Trem Acelerado

O segundo exemplo analisado aqui ´e o de um trem acelerado.

Mais uma vez fazemos a aproxima¸c˜ao de que a Terra ´e um bom re-ferencial inercial nesta situa¸c˜ao. No Cap´ıtulo anterior analisamos o movimento e a inclina¸c˜ao do pˆendulo num sistema de referˆencia fixo em rela¸c˜ao `a Terra. Agora analisamos o mesmo problema num sistema de referˆencia fixo no vag˜ao acelerado (podemos analisar a situa¸c˜ao do ponto de vista de um passageiro que est´a viajando no trem, Figura 3.2). Neste caso, o corpo de massam ligado ao fio est´a em repouso em rela¸c˜ao ao trem e ao passageiro, enquanto a Terra est´a acelerada para a esquerda com uma acelera¸c˜ao dada por~a_e=−a_ex.ˆ

Figura 3.2: Passageiro num trem acelerado.

Se o passageiro aplicasse a segunda lei de Newton para o corpo de massam na forma da Eq. (1.3) ele chegaria na mesma conclus˜ao que as Eqs. (2.6), (2.7) e (2.8), ou seja:

a^′ =gm_g

m_i tanθ6= 0.

Mas obviamente esta ´e a resposta errada neste sistema de re-ferˆencia do trem. Afinal de contas o pˆendulo n˜ao est´a se movendo em rela¸c˜ao ao trem ou ao passageiro na situa¸c˜ao de equil´ıbrio que est´a sendo analisada aqui, de tal forma que o passageiro deveria chegar em a^′ = 0. Ele s´o pode chegar neste resultado com a Eq. (3.1). Isto ´e, ele precisa introduzir a for¸ca fict´ıcia −m_i~a_o para chegar na resposta correta em seu referencial. No caso que est´a sendo analisado aqui temos ~a_o = a_ex. Esta for¸ca fict´ıcia equilibra a for¸ca gravitacionalˆ exercida pela Terra e a for¸ca exercida pelo fio, de tal forma a n˜ao produzir movimento do pˆendulo em rela¸c˜ao ao trem ou ao passageiro e para mantˆe-lo numa posi¸c˜ao inclinada em rela¸c˜ao `a vertical, como representado na Figura 3.2. Ele ent˜ao chega na situa¸c˜ao descrita na Figura 3.3:

P~ +T~ −m_i~a_o=m_i~a^′ , de tal forma que~a^′ = 0.

Figura 3.3: For¸cas no sistema de referˆencia do passageiro.

Neste sistema de referˆencia a componente vertical da tens˜ao no fio ´e equilibrada pelo peso do corpo, enquanto que−m_i~a_o equilibra a componente horizontal da tens˜ao no fio. Isto mant´em o corpo de massam em repouso em rela¸c˜ao ao trem.

Mais uma vez na mecˆanica newtoniana n˜ao h´a uma origem f´ısica para esta for¸ca −m_i~a_o. Mas ´e essencial utiliz´a-la no sistema de re-ferˆencia acelerado do trem para chegar aos resultados corretos.

3.2 Movimento Circular Uniforme

Agora analisamos alguns problemas do Cap´ıtulo anterior no sis-tema de referˆencia dos corpos que giram.

3.2.1 ´Orbita Circular de um Planeta

Come¸camos com o planeta orbitando ao redor do Sol. Novamente vamos considerar apenas o caso particular de ´orbita circular. No sistema de referˆencia inercial S considerado anteriormente, com a massa do Sol sendo muito maior do que a massa do planeta, o Sol foi considerado essencialmente em repouso e o planeta estava orbitando ao redor dele. A aplica¸c˜ao da Eq. (1.3) resultou numa acelera¸c˜ao centr´ıpeta dada pora_cp=Gm_s/r².

