Fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas inversas - Princípios para construir uma função Gráficos de funçõ

Objetivos

• Entender as fun¸cões trigonométricas inversas, seus dom´ınios e gráficos. • Resolver equa¸cões com as fun¸cões trigonométricas e suas inversas.

Conceitos:

Composi¸cão, fun¸cões injetoras, fun¸cões invert´ıveis e fun¸cões trigonométricas.

Referˆencias: Aulas 35 a 38.

As fun¸cões trigonométricas são fun¸cões periódicas, conforme você viu nas duas últimas aulas. Há retas horizontais intersectando o gráfico dessas fun¸cões em mais de um ponto. Portanto, não são fun¸cões injetoras. Entre- tanto, fazendo uma restri¸cão no dom´ınio dessas fun¸cões as tornamos injetoras sobre as suas imagens.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 70

O topo de uma montanha está situado 500 metros acima de um aeroporto. O fim da pista de decolagem está situado a 3 quilômetros de distância horizontal de um ponto abaixo do topo da montanha. Um avião decola em dire¸cão à montanha, com um ângulo que deve permanecer constante até que passe da montanha. Para uma decolagem com seguran¸ca, o piloto deve passar a uma altura de 300 metros acima do topo. Qual deve ser o ângulo de decolagem?

Fig. 144: Avi˜ao decolando com ˆangulo θ constante.

Considerando θ o ângulo de decolagem, é claro que 0 < θ < π₂. Apenas os he- licópteros decolam na dire¸cão perpendi- cular ao solo! A Figura 144 ilustra a si- tua¸cão. O lado do triângulo oposto a θ é 500 + 300 = 800 metros. Assim,

tg θ = 800

3.000 ≈ 0, 2666.

Qual ´e o valor do ˆangulo θ, sabendo a sua tangente?

Nesse problema, só faz sentido θ ∈ (0,π₂). No intervalo em que estamos trabalhando, para cada y ∈ (0, ∞) existe um único θ, tal que y = tg θ. Logo, existe um único θ com tg θ = 0, 26666. Nesse intervalo a fun¸cão tangente é injetora, sua imagem é (0, ∞) e podemos construir a fun¸cão g, definida por:

g : (0, ∞) −→ (0,π₂)

y 7−→ x , tal que y = tg x .

Usando uma calculadora, determinamos θ = 0, 2606 radianos, que corres- ponde a 14, 93o_.

A prática cotidiana mostra que muitas vezes é conveniente fazer uma restri¸cão no dom´ınio de uma fun¸cão, de modo a poder determinar uma fun¸cão inversa.

Nessa aula vamos definir as fun¸cões inversas das fun¸cões trigonométricas, chamadas arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante.

Qual ser´a o procedimento?

Faremos uma restri¸cão ao dom´ınio da fun¸cão trigonométrica, de modo que a fun¸cão resultante seja injetora e tenha a mesma imagem.

Motivados pelo exemplo anterior, come¸camos com a fun¸c˜ao tangente.

Fun¸c˜ao arco tangente

A fun¸cão tangente tem per´ıodo π e sua imagem ´_{e R = (−∞, ∞) . Res-} tringindo x ao intervalo (−π₂,π₂), então f (x) = tg x é uma fun¸cão bijetora. Veja a Figura145.

Assim, para cada y ∈ R existe um ´unico x ∈ (−π2, π

2), tal que y = tg x.

Dizemos que x ´e o arco tangente de y e escrevemos x = arctg y. Portanto,

A expressão x = arctg y lê-se como: x é igual ao arco tangente de y.

y = tg x, x ∈ (−π₂,π₂_{) ⇐⇒ x = arctg y, y ∈ R}

Fig. 145: Gr´afico de y = tg x, x ∈ (−π₂,π₂).

Fig. 146: Gr´afico de y = arctg x, x ∈ R.

Note que . . . As ass´ıntotas verticais ao gráfico da tangente, x = −π₂ e x = π₂, correspondem às ass´ıntotas horizontais ao gráfico do arco tangente, y = −π₂ e y =π₂.

