PROBLEMA: Dada a equação diferencial a seguir, obter a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero. Utilize a transformada de Laplace.
SOLUÇÃO: Substitua a F(s) correspondente a cada termo na Eq. (2.14) utilizando o Item 2 da Tabela 2.1, os Itens 7 e 8 da
Tabela 2.2 e as condições iniciais de y(t) e de dy(t)/dt, dadas por y(0−) = 0 e (0−) = 0, respectivamente. Assim, a transformada de Laplace da Eq. (2.14) é
Resolvendo para a resposta, Y(s), resulta
Para resolver para y(t), observamos que a Eq. (2.16) não corresponde a nenhum dos termos da Tabela 2.1. Assim, realizamos a expansão em frações parciais do termo do lado direito da equação e fazemos a correspondência de cada um dos termos resultantes com as funções F(s) da Tabela 2.1. Assim,
Portanto,
Como cada uma das três partes constituintes da Eq. (2.19) é representada como uma função F(s) na Tabela 2.1, y(t) é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada termo. Consequentemente,
Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem, agora, executar os arquivos ch2p1 até ch2p8 do Apêndice B. Este é o seu primeiro exercício de MATLAB. Você aprenderá como utilizar o MATLAB para (1) representar polinômios, (2) obter as raízes de polinômios, (3) multiplicar polinômios e (4) obter expansões em frações parciais. Finalmente, o Exemplo 2.3 será resolvido utilizando o MATLAB.
A função u(t) na Eq. (2.20) mostra que a resposta é igual a zero até t = 0. A menos que seja especificado de forma diferente, todas as entradas dos sistemas neste texto não começarão antes de t = 0. Assim, as respostas de saída também serão iguais a zero antes de t = 0. Por conveniência, vamos omitir a notação u(t) a partir de agora. Portanto, escrevemos a resposta de saída como
Caso 2. As Raízes do Denominador de F(s) São Reais e Repetidas Um exemplo
de uma função F(s) com raízes reais e repetidas no denominador é
As raízes de (s + 2)2 no denominador são repetidas, uma vez que este fator está elevado a uma potência inteira maior que 1. Nesse caso a raiz do denominador em −2 é uma raiz múltipla de
multiplicidade 2.
Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência linear invariante no tempo (LTI – linear time-invariant) da Eq. (2.22).
F=zpk[],[−1 −2 −2],2)
Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos, em que cada fator do denominador forma o denominador de cada termo. Além disso, cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores do denominador de multiplicidade reduzida. Por exemplo, se
então K1 = 2, o que pode ser obtido conforme descrito anteriormente. K2 pode ser isolado multiplicando-se a Eq. (2.23) por (s + 2)2, resultando
Fazendo s tender a −2, K2 = −2. Para obter K3 observamos que se derivarmos a Eq. (2.24) em relação a s,
K3 é isolado e pode ser obtido se fizermos s tender a −2. Consequentemente, K3 = −2.
Cada termo constituinte da Eq. (2.23) é uma função F(s) na Tabela 2.1; logo, f(t) é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada um dos termos, ou
Experimente 2.2 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudá-lo a obter a Eq. (2.26).
numf=2;
denf=poly([−1 −2 −2]); [r,p,k]=residue...
(numf,denf)
Se a raiz do denominador fosse de multiplicidade maior que 2, derivações sucessivas isolariam cada resíduo na expansão da raiz múltipla.
Assim, em geral, dada uma F(s) cujo denominador tenha raízes reais e repetidas, uma expansão em frações parciais,
pode ser realizada se a ordem de N(s) for menor do que a ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em −p1. Para obter K1 até Kr para as raízes com multiplicidade maior
que a unidade, multiplica-se, inicialmente, a Eq. (2.27) por (s + p1)r, obtendo-se F1(s), que é
Imediatamente, podemos determinar K1 fazendo s tender a −p1. Podemos determinar K2 derivando a Eq. (2.28) em relação a s e, em seguida, fazendo s tender a −p1. Derivações sucessivas permitirão que determinemos K3 até Kr. A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é
Caso 3. As Raízes no Denominador de F(s) São Complexas ou Imaginárias Um
exemplo de F(s) com raízes complexas no denominador é
Experimente 2.3
Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência LTI da Eq. (2.30).
