resultado.

Figura 4.1: Opera¸c˜ao produto interno de dois snarks G1 e G2.

Denota-se o produto interno dos snarks G1 e G2 por G1 · G2. Vale notar que

com o mesmo par de grafos snarks podemos formar diferentes snarks, de acordo com o conjunto de arestas e v´ertices removidos no processo. O n´umero de v´ertices

de G1 · G2 igual a n(G1) + n(G2) − 2. Observe ainda que o snark formado pelo

produto interno possui corte de arestas de tamanho 4 formado pelas arestas que fazem a liga¸c˜ao entre os snarks originais. Logo estes grafos s˜ao ciclicamente 4-aresta conexos.

Veja, na Figura 4.2, a constru¸c˜ao dos snarks de Blanusa, que s˜ao dois produtos internos P · P de dois grafos P de Petersen.

Figura 4.2: Grafos P2.

Na Figura 4.3 apresentamos os snarks de Blanusa resultantes. Estes snarks foram descobertos por D. Blanusa em 1946 [7]. Preissmann, em 1982 [32], mostrou que estes s˜ao os dois ´unicos snarks de ordem 18.

Primeiramente, apresentamos o Lema 20, tamb´em conhecido como Lema de Pa- ridade, de que foi utilizado por Isaacs para demonstrar o Teorema 21. A prova deste lema ser´a apresentada, pois serviu como base para os estudos sobre colora¸c˜ao total apresentados na pr´oxima se¸c˜ao.

Lema 20. (Isaacs, 1975) Seja G um grafo c´ubico com uma 3-colora¸c˜ao de arestas com cores 1, 2 e 3. Se um corte de arestas de tamanho k cont´em ki arestas de cor

ci, para i = 1, 2, 3. Ent˜ao,

Figura 4.3: Snarks de Blanusa.

Prova. A remo¸c˜ao das arestas do corte de tamanho k de G resulta em dois conjuntos disjuntos de v´ertices A e B, com A ∪ B = V (G), tal que cada aresta do corte possui um extremo em A e o outro em B.

Como G ´e c´ubico e 3-aresta color´ıvel, cada v´ertice de A ´e extremo de uma aresta colorida com a cor ci, i = 1, 2, 3. Os v´ertices de A s˜ao divididos pela cor i em dois

subconjuntos: um subconjunto ´e composto v´ertices extremos de arestas do corte com a cor ci; e outro subconjunto de pares de v´ertices que s˜ao extremos de uma

aresta colorida com a cor ci.

Ent˜ao o n´umero de v´ertices em A ´e igual ao n´umero de v´ertices extremos das arestas do corte que possuem a cor ci, mais um n´umero m´ultiplo de 2.

Logo, ki ´e congruente a |A| (mod 2).

O Teorema 21 estabelece que os grafos obtidos atrav´es do produto interno entre dois snarks s˜ao snarks.

Teorema 21. (Isaacs, 1975 [26]) Sejam G1 e G2 snarks. Ent˜ao, G1·G2´e snark.

4.1

O produto interno e a colora¸c˜ao total

Nesta se¸c˜ao faremos algumas considera¸c˜oes sobre propriedades de uma 4-colora¸c˜ao total de grafos c´ubicos de forma a contribuir para o estudo do n´umero crom´atico

total do produto interno dos grafos snarks.

Lema 22. Seja πi uma 4-colora¸c˜ao total do snark Gi, i = 1, 2. N˜ao ´e poss´ıvel

preservar a colora¸c˜ao πi, i = 1, 2 em G1· G2.

Prova. Sem perda de generalidade, considere π1 uma 4-colora¸c˜ao total de G1 onde

a aresta ab possui a cor 1, como mostra a Figura 4.4.

Figura 4.4: Colora¸c˜ao total no produto interno.

Ao fazermos o produto G1 · G2, a ´unica cor livre nos v´ertices a e b ´e a cor 1.

Logo ar e bs recebem a cor 1. Assim, a cor 1 deve estar livre nos v´ertices r, s e isto implica que as arestas xr e xs em π2 tˆem ambas a cor 1. Mas isto n˜ao ´e poss´ıvel

uma vez que xr e xs s˜ao adjacentes em G2.

Lema 23. Seja G um grafo c´ubico com uma 4-colora¸c˜ao total. Ent˜ao o n´umero de v´ertices que possuem a cor ci, i = 1, 2, 3, 4 ´e par.

Prova. Seja G c´ubico com uma 4-colora¸c˜ao total. Ent˜ao, cada v´ertice possui a cor ci representada, isto ´e, ou no pr´oprio v´ertice; ou em alguma de suas arestas

incidentes (a cor ci ocorre em cada v´ertice). Logo, podemos particionar o conjunto

de v´ertices de G da forma a seguir:

V (G) = V1∪ V2,

onde V1 ´e o conjunto de v´ertices de G que s˜ao extremos de arestas coloridas com a

conjuntos disjuntos. O tamanho do conjunto V1 ´e par, pois cada aresta contribui

com dois v´ertices e V (G) ´e par, pois G ´e c´ubico. Logo, V2 ´e par.

Corol´ario 24. Seja G um grafo c´ubico com uma 4-colora¸c˜ao total. Seja [A, B] um corte de arestas de tamanho 4. O n´umero de v´ertices de A (resp. B) que possui a cor ci ´e par (resp. ´ımpar) se, e somente se, o n´umero de arestas do corte com a cor

ci ´e par (resp. ´ımpar).

Prova. Como G ´e c´ubico, V (G) ´e par. Sem perda de generalidade, analisaremos o conjunto A. Este conjunto possui quatro v´ertices de grau 2 e os demais de grau 3. Como o n´umero de v´ertices de grau ´ımpar ´e par, A possui um n´umero par de v´ertices. Particionando o conjunto A em trˆes conjuntos, temos

A = A1∪ A2 ∪ A3,

onde A1 ´e o conjunto dos v´ertices que s˜ao extremos de arestas que n˜ao est˜ao no

corte e possuem a cor ci; A2 ´e o conjunto dos v´ertices que possuem a cor ci; e A3 ´e

o conjunto dos v´ertices que s˜ao extremos das arestas do corte que possuem a cor ci.

Como A e A1 s˜ao conjuntos com um n´umero par de v´ertices, conclui-se que A2∪ A3

´e par.

Assim, A2 ´e par (resp. ´ımpar) se, e somente se, A3 ´e par (resp. ´ımpar).

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