2.9 – TIPOS DE PLANEJAMENTOS 2.9.1 – Planejamento fatorial

O planejamento fatorial é utilizado quando se quer verificar o efeito de duas ou mais variáveis. As variáveis são escolhidas e os experimentos são realizados em diferentes valores destes fatores para todas as possíveis dos níveis de cada variável selecionada. Diz-se que há interação dessas variáveis quando o efeito de uma variável depende do nível das outras variáveis.

O planejamento fatorial pode ser representado por bα (α é o número de fatores e b é o número de níveis) quando se estuda o mesmo número de níveis para todos os fatores. Em geral, os planejamentos fatoriais deste tipo são os mais comuns, apresentando como vantagem a realização de poucos ensaios. Com um número reduzido de níveis não é possível explorar de maneira completa uma grande região no espaço das variáveis. Entretanto, observam-se tendências importantes para realização de investigações posteriores.

Outros planejamentos fatoriais podem ser, por exemplo, 21 x 32 x 53, onde, 2, 3 e 5 são níveis para as variáveis 1, 2, 3, respectivamente. Nos planejamentos em que as variáveis são exploradas em dois níveis é comum codificá-los usando os sinais (+) e (-). A atribuição destes sinais é feita arbitrariamente, não interferindo na realização dos experimentos ou interpretação dos resultados, além de permitir ilustrar o planejamento sob a forma de matrizes de planejamento.

2.9.2 – Planejamento de misturas

Nos planejamentos anteriores, se as variáveis independentes fossem alteradas, esperar-se-ia uma mudança na variável resposta. No caso de misturas, qualquer variação que haja nos componentes, espera-se uma variação proporcional na resposta. Ou seja, se for duplicada a quantidade de todos os componentes da mistura, será também duplicada a mistura. As proporções dos diversos componentes de uma mistura não são independentes. Elas devem obedecer à equação:

Sendo q o número de componentes (ou fatores) na mistura. Na Figura 13 estão representadas graficamente esta equação, para o caso de 2 e 3 componentes.

Percebe-se que para 2(dois) componentes, a linha central contém todas as combinações dos valores de x1 e x2 (Figura 13(a)). Com 3(três) componentes, o

espaço da mistura é um triângulo (Figura 13(b)), com os vértices correspondendo aos componentes puros e os lados correspondendo às misturas binárias.

Os modelos matemáticos que são usualmente utilizados nos planejamentos de misturas são: Linear: (2) Quadrático: (3) Cúbico Especial: (4) Cúbico completo: (5)

Figura 13 - Representação gráfica da equação (1) para 2 (a) e 3(b) componentes. Fonte-MONTGOMERY, 2001.

Os coeficientes destas equações são determinados por rotinas de regressão linear múltipla. A análise de regressão consiste em estimar os parâmetros desconhecidos do modelo de regressão, ou seja, ajustar o modelo aos dados, além de verificar a adequação do modelo escolhido para representar a resposta de interesse. A estimativa dos parâmetros é realizada por meio da aplicação do método dos mínimos quadrados (SPANEMBERG, 2010).

As técnicas para verificar a adequação e ajustes de modelos mais utilizadas são citadas abaixo:

Teste de hipóteses para significância da regressão: É utilizado para

verificar se há relação linear entre a resposta e quaisquer das variáveis regressoras. É possível determinar, por meio deste teste, quais modelos se ajustam aos dados. Para proceder ao teste utiliza-se a tabela de ANOVA (analysis of variance), que é o método mais utilizado (SPANEMBERG, 2010).

Teste da falta de ajuste: Existindo observações repetidas pode-se usá-las

para obter uma estimativa do erro aleatório. Através das estimativas pode-se julgar, quantitativamente, se o modelo representa de forma satisfatória as observações, ou se há a necessidade de acrescentar mais termos ao modelo (MONTGOMERY & PECK, 1984).

Estimativas R2 e RA2 (R2 ajustado): O coeficiente de determinação múltipla, mais conhecido como R2, pode ser interpretado como uma medida da redução na variabilidade da resposta obtida pelo uso das variáveis regressoras. R2 é definido pela equação (6), uma vez que SQT = SQR + SQr, e R varia entre 0 e 1.

(6)

No entanto, um grande valor R2 não implica necessariamente que o modelo é

adequado, pois a adição de um termo ao modelo sempre aumenta o R2 mesmo que

o termo não seja estatisticamente significativo. Deste modo, corre-se o risco de “super-ajustar” o modelo adicionando-se termos desnecessários. Por esse motivo, é de grande utilidade o uso paralelo da estatística R2 ajustado, dado pela equação 7:

(7)

Essa estatística pode diminuir ao se acrescentarem termos não significativos ao modelo, penalizando o “super-ajuste” do mesmo. Um modelo com valor alto de RA2 é geralmente preferível.

Pode-se também testar a validade dos modelos fazendo ensaios com misturas com porcentagens diferentes das que foram usadas na determinação do modelo e comparar os resultados experimentais com os valores previstos para cada modelo. O modelo que apresentar um valor absoluto médio dos resíduos menor, certamente, será o mais indicado (SPANEMBERG, 2010 apud BARROS NETO et al.,1996).

2.9.3 – Planejamento com restrições nos componentes

Em grande parte dos experimentos com misturas existem restrições das quantidades dos componentes utilizados, isto por que nem todas as misturas podem ser processadas industrialmente, por motivos tecnológicos ou econômicos [CORNELL, 2002].

Estas restrições especificam limites inferiores e superiores de composição xi, que deixa de variar entre 0 e 1. E, são representadas através da equação (8):

Li ≤ xi ≤ Ui, i = 1, 2,..., q (8)

Onde Li é o limite inferior para o i-ésimo componente, Li ≥ 0 e Ui é o limite

superior do i-ésimo componente, Ui ≤ 1.

Então, apenas uma sub-região do triângulo original é de interesse, e pode ser utilizado o conceito de pseudo componente para criar um triângulo restrito de composições Xi no qual é definido o arranjo simplex {q,m}. As composições das

misturas determinadas pelo simplex (Xi) são primeiramente convertidas em

componentes originais (xi) para que as misturas de teste possam ser preparadas e a propriedade determinada experimentalmente. A equação de regressão obtida a partir dos valores experimentais da propriedade é expressa em função de Xi, que é de novo revertido para xi, para que a propriedade possa agora ser calculada para

A Figura 14 representa esquematicamente a possível região do espaço quando o produto a ser fabricado segue as seguintes restrições: 0,3 ≤ x1, 0,4 ≤ x2, 0,1 ≤ x3.

A conversão dos componentes em pseudocomponentes é representada pela seguinte equação:

(9) Onde L representa a soma dos limites inferiores para cada valor de x, Li

representa o limite inferior correspondente para cada valor de x.

Figura 14 - representação esquemática da região de interesse em um planejamento.