Tarefa 2 – O centro da mó do moinho

Nesta tarefa, intitulada O centro da mó do moinho, as variáveis didáticas estão relacionadas com a propriedade de mediatriz de uma corda. Espera-se com esta tarefa que os alunos consigam estabelecer relações com conceitos estudados em aulas anteriores, fazendo uso destes. Na figura está a representação de uma mó em que é necessário descobrir se o furo desta se encontra no seu centro. Na concretização desta tarefa previa-se que os alunos poderiam ter dificuldades na decisão de uma estratégia, na aplicação de conceitos e na conclusão da resolução. Apresenta-se, abaixo, o enunciado da tarefa (Figura 10).

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Logo após a apresentação da atividade a desenvolver, os alunos começam a resolver a tarefa. De referir que nesta aula os alunos estavam divididos em três grupos (GI, GII e GIII).

Para darem início à atividade, todos os grupos começam a ler o enunciado procurando depois uma solução para este. Contudo, não estabelecem uma estratégia, começando de forma intuitiva a encontrar o centro. Exemplo disso é a transcrição do diálogo do grupo GII.

Pedro: Não importa que seja no centro, o que importa é traçar uma mediatriz. Ou…não não, não traceis esta linha…depois vai ficar uma confusão. Deixai-me pensar um bocado.

Santiago: Assim não dá? Por exemplo. Calcar aqui e medir daqui aqui. Pedro: Não Santiago não é para fazeres assim.

Luís: Porquê?

Pedro: Porque assim não mostra nada. Tem de fazer isto com desenhos. Triângulos e circunferências. Não é assim.

Santiago: Daqui aqui e medes. Daqui aqui e medes.

Pedro: Santiago! Santiago, não é assim que se faz. Podes fazer assim mas isso não tem maneira de ser, não tem qualquer matéria. Isto é para fazeres com matéria. E tens de utilizar material de desenho.

Santiago: Acho que o furo não está no centro. Pedro: Não está…Mas…

Após este tipo de discussão, idêntica nos diferentes grupos, seguiram-se caminhos diferentes na resolução da tarefa, pelo que de seguida serão apresentadas e discutidas as resoluções apresentadas por cada grupo.

O grupo GI apresenta como solução do problema a seguinte resolução (Figura 11).

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Este grupo começa por traçar cordas na circunferência por forma a estas perfazerem um polígono convexo. Ao observar o trabalho desenvolvido pelos alunos e por forma a perceber o raciocínio destes a professora pergunta-lhes o porquê da decisão de traçarem um polígono com quatro lados, recebendo como resposta estamos a experimentar por parte da aluna Marta. Sem querer se interpor na atividade a ser realizada, por forma a não influenciar possíveis decisões no grupo, a Professora continua a circular pelos outros grupos. Contudo mantém-se um diálogo entre os alunos.

Nuno: Isto não deve tar bem.

Marta: Pois. Mas não temos mais nenhuma ideia.

Bruna: Isto deve ir dar a algum lado. Tentamos. Se não der certo, apagamos. Nuno: Depois de fazeres o quadrado o que fizeste?

Marta: Fiz as bissetrizes das retas. (…)

Clara: Cruzaram-se aqui neste ponto. Carolina: O meu ponto dá mais abaixo. Clara: Não pode, fizeste isso mal.

Nuno: Pode, pode. O quadrado da Carolina é diferente do teu. As bissetrizes vão ser diferentes.

Carolina: Tá bem. (…)

Bruna: Marta, agora fazemos um círculo com o compasso daqui onde elas se cruzam até aqui, olha. Dá desviado.

Marta: Não é assim tanto.

Bruna: Mas não bate certinho, certinho. A nossa tentativa deu bem.

Com a resolução apresentada e o diálogo ocorrido verifica-se que os alunos recorrem por fim a uma estratégia do tipo tentativa e erro. Nota-se ainda que os alunos traçam mediatrizes chamando-lhes bissetrizes, sendo este um erro que cometem várias vezes, assim como referirem retas em vez de segmentos de reta.