Analisamos agora este problema num sistema de referˆencia n˜ao inercialS^′ no qual o Sol e o planeta est˜ao em repouso. Ou seja, num sistema de referˆencia S^′ centrado no Sol mas que gira junto com o planeta. Ao fazer as contas neste sistema dever´ıamos concluir que o planeta n˜ao est´a acelerado, isto ´e, que a^′ = 0. Mas este n˜ao ´e o caso se aplicarmos a segunda lei de Newton na forma da Eq. (1.3).

Como podemos explicar neste novo sistema de referˆencia o fato de que o planeta permanece em repouso apesar da atra¸c˜ao gravitacional do Sol? Como pode o planeta manter uma distˆancia essencialmente constante em rela¸c˜ao ao Sol? Para chegar ao resultado correto de que o planeta n˜ao est´a acelerado neste novo sistema de referˆencia e para explicar porquˆe a distˆancia entre o planeta e o Sol permanece constante, precisamos introduzir uma nova for¸ca fict´ıcia. Neste caso, esta for¸ca fict´ıcia tem um nome especial, for¸ca centr´ıfuga. Ela ´e dada por:

F~_c =−m_i~ω×(~ω×~r) , (3.2)

onde~r ´e o vetor posi¸c˜ao do corpo de prova em rela¸c˜ao `a origem do sistema de referˆencia n˜ao inercial e ~ω ´e o vetor velocidade angular do sistema de referˆencia n˜ao inercial em rela¸c˜ao ao espa¸co absoluto, ou em rela¸c˜ao a qualquer sistema de referˆencia inercial. No Cap´ıtulo anterior consideramos o sistema inercial S centrado no Sol. Neste sistema S o planeta orbitava ao redor do Sol com uma velocidade angularω. O sistema de referˆencia n˜ao inercial S^′ considerado aqui tamb´em ´e centrado no Sol, mas ele gira em rela¸c˜ao aS com a mesma velocidade angular da ´orbita do planeta, Figura 3.4.

Figura 3.4: Sistema de referˆenciaS^′ girando junto com o planeta em rela¸c˜ao a S.

Isto ´e, se o planeta fosse a Terra, o per´ıodo de rota¸c˜ao de S^′ em rela¸c˜ao a S seria T = 2π/ω = 365 dias. Se o sistema de referˆencia n˜ao inercialS^′ est´a girando em rela¸c˜ao a S ao redor do eixo vertical z,~ω =ωz. Ent˜ˆ ao~ω×(~ω×~r) =−ω²ρρ, ondeˆ ρ´e a distˆancia do corpo de prova ao eixo de rota¸c˜ao e ˆρ´e o vetor unit´ario apontando do eixo de rota¸c˜ao para o corpo, num plano ortogonal ao eixo de rota¸c˜ao (coordenadas polares: ~r = ρρˆ+zˆz). Neste caso a for¸ca centr´ıfuga

´e dada simplesmente por F~c = miω²ρρ. Isto mostra que esta for¸caˆ

fict´ıcia, que aparece apenas em sistema de referˆencia n˜ao inerciais S^′ mas n˜ao nos inerciais S, tem uma propriedade de apontar para fora do centro. Este ´e o motivo do nome “centr´ıfuga,” Figura 3.5.

O termo for¸ca centr´ıfuga havia sido cunhado por Huygens, enquanto Newton cunhou o termo for¸ca centr´ıpeta para se opor a ele. Na me-cˆanica newtoniana as for¸cas reais s˜ao as centr´ıpetas, enquanto que as centr´ıfugas como neste caso n˜ao tˆem origem f´ısica, isto ´e, n˜ao surgem devido a uma intera¸c˜ao do corpo de prova com outros corpos.

Figura 3.5: For¸ca centr´ıfuga.

Neste sistema de referˆencia n˜ao inercial a segunda lei de Newton deve ser escrita como (para se chegar em respostas corretas):

F~ +F~_c =m_i~a^′ , (3.3) onde F~ ´e a for¸ca resultante devido a todos os outros corpos agindo

emm_i,F~_c ´e dada pela Eq. (3.2) e~a^′ ´e a acelera¸c˜ao dem_i em rela¸c˜ao a este sistema de referˆencia n˜ao inercial.

