n´ ucleo e semi-n´ ucleo de um grafo

No documento Publicações do PESC Decomposições para Coloração de Arestas e Coloração Total de Grafos (páginas 79-84)

O n´ucleo (core) de um grafo G ´e o subgrafo induzido por seus delta-v´ertices, ou seja, G[Λ(G)]. O semi-n´ucleo (semi-core) de G ´e o subgrafo induzido pelos delta- v´ertices e seus vizinhos, ou seja, G[NG(ΛG)]. Diversos trabalhos [23, 24] investigam a rela¸c˜ao entre a estrutura do n´ucleo de um grafo e o seu ´ındice crom´atico. Usamos os resultados da Se¸c˜ao 7.2 para mostrar como o n´ucleo e o semi-n´ucleo de um grafo podem fornecer informa¸c˜ao sobre o ´ındice crom´atico deste grafo.

O Teorema 28 enuncia que o ´ındice crom´atico de um grafo ´e igual ao ´ındice crom´atico de seu semi-core. A demonstra¸c˜ao do Teorema 28 faz uso de um outro resultado a respeito da uni˜ao de grafos na qual o grafo resultante possui grau m´aximo igual ao maior dos graus m´aximos dos operandos. A Proposi¸c˜ao 4 d´a uma condi¸c˜ao suficiente para que o grafo uni˜ao, neste caso, seja Classe 1.

Proposi¸c˜ao 4 (Machado e Figueiredo — Proposi¸c˜ao 10 de [30]) Seja G = G1∪ G2 o grafo uni˜ao de um grafo G1 = (V, E1) de Classe 1 e um grafo G2 = (V, E2) tais que ∆(G) = ∆(G1). Se ΛG = ΛG1 nenhuma aresta de G2 possui ambos os extremos

Esbo¸co. Adiciona-se a G1 as arestas de G2 em uma seq¨uˆencia tal que ´e sem- pre poss´ıvel aplicar o Lemma 23, obtendo-se, a cada adi¸c˜ao de aresta, um grafo Classe 1. 

A partir da Proposi¸c˜ao 4, ´e poss´ıvel mostrar que o ´ındice crom´atico de um grafo depende apenas de seu semi-core.

Teorema 28 (Machado e Figueiredo — Teorema 11 de [30]) Para todo grafo G, vale χ0(G) = χ0(G[N

G(ΛG)]).

Esbo¸co. Aplique a Proposi¸c˜ao 4 a G[NG(ΛG)] e G0 = (V (G), E(G) \ E(G[NG(ΛG)])). 

Os resultados da presente se¸c˜ao encontram conex˜oes com resultados cl´assicos de colora¸c˜ao de arestas. Considere o seguinte teorema de Hilton e Cheng.

Teorema 29 (Hilton e Cheng [23]) Seja G = (V, E) um grafo conexo Classe 2 com ∆(G[ΛG])≤ 2. Ent˜ao:

1. G ´e cr´ıtico (ou seja, a exclus˜ao de qualquer aresta torna G um grafo Classe 1);

2. δ(G[ΛG]) = 2;

3. δ(G) = ∆(G)− 1 exceto se G for ciclo ´ımpar; e

4. AdjG(ΛG) = V .

Mostramos que a ´ultima afirmativa do Teorema 29 ´e, na verdade, conseq¨uˆencia das duas primeiras. Considere a seguinte proposi¸c˜ao e seu corol´ario imediato.

Proposi¸c˜ao 5 (Machado e Figueiredo — Proposi¸c˜ao 13 de [30]) Se G = (V, E) ´e grafo cr´ıtico, ent˜ao G[NG(ΛG)] = G.

Corol´ario 7 (Machado e Figueiredo — Corol´ario 14 de [30]) Seja G = (V, E) um grafo cr´ıtico. Se G[ΛG] n˜ao possui v´ertice isolado, ent˜ao AdjG(ΛG) = V .

Corol´ario 7 mostra que a ´ultima afirmativa do Teorema 29 n˜ao depende do fato de G[ΛG] possuir grau m´aximo 2 ou menos, mas sim, segue da criticalidade de G e do fato de que δ(G[ΛG]) = 2 ≥ 1 (o que implica que G[ΛG] n˜ao possui v´ertice isolado).

7.5

Considera¸c˜oes finais

Decomposi¸c˜ao Desconexo-Bipartida. Sabemos que ´e sempre poss´ıvel decompor um grafo G como a uni˜ao entre um grafo desconexo DG(VL, VR) e um grafo bipartido BG(VL, VR). Para mostrar que determinado grafo G = (V, E) ´e Classe 1, pode- se aplicar a estrat´egia de encontrar uma parti¸c˜ao (VL, VR) de V com as seguintes propriedades:

1. ∆(G[VL]) > ∆(G[VR]), e

2. ΛBG(VL,VR)∩ ΛGL 6= ∅.