F=tf([3],[1 2 5 0])
K1 é obtida da forma usual como , K2 e K3 podem ser determinadas multiplicando-se inicialmente a Eq. (2.31) pelo mínimo múltiplo comum do denominador, s(s2 + 2s + 5), e cancelando-se os termos comuns das frações. Após a simplificação com K1 = , obtemos
Igualando os coeficientes, temos (K2 + = ) = 0 e (K3 + ) = 0. Assim, K2 = − e −K3 = . Portanto,
Pode-se mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno amortecidos exponencialmente. Utilizando o Item 7 da Tabela 2.1 e os Itens 2 e 4 da
Tabela 2.2, obtemos
Analogamente,
Somando as Eqs. (2.34) e (2.35), obtemos
Agora convertemos o último termo da Eq. (2.33) para a forma sugerida pela Eq. (2.36), completando os quadrados no denominador e ajustando os termos do numerador sem alterar seu valor. Assim,
Comparando a Eq. (2.37) com as funções da Tabela 2.1 e a Eq. (2.36), encontramos
Experimente 2.4
syms s
f=ilaplace...
(3/(s*(s^2+2*s+5))); pretty(f)
Para se visualizar a solução, uma forma alternativa de f(t), obtida por identidades trigonométricas, é preferível. Utilizando as amplitudes dos termos em cos e sen, colocamos em evidência a partir do termo entre parênteses e obtemos
ou
em que = arctan 0,5 = 26,57°. Assim, f(t) é igual a uma constante somada a uma senoide amortecida exponencialmente.
Assim, em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possua raízes complexas ou puramente imaginárias, uma expansão em frações parciais,
pode ser realizada se a ordem de N(s) for menor que a ordem de D(s), p1 for real e (s2 + as + b) tiver raízes complexas ou puramente imaginárias. As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos (K2s + K3) no numerador, em vez de simplesmente K1, como no caso de raízes reais. Os Ki na Eq. (2.42) são obtidos igualando-se os coeficientes da equação depois da
simplificação das frações. Depois de se completar os quadrados em (s2 + as + b) e se ajustar o numerador, (K2s + K3)/(s2 + as + b) pode ser colocada na forma do lado direito da Eq. (2.36).
Finalmente, ocorrerá o caso de raízes puramente imaginárias se a = 0 na Eq. (2.42). Os cálculos são os mesmos.
Outro método que segue a técnica utilizada para a expansão em frações parciais de F(s) com raízes reais no denominador pode ser utilizado para raízes complexas e imaginárias. Entretanto, os
resíduos das raízes complexas e imaginárias são conjugados complexos. Então, após a obtenção da transformada inversa de Laplace, os termos resultantes podem ser identificados como
e
Por exemplo, a função F(s) anterior também pode ser expandida em frações parciais como
Encontrando K2,
Experimente 2.5 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudá-lo a obter a Eq. (2.47).
numf=3;
denf=[1 2 5 0]); [r,p,k]=residue...
(numf,denf)
De modo análogo, K3 é obtida como o conjugado complexo de K2, e K1 é determinada conforme descrito anteriormente. Assim,
de que
em que = arctan 0,5 = 26,57°.
Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar os arquivos ch2sp1 e ch2sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora. Você aprenderá como construir objetos simbólicos e, em seguida, obter as transformadas inversas de Laplace e as transformadas de Laplace de funções no domínio da frequência e no domínio do tempo, respectivamente. Os exemplos do Caso 2 e do Caso 3 desta seção serão resolvidos utilizando a Symbolic Math Toolbox.
Exercício 2.1
PROBLEMA: Obtenha a transformada de Laplace de f(t) = te–5 t.
RESPOSTA: F(s) = 1/(s + 5)2
A solução completa está no site da LTC Editora.
Exercício 2.2
PROBLEMA: Obtenha a transformada de Laplace inversa de F(s) = 10/[s(s + 2)(s + 3)2].
RESPOSTA:
A solução completa está no site da LTC Editora.