A fun¸cão arco tangente e a fun¸cão tangente são inversas uma da outra. Vale a seguinte propriedade:

x = arctg(tg x), onde x ∈ (−π₂,π₂_{), e x = tg(arctg x), onde x ∈ R}

Fazendo a simetria do gráfico da tangente com respeito à reta y = x (veja a Figura145) obtemos o gráfico da fun¸cão arco tangente, Figura146.

Exemplo 71

Calculemos o valor do ˆangulo arctg√3.

Seja y = arctg√3. Ent˜ao, tg y = √3 e y ∈ (−π₂,π₂). Como tgπ₃ = √3 e

π 3 ∈ (− π 2, π 2), temos y = π 3. Exemplo 72

Determinemos as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao: arctg x2− 7 2√3 = −π 6.

A equa¸c˜ao proposta ´e equivalente a x

2_{− 7} 2√3 = tg −π 6 = −√1 3. Logo, x2_{− 7 = −2 e x}2 _{= 5. Portanto, x = −}√_{5 ou x =}√_5. Fun¸c˜ao arco seno

A fun¸cão seno tem per´ıodo 2π e sua imagem é o intervalo fechado [−1, 1]. Restringindo x ao intervalo [−π₂,π₂], então f (x) = sen x é uma fun¸cão bijetora. Veja a Figura 147. Portanto, para cada y ∈ [−1, 1] existe um único x ∈ [−π₂,π₂], tal que y = sen x. Dizemos que x é o arco seno de y e escrevemos x = arcsen y. Logo,

Definindo o arco seno Usamos nesse caso um intervalo com comprimento de meio per´ıodo porque, em um per´ıodo, cada ponto do intervalo [−1, 1] ´e imagem de dois pontos. Reveja na Aula 37 o gr´afico do seno.

A expressão x = arcsen y lê-se como: x é igual ao arco seno de y.

y = sen x, x ∈ [−π₂,π₂] ⇐⇒ x = arcsen y, y ∈ [−1, 1]

Fig. 147: Gr´afico de y = sen x, x ∈ [−π 2,

2]. Fig. 148: Gr´afico de y = arcsen x, x ∈ [−1, 1].

A fun¸cão arco seno e a fun¸cão seno são inversas uma da outra e vale:

x = arcsen(sen x), onde x ∈ [−π₂,π₂], e x = sen(arcsen x), onde x ∈ [−1, 1]

Fazendo a simetria do gráfico do seno com respeito à reta y = x (veja a Figura 147) obtemos o gráfico da fun¸cão arco seno, Figura 148.

Exemplo 73

Determinemos o valor cos(arcsen1₂).

Como y = arcsen1₂ se, e somente se, sen y = 1₂e y ∈ [−π₂,π₂], temos que y = π₆. Portanto, cos(arcsen1₂) = cos y = cosπ₆ =

√ 3 2 .

Exemplo 74

Determinemos o dom´ınio da fun¸cão f (x) = tg(arcsen x) e, usando a defini¸cão da fun¸cão tangente e a identidade trigonométrica entre o seno e o cosseno, verifiquemos a igualdade f (x) = √ x

1 − x2 .

Primeiramente, o dom´ınio de f ´e o conjunto dos pontos x do dom´ınio do arco seno, tais que arcsen x pertence ao dom´ınio da tangente, isto ´e, arcsen x pertence ao intervalo (−π₂,π₂). Portanto,

Dom(f ) = x ∈ [−1, 1] | arcsen x ∈ (−π 2,

π 2) .

Como arcsen x = −π₂ e arcsen x = π₂ se, e somente se, x = −1 e x = 1, obtemos que Dom(f ) = (−1, 1).

Seja θ = arcsen x, onde x ∈ (−1, 1). Ent˜ao, sen θ = x e, pela defini¸c˜ao da tangente, temos tg θ = sen θ

cos θ = x

cos θ. Assim, f (x) = tg(arcsen x) = x cos θ.

Precisamos calcular cos θ, onde θ = arcsen x ∈ (−π₂,π₂), como fun¸c˜ao de x. Nesse caso, cos θ > 0 e, da identidade trigonom´etrica cos2_{θ = 1 − sen}2_θ,

podemos escrever cos θ =√1 − sen2_θ.