Se a primeira condi¸c˜ao ´e satisfeita, todo delta-v´ertice deDGest´a em VL. Al´em disso,, todo vizinho de delta-v´ertice de DG est´a, tamb´em, em VL, ou seja, NDG(ΛDG)⊂ VL.

Assim, toda aresta de BG – um grafo Classe 1 – possui ao menos um extremo fora de NDG(ΛDG), a saber, o extremos em VR. Al´em disso, a segunda condi¸c˜ao garante

∆(G) = BG(VL, VR) + DG(VL, VR). Dessa forma, as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 3 s˜ao satisfeitas. Denominamos tal parti¸c˜ao especial como C1-DB-Decomposi¸c˜ao. Se um grafo G possui uma C1-DB-Decomposi¸c˜ao, ent˜ao G ´e Classe 1. Esta estrat´egia foi aplicada para encontrar grafos join e grafos cobipartidos Classe 1. Logo, uma quest˜ao natural ´e: pode esta estrat´egia ser aplicada a grafos Classe 1 mais gerais? A Figura 7.4 mostra um exemplo de C1-DB-decomposi¸c˜ao de um grafo.

Figura 7.4: Examplo de C1-DB-decomposi¸c˜ao.

Apesar de possuir uma C1-DB-Decomposi¸c˜ao ser suficiente para ser Classe 1, existem grafos Classe 1 que n˜ao possuem C1-DB-Decomposi¸c˜ao – considere, por

exemplo o 4-ciclo G = C4. Seria interessante, ent˜ao, saber para que classes de grafos possuir uma C1-DB-Decomposi¸c˜ao ´e equivalente a ser Classe 1, e se existe algoritmo polinomial para determinar a existˆencia de tal parti¸c˜ao – pelo menos para aquelas classes de grafos. O problema pode ser visto como um problema de decis˜ao cuja entrada ´e um grafo G e cuja resposta ´e SIM se, e somente se, G possui uma C1-DB-Decomposi¸c˜ao.

Cap´ıtulo 8

Conclus˜ao

8.1

Considera¸c˜oes Finais

A principal contribui¸c˜ao desta tese ´e o desenvolvimento de m´etodos e t´ecnicas para colora¸c˜ao de arestas e colora¸c˜ao total utilizando resultados de decomposi¸c˜ao tradici- onalmente aplicados `a colora¸c˜ao de v´ertices. Nesta linha, utilizamos decomposi¸c˜oes baseadas em cortes clique, cortes est´aveis e opera¸c˜oes join de modo a obter resulta- dos in´editos de colora¸c˜ao de arestas e colora¸c˜ao total em classes como partial-grids, outerplanares, unichord-free (e subclasses), grafos join e cobipartidos. Tamb´em s˜ao de grande valor resultados que mostram condi¸c˜oes em que tais decomposi¸c˜oes n˜ao s˜ao ´uteis aos problemas de colora¸c˜ao de arestas e colora¸c˜ao total, como ´e o caso dos resultados de NP-completude obtidos nesta tese. Neste sentido, este traba- lho ´e, tamb´em, um trabalho sobre a complexidade de problemas de colora¸c˜ao. De fato, apresentamos resultados bastante interessantes, especialmente aqueles ligados `a classe dos grafos {square,unichord}-free. Tal classe, al´em de diferenciar a com- plexidade de colora¸c˜ao de arestas de acordo com o grau m´aximo — NP-completo para grau m´aximo 3, e polinomial para os outros casos — funciona como uma classe separadora para os problemas de colora¸c˜ao total e colora¸c˜ao de arestas — uma classe supreendente cujos grafos s˜ao todos Tipo 1 mas o problema de colora¸c˜ao de arestas ´e NP-completo. Tamb´em foi obtido interessante resultado que relaciona os problemas de colora¸c˜ao de v´ertices e colora¸c˜ao de arestas — a NP-completude de colora¸c˜ao de arestas restrita a grafos 3-color´ıveis. Tais resultados certamente possibilitam uma melhor percep¸c˜ao a respeito da rela¸c˜ao — e da independˆencia — entre estes trˆes

problemas cl´assicos de colora¸c˜ao. De fato, ao final desta tese, podemos construir uma pequena tabela que deixa bem clara a independˆencia entre os problemas de colora¸c˜ao — ou seja, como a resolu¸c˜ao de um problema n˜ao necessariamente fornece informa¸c˜ao para a solu¸c˜ao de outro.

Classe col. de v´ertices col. de arestas col. total

grafos NP-completo NP-completo NP-completo

grafos tripartidos Polinomial NP-completo NP-completo grafos bipartidos Polinomial Polinomial NP-completo grafos {square,unichord}-free Polinomial NP-completo Polinomial Tabela 8.1: Complexidade dos problemas de colora¸c˜ao restritos a classes de grafos.

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