No problema do planeta temos a situa¸c˜ao da Figura 3.6.

Figura 3.6: Planeta “orbitando” ao redor do Sol, como visto em S^′. Utilizando que~a^′= 0 neste sistema de referˆencia obt´em-se a for¸ca centr´ıfuga, ou seja

F~_c =Gm_gsm_gp

r² rˆ=−m_ip~ω×(~ω×~r) .

Disto resulta: ω = ^qGm_gs/r³. Alternativamente, poder´ıamos utilizar que ω = ^qGm_gs/r³ para obter que ~a^′ = 0 no sistema de referˆencia S^′ no qual o planeta e o Sol est˜ao em repouso.

Mais uma vez n˜ao h´a uma origem f´ısica para esta for¸ca centr´ıfuga, enquanto que a for¸ca gravitacional neste caso ´e devido `a atra¸c˜ao entre o Sol e o planeta.

3.2.2 Dois Globos

Discutimos agora brevemente o experimento dos dois globos de-scrito por Newton. Num sistema de referˆencia S^′ que gira com os globos centrado no centro de massa do sistema, temos a situa¸c˜ao representada na Figura 3.7.

Figura 3.7: Dois globos.

Neste sistema de referˆencia n˜ao h´a movimento dos globos apesar da tens˜ao T na corda. A for¸ca centr´ıpeta devido a esta tens˜ao ´e equilibrada por uma for¸ca centr´ıfuga dada por m_iω²ρ, Figura 3.8:

F_c1=m1ω²ρ1=T eF_c2 =m2ω²ρ2 =T.

Figura 3.8: Tens˜ao na corda equilibrada pela for¸ca centr´ıfuga.

H´a duas interpreta¸c˜oes para este equil´ıbrio: (A) Podemos dizer que a tens˜ao ´e equilibrada pela for¸ca centr´ıfuga, que n˜ao deixa os corpos se aproximarem; ou (B) podemos dizer que a for¸ca centr´ıfuga gera a tens˜ao na corda.

Poder´ıamos aplicar facilmente a mesma an´alise do problema ante-rior do Sol e do planeta, generalizando-a para levar em conta o movi-mento do Sol, substituindo a tens˜ao T deste exemplo pela atra¸c˜ao gravitacional Gm_g1m_g2/r². Nesta situa¸c˜ao mais real´ıstica, o Sol e o planeta orbitariam ao redor do centro de massa comum, em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia inercialS. Num sistema de referˆencia n˜ao inercial S^′ centrado no centro de massa e no qual o Sol e o planeta est˜ao em repouso, a atra¸c˜ao gravitacional seria equilibrada pela for¸ca centr´ıfuga.

3.2.3 A Experiˆencia do Balde de Newton

Consideramos agora a experiˆencia do balde. Vamos nos concen-trar na situa¸c˜ao em que o balde e a ´agua giram juntos com uma ve-locidade angular constante ω em rela¸c˜ao a um sistema de referˆencia inercial S. Num sistema de referˆencia n˜ao inercial S^′ que gira com o balde n˜ao h´a movimento da ´agua, de tal forma que a Eq. (3.3) se reduz a (usando a Eq. (3.2) e que~ω =ωz):ˆ

−(∇p)dV −dm_ggˆz+dm_iω²ρρˆ=dm_i~a^′= 0 .

E isto gera o mesmo resultado obtido anteriormente, lembrando que dm_i = dm_g e que estamos utilizando aqui ρˆρ ao inv´es de xxˆ para representar a distˆancia ao eixo de rota¸c˜ao.