Sendo x = sen θ, obtemos cos(arcsen x) =√1 − x2 _{e assim,}

f (x) = tg(arcsen x) = √ x 1 − x2. Fun¸c˜ao arco cosseno

A fun¸cão cosseno tem per´ıodo 2π e sua imagem é o intervalo fechado [−1, 1]. Restringindo x ao intervalo [0, π], então f (x) = cos x é uma fun¸cão bijetora (Figura 149). Portanto, para cada y ∈ [−1, 1] existe um único x ∈ [0, π], tal que y = cos x. Dizemos que x é o arco cosseno de y e escrevemos x = arccos y. Logo,

Definindo o arco cosseno Usamos nesse caso um intervalo com comprimento de meio per´ıodo porque, em um per´ıodo, cada ponto do intervalo [−1, 1] ´e imagem de dois pontos. Reveja na Aula 37 o gr´afico do cosseno.

A expressão x = arccos y lê-se como: x é igual ao arco cosseno de y.

y = cos x, x ∈ [0, π] ⇐⇒ x = arccos y, y ∈ [−1, 1]

A fun¸cão arco cosseno e a fun¸cão cosseno são inversas uma da outra e vale:

x = arccos(cos x), onde x ∈ [0, π], e x = cos(arccos x), onde x ∈ [−1, 1]

Fazendo a simetria do gráfico do cosseno com respeito à reta y = x (veja a Figura 149) obtemos o gráfico da fun¸cão arco cosseno, conforme a Figura 150.

Exemplo 75

Determinemos o valor do ˆangulo arccos(−

√ 3 2 ). Temos: y = arccos(− √ 3 2 ) ⇐⇒ cos y = − √ 3 2 , e y ∈ [0, π]. Como cos 5π 6 = − √ 3 2 e 5π₆ ∈ [0, π], conclu´ımos que y = 5π 6 .

Fig. 149: Gr´afico de y = cos x, x ∈ [0, π]. Fig. 150: Gr´afico de y = arccos x, x ∈ [−1, 1].

Exemplo 76

Verifiquemos que arcsen x + arccos x = π₂, para −1 ≤ x ≤ 1. Seja y = arcsen x, onde −1 ≤ x ≤ 1. Sabemos que:

y = arcsen x ⇐⇒ sen y = x, y ∈ [−π₂,π₂]. Sendo sen y = cos(π₂ − y), obtemos: x = cos(π

2 − y).

Como y ∈ [−π₂,π₂] se, e somente se, π₂− y ∈ [0, π], a ´ultima igualdade equivale a π₂ − y = arccos x. Portanto, arcsen x + arccos x = y + (π

2 − y) = π 2.

Lembre que ... cos(α + β) =

cos α cos β − sen α sen β

Fun¸c˜ao arco secante

A fun¸cão secante tem per´ıodo 2π e sua imagem é (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Restringindo x ao intervalo [0,π₂) ∪ (π₂, π], então f (x) = sec x é uma fun¸cão bijetora. Veja a Figura 151.

Portanto, para cada y ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) existe um único número real x ∈ [0,π₂) ∪ (π₂, π], tal que y = sec x. Dizemos que x é o arco secante

de y e escrevemos x = arcsec y. Logo,

y = sec x, x ∈ [0,π₂) ∪ (π₂, π] ⇐⇒ x = arcsec y, y ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

A fun¸cão arco secante e a fun¸cão secante são inversas uma da outra. Vale a seguinte propriedade:

Definindo o arco secante Usamos nesse caso um intervalo com comprimento de meio per´ıodo porque, em um per´ıodo, cada ponto do intervalo (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ´e imagem de dois pontos. Reveja na Aula 38 o gr´afico da secante.

A expressão x = arcsec y lê-se como: x é igual ao arco secante de y.

x = arcsec(sec x), onde x ∈ [0,π₂) ∪ (π₂, π], e x = sec(arcsec x), onde x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

Fazendo a simetria do gráfico da secante com respeito à reta y = x (veja a Figura 151) obtemos o gráfico da fun¸cão arco secante, conforme a Figura 152.

Fig. 151: Gr´afico de y = sec x, x ∈ [0,π 2) ∪ ( π 2, π]. Fig. 152: y = arcsec x, x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Exemplo 77

Determinemos o dom´ınio da fun¸c˜ao f (x) = arcsec x

x − 1.