Apesar da resposta final apresentada pelo grupo estar correta, o furo da mó não está no centro porque está desviado, a sua resolução está parcialmente correta, pois deveriam os alunos determinar também através do traçar de mediatrizes o centro da circunferência que representa o furo da mó. Ou seja, a circunferência traçada com centro no ponto resultante da interseção das mediatrizes, poderia apresentar apenas um ligeiro desvio levando os alunos a concluir que estava no centro e a hesitarem, o que em certa parte acontece com a Marta (final do diálogo). Outra vertente a assinalar é o facto de os alunos não fazerem uma análise final à resolução que apresentam, ou seja, assumem que todo o processo seguido foi bem realizado.

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Figura 12 – Resolução do problema apresentada pelo grupo GII

Os alunos deste grupo, após alguma discussão em que idealizam que o furo não está no centro, começam a resolver a tarefa.

Pedro: Já sei como isto se faz. Primeiro vamos achar o centro do círculo pequeno, ou seja, do buraco. Com uma mediatriz.

(…)

Pedro: Já sabemos o centro total da circunferência. É este. Agora para isto estar 100% no centro, supostamente terá de ao fazermos a mediatriz, os pontos terão de passar aonde? Terão de passar naquilo. É tipo usar o centro do triângulo.

Rui: Santiago é qualquer medida não é?

Rui: Pedro, é qualquer medida não é? A medida do lado? Pedro: Superior à metade. Sim é assim.

Rui: Não, não é isso. Aqui, pôr aonde? Pôr em qualquer sítio? Pedro: Oh Rui, não sabes sacar a mediatriz de uma reta? (…)

Pedro: Agora chego aqui, faço outras mediatrizes, e se bater certo com aquela já está. Se passar ali no centro, a interação das duas é porque está certo. Se não bater é porque não está.

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Tendo em conta a resolução apresentada pelo grupo GII e o diálogo ocorrido, verifica-se

que os alunos recorrem a tentativas optando por traçar as mediatrizes recorrendo a cordas da circunferência. Contudo, como se pode observar, os alunos não traçam essas cordas, o que se torna errado visto não apresentarem desta forma uma construção rigorosa. Após traçarem as mediatrizes concluem que estas se intersetam num ponto que designam cg. Para descobrirem o centro do furo, os alunos traçam as mediatrizes utilizando como cordas os segmentos de reta resultantes das mediatrizes anteriores (mediatrizes para determinarem o centro cg), descobrindo assim o centro do furo que designam cp.

É de referir que os alunos não analisam a solução encontrada nem o processo seguido, limitando-se a aceitar que a tentativa pela qual optaram está correta, bem como não apresentam uma resposta ao problema. Salienta-se no diálogo o facto de os alunos não utilizarem uma linguagem matemática correta (pronunciam sacar em vez de traçar) e, ainda, de intuitivamente recorrerem a conceitos estudados em aulas anteriores (É tipo usar o centro do triângulo).

Conclui-se assim que os alunos apresentam uma resolução parcialmente correta ao problema, pois existe falta de rigor na sua construção, não ressaltando dificuldades de maior.

A próxima resolução (Figura 13), exposta pelo grupo GIII, apresenta a resposta correta ao

problema.

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Este grupo, após ultrapassar um momento inicial de controvérsia em torno de como resolver o problema, recorda os conteúdos matemáticos estudados em aulas anteriores (teríamos de desenhar um triângulo em que os vértices fizessem parte da circunferência), fazendo a ligação desses conceitos com esta tarefa. Vejamos a resposta que complementa a construção acima apresentada (Figura 14).

Figura 14 – Resposta apresentada pelo grupo GIII.

Verifica-se, portanto, que o grupo GIII delineou uma estratégia adequada e concretizou-a

de forma correta, dominando os conceitos e a linguagem matemática, não apresentando dificuldades na resolução do problema.