E importante enfatizar aqui e nos exemplos anteriores da ´´ orbita circular do planeta e dos dois globos, que esta for¸ca centr´ıfuga n˜ao tem origem f´ısica na mecˆanica newtoniana. Ela s´o aparece em sis-temas de referˆencia n˜ao inerciais e neste sentido pode-se dizer que elas s˜ao reais (equilibram a for¸ca de atra¸c˜ao do Sol, geram a tens˜ao na corda no problema dos dois corpos, empurram a ´agua para os lados do balde etc.). Por outro lado, ao contr´ario de todas as for¸cas f´ısicas reais como a atra¸c˜ao gravitacional exercida pelo Sol ou pela Terra, a for¸ca el´etrica exercida pelas cargas, a for¸ca magn´etica exercida por

´ım˜as ou por fios com corrente, ou a for¸ca el´astica exercida por molas ou por fios tensionados, n˜ao podemos localizar o corpo material re-spons´avel pelas for¸cas centr´ıfugas ou pelas for¸cas fict´ıcias em geral.

Vamos mostrar isto no caso da experiˆencia do balde (uma an´alise similar pode ser feita para os outros exemplos discutidos acima). Va-mos considerar a situa¸c˜ao na qual o balde e a ´agua est˜ao girando juntos em rela¸c˜ao `a Terra e `as estrelas fixas com uma velocidade angular constante ao redor do eixo vertical. Analisamos agora este problema no sistema de referˆencia n˜ao inercial do balde, de tal forma que neste referencial a superf´ıcie da ´agua ´e cˆoncava, embora a ´agua esteja em repouso. ´E o balde o respons´avel por esta concavidade?

N˜ao, afinal de contas o balde est´a em repouso em rela¸c˜ao `a ´agua. ´E a rota¸c˜ao da Terra em rela¸c˜ao `a ´agua, ao balde e a este sistema de referˆencia a respons´avel pela for¸ca centr´ıfuga? Mais uma vez a

res-posta na mecˆanica newtoniana ´e n˜ao. Como vimos no Cap´ıtulo 1, a for¸ca gravitacional exercida por uma casca esf´erica em part´ıculas ma-teriais localizadas fora dela apontam em dire¸c˜ao ao centro da casca.

Como a lei de Newton da gravita¸c˜ao n˜ao depende da velocidade ou da acelera¸c˜ao entre os corpos, ela vai permanecer v´alida quando a casca esf´erica est´a girando. Isto significa que de acordo com a teoria newtoniana, mesmo quando a Terra est´a girando em rela¸c˜ao a um certo conjunto de corpos ou sistema de referˆencia, ela vai continuar exercendo apenas a for¸ca gravitacional usual para baixo, sem qual-quer for¸ca horizontal como ´e a for¸ca centr´ıfuga neste caso. ´E ent˜ao a rota¸c˜ao das estrelas fixas (ou das gal´axias distantes) em rela¸c˜ao

`

a ´agua, ao balde e a este sistema de referˆencia n˜ao inercial a re-spons´avel pela for¸ca centr´ıfuga? A resposta ´e negativa mais uma vez, devido ao 30^o teorema de Newton apresentado acima e ao resultado (1.6). Isto ´e, distribui¸c˜oes esfericamente sim´etricas de mat´eria n˜ao exercem for¸cas gravitacionais resultantes em quaisquer part´ıculas in-ternas, n˜ao interessando a rota¸c˜ao ou movimento destas distribui¸c˜oes esf´ericas em rela¸c˜ao `as part´ıculas internas ou a quaisquer sistemas de referˆencia. Isto significa que na mecˆanica newtoniana as estrelas fixas e as gal´axias distantes podem desaparecer sem causar qualquer influˆencia sobre a concavidade da ´agua.

Como veremos, a mecˆanica relacional dar´a uma resposta diferente nesta e em outras situa¸c˜oes.

3.3 Rota¸c˜ao da Terra

H´a duas maneiras principais de saber que a Terra est´a em rota¸c˜ao.

A primeira ´e cinem´atica e a outra dinˆamica. Discutimos estes t´opicos nesta Se¸c˜ao.