O quociente g(x) = x

x − 1 s´o est´a definido para x 6= 1.

Como f = arcsec ◦ g ´e uma composi¸c˜ao, devemos tomar x ∈ Dom(g) com g(x) ∈ Dom(arcsec) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Portanto, x 6= 1, com x

x − 1 ≥ 1

ou x

x − 1 ≤ −1. Temos: Pr´oximo de x =π₂ temos

cos x pr´oximo de zero, assim o seu inverso _{cos x}1 = sec x tem | sec x| muito grande.

Isso explica porque a reta vertical x =π₂ é uma asss´ıntota ao gráfico da secante e a reta horizontal y = π₂ é uma ass´ıntota ao

gr´afico do arco secante.

x x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ x x − 1− 1 = x − (x − 1) x − 1 = 1 x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x > 1 , (a) ou x x − 1 ≤ −1 ⇐⇒ x x − 1 + 1 = x + (x − 1) x − 1 = 2x − 1 x − 1 ≤ 0 . (b)

Resumimos o estudo do sinal de 2x − 1

x − 1 na reta real, da seguinte maneira: x < 1₂ x = 1₂ 1₂ < x < 1 x = 1 x > 1

2x − 1 − 0 + + +

x − 1 − − − 0 +

2x−1

x−1 + 0 − ? +

O sinal ? na tabela ao lado significa que o quociente n˜ao est´a definido.

Consultando a tabela, conclu´ımos que para 1₂ ≤ x < 1 a desigualdade em(b)

é válida. Fazendo a união com o intervalo obtido em (a), temos: Dom(f ) = [1₂, 1) ∪ (1, ∞).

Fun¸c˜ao arco cossecante

A fun¸cão cossecante tem per´ıodo 2π e sua imagem é (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Restringindo x ao intervalo [−π₂, 0) ∪ (0,π₂], então f (x) = cossec x é uma fun¸cão bijetora. Veja a Figura 153.

Definindo o arco cossecante Usamos nesse caso um intervalo com comprimento de meio per´ıodo porque, em um per´ıodo, cada ponto do intervalo (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ´e imagem de dois pontos. Reveja na Aula 38 o gr´afico da cossecante.

Assim, para cada y ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) existe um único número real x ∈ [−π₂, 0) ∪ (0,π₂], tal que y = cossec x. Dizemos que x é o arco cossecante

de y e escrevemos x = arccossec y. Portanto,

y = cossec x, x ∈ [−π₂, 0) ∪ (0,π₂] ⇐⇒ x = arccossec y, y ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

A fun¸cão arco cossecante e a fun¸cão cossecante são inversas uma da

outra. Vale a seguinte propriedade: A express˜_lˆ_{e-se como: x ´}ao x = arccossec y_{e igual ao arco}

cossecante de y.

x = arccossec(cossec x), onde x ∈ [−π₂, 0) ∪ (0,π₂], e x = cossec(arccossec x), onde x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

Fazendo a simetria do gráfico da cossecante com respeito à reta y = x (veja a Figura153) obtemos o gráfico da fun¸cão arco cossecante, conforme a Figura 154.

Fig. 153: y = cossec x, x ∈ [−π₂, 0) ∪ (0,π₂].

Fig. 154: y = arccossec x, x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞).

Pr´oximo de x = 0 temos sen x pr´oximo de zero, assim o seu inverso

sen x = cossec x tem | cossec x| muito grande. Isso explica porque a reta

vertical x = 0 é uma asss´ıntota ao gráfico da cossecante e a reta horizontal y = 0 é uma ass´ıntota ao gráfico do arco cossecante.

Exemplo 78

Vamos resolver a equa¸c˜ao arccossec(2x2_{+ 4x − 2) = −}π 6. Temos: arccossec(2x2+ 4x − 2) = −π₆ ⇐⇒ 2x2_{+ 4x − 2 = cossec(−}π 6) = 1 sen(−π₆) = −2.

Logo, 2x2_{+ 4x = 0, que ´}_{e equivalente a 2x(x + 2) = 0. Portanto, x = 0 ou}

Fun¸c˜ao arco cotangente

A fun¸cão cotangente tem per´ıodo π e sua imagem ´_{e R . Restringindo} x ao intervalo (0, π), então f (x) = cotg x é uma fun¸cão bijetora. Veja a Figura 155.

Assim, para cada y ∈ R existe um ´unico x ∈ (0, π), tal que y = cotg x. Dizemos que x ´e oarco cotangentede y e escrevemos x = arccotg y. Portanto,

A expressão x = arccotg y lê-se como x é igual ao arco cotangente de y.

y = cotg x, x ∈ (0, π) ⇐⇒ x = arccotg y, y ∈ R

A fun¸cão arco cotangente e a fun¸cão cotangente são inversas uma da outra. Vale a seguinte propriedade:

x = arccotg(cotg x), onde x ∈ (0, π), e x = cotg(arccotg x), onde x ∈ R

Fazendo a simetria do gráfico da cotangente com respeito à reta y = x (veja a Figura 155) obtemos o gráfico da fun¸cão arco cotangente, conforme a Figura 156.

Fig. 155: y = cotg x, x ∈ (0, π).

Fig. 156: y = arccotg x, x ∈ R.

Próximo de x = 0 e x = π temos sen x próximo de zero e cos x 6= 0, assim cotg x = cos x_{sen x} tem | cotg x| muito grande. Isso explica porque as retas verticais x = 0 e x = π são asss´ıntotas ao gráfico da cotangente e as retas horizontais y = 0 e y = π são ass´ıntotas ao gráfico do arco cotangente.

Exemplo 79

Calculemos o valor do ˆangulo arccotg2x

3 = π 4. Temos: arccotg2x₃ = π₄ ⇐⇒ 2x 3 = cotg π 4 = 1 ⇐⇒ x = 3 2.

Exemplo 80

Determinemos o valor do ˆangulo arccotg(cotg7π₆ ).

Aten¸c˜ao!

Nesse caso a resposta não é 7π₆ , pois 7π₆ não pertence à imagem da fun¸cão arco cotangente.

Temos:

y = arccotg(cotg7π₆ ) ⇐⇒ cotg y = cotg7π 6 = cos7π₆ sen7π₆ = −√3/2 −1/2 = √ 3 e y ∈ (0, π) .

Como o arco no intervalo (0, π) com cotangente igual a √3 ´e π

6, obtemos

y = π

Resumo

Você aprendeu as fun¸cões trigonométricas inversas: arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante; seus dom´ınios, suas imagens e seus gráficos. Aprendeu ainda a resolver equa¸cões com essas fun¸cões.

Exerc´ıcios 1. Determine: a. arctg(−1) b. arccos √ 2 2 c. arcsen(− 1 2) d. sen(arccos1₂) e. sen(arcsen √ 3 2 ) f. arccotg(− √ 3)

g. tg(arcsen1₂) h. arccos(sen2π₃ ) i. arcsec(sec 7π₆ )

j. arccos(cos(−π₄ )) k. arccotg(cotg4π₃ ) l. arccossec(cossec(−π₆))

2. Resolva: a. arccos(x + 2) = π 6 d. arcsen(2x − 1) = π 3 b. arctgx 3 = π 4 e. arctg x − 5 √ 3 = −π 3 c. arcsen(4x + 1) = −π 3 f. arcsec(x 2_{− 2x + 1) =} π 3

3. Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao f :

a. f (x) =√arccos x e. f (x) = arcsen2 x b. f (x) = arcsec(x2_{+ x)} _f. _{f (x) = arccos(2x − 5)} c. f (x) = arcsec x2+ 1 x g. f (x) = arcsen(x2− 2x) d. f (x) = arccos x x2_{+ 1} h. f (x) = arccotg√x3_{− x}

Auto-avalia¸c˜ao

Você entendeu as defini¸cões das fun¸cões trigonométricas inversas? Para resolver os Exerc´ıcios 1 e 2 use a defini¸cão das fun¸cões trigonométricas inversas. Caso tenha dificuldade releia o texto e refa¸ca os exemplos. No Exerc´ıcio 3 você deve combinar os resultados dessa aula com o conceito de composi¸cão de fun¸cões, ensinado na Aula 35. Se não conseguiu resolver o Exerc´ıcio 3, deve reestudar a Aula 35.

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