Um Caso Particular: Teoria Axiom´ atica de Con-

Um caso particular que devemos salientar ´e como a identidade ´e usualmente tratada na teoria axiom´atica de conjuntos (tomaremos o caso particular da teoria de Zermelo-Fraenkel (ZF)). Seja ZF uma teoria formada a partir de uma l´ogica elementar (de primeira ordem) com identidade.45

44_{Devemos notar que “=}

def” ´e uma abrevia¸c˜ao para “´e, por defini¸c˜ao”, sendo

este s´ımbolo metate´orico, n˜ao pertencendo assim `a linguagem objeto de an´alise.

45_{Como vimos anteriormente, a identidade, simbolizada por “=”, ´e tomada como}

um s´ımbolo n˜ao-l´ogico que adicionamos em uma linguagem elementar como especi- fico da teoria que estamos tratando. Aqui, no entanto, vamos assumir a identidade

Seja, portanto, £ uma linguagem de primeira ordem contendo um conjunto adequado de conectivos proposicionais, quantificadores, vari´aveis individuais, s´ımbolos auxiliares (como os de pontua¸c˜ao). Al´em do alfabeto da l´ogica elementar, adicionemos a essa linguagem um s´ımbolo que representa um conceito espec´ıfico de ZF, que ser´a a per- tinˆencia (simbolizada por “∈”).46_{Teremos agora os axiomas da l´ogica} elementar de primeira ordem (com os axiomas que regem a identidade, i.e., o Axioma da Reflexividade e o Axioma da Substitui¸c˜ao Salva Ve- ritate), e adicionaremos os axiomas de ZF. Um axioma de ZF em par- ticular ´e o chamado Axioma da Extensionalidade:

A.E.: ∀A∀B(∀X(X ∈ A ↔ X ∈ B) → A = B)

Esse axioma diz que, dado dois conjuntos A e B, se todos os ele- mentos (denotados por “X”)47_{que pertencem a A tamb´em pertencem} a B, ent˜ao os conjuntos A e B s˜ao idˆenticos. Ou seja, a identidade de um conjunto ´e determinada pelos elementos que a ele pertencem. Se dois conjuntos tˆem os mesmos elementos, ent˜ao s˜ao o mesmo conjunto. Devemos notar que a identidade ´e usada nesse axioma, de modo que nesta formula¸c˜ao do Axioma da Extensionalidade a identidade ´e assumida como j´a definida (ou primitiva) para a l´ogica que serve de base para a cria¸c˜ao da teoria — no caso, como j´a dito acima, tomamos a identidade como primitiva para a l´ogica elementar.48

Atrav´es do Axioma da Substitui¸c˜ao Salva Veritate, que j´a as- sumimos em nossa linguagem, podemos obter a f´ormula conversa do Axioma da Extensionalidade:

Conversa do A.E.: ∀A∀B(A = B → ∀X(X ∈ A ↔ X ∈ B)) Em alguns tratamentos da teoria axiom´atica de conjuntos se as- sume como base uma l´ogica elementar sem identidade. Ou seja, n˜ao ter´ıamos a identidade como s´ımbolo da l´ogica, tampouco os axiomas da Reflexividade e da Substitui¸c˜ao Salva Veritate. Nesta teoria subja- cente, portanto, n˜ao poder´ıamos expressar rela¸c˜oes de identidade entre

como um s´ımbolo l´ogico.

46_{A compreens˜ao de predicados como conjuntos ´e usual para teorias extensionais,}

como ZF, em virtude do Axioma da Separa¸c˜ao: ∃y∀x(x ∈ y ↔ P (x))

47_{Na teoria ZF s´o existem conjuntos, de modo que X ´e compreendido como um}

conjunto. Veremos `a frente como lidarmos com uma teoria que, al´em de conjuntos, h´a ´atomos (ou Urelemente, tal como chamava Zermelo), que seriam objetos que podem ser elemento de conjuntos, mas que n˜ao s˜ao eles mesmos conjuntos.

48_{Poder´ıamos definir o conceito de identidade, em uma l´ogica elementar, atrav´es}

do M´etodo de Quine. Mas, por ser mais usual assumir a identidade como conceito primitivo em uma linguagem de primeira ordem, preferimos esta formula¸c˜ao.

seus termos. Nesse caso, o Axioma da Extensionalidade seria exposto como uma defini¸c˜ao particular do conceito da identidade.49 Ter´ıamos ent˜ao, ao inv´es do Axioma da Extensionaldiade, a seguinte defini¸c˜ao:

Def. de Identidade (ZF): (A = B) =def∀X(X ∈ A ↔ X ∈ B) Com isso dizemos que dois conjuntos s˜ao idˆenticos (por defini¸c˜ao) quando compartilham os mesmos elementos. Atrav´es da defini¸c˜ao ante- rior e do Axioma da Extensionalidade n´os conseguimos obter as propri- edades de reflexividade, simetria, transitividade e substitutividade da identidade (o que a caracteriza como uma rela¸c˜ao de congruˆencia).50

H´a, no entanto, axiomatiza¸c˜oes alternativas de ZF. Como dito anteriormente, tudo o que ´e postulado em ZF s˜ao conjuntos. Todavia, podemos assumir a existˆencia de ´atomos (Ou “ur-elementos”), que se- riam elementos de conjuntos, mas que n˜ao s˜ao eles mesmos conjuntos. Deste modo, n˜ao faz sentido dizermos X ∈ A, se A for um ´atomo; enquanto que faz sentido dizermos que A ∈ X (se X for um con- junto).51 _{Podemos construir ZF com ´atomos (geralmente chamada de} “ZFU”), no entanto precisamos alterar os axiomas usuais, os adequando a existˆencia de ´atomos. O Axioma da Extensionalidade, em ZFU, de- ver´a ser:52

A.E. com ´atomos ∀cA∀cB∀x[(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B] Onde se compreende ∀ccomo uma qualifica¸c˜ao do quantificador, que determina que esse quantificador opera apenas sobre conjuntos. Dito de outro modo, para todo conjunto A e todo conjunto B, se todo elemento x que pertence a A tamb´em pertence a B, ent˜ao A ´e idˆentico a B. Devemos notar que nesta formula¸c˜ao n´os n˜ao assumimos que os elementos dos conjuntos, denotado por x, s˜ao ou n˜ao conjuntos, de modo que ∀x quantifica tanto sobre conjuntos como tamb´em sobre ´atomos.

Podemos agora questionar que o Axioma da Extensionalidade em uma teoria dos conjuntos com ´atomos oferece um crit´erio de identidade apenas para conjuntos. Pois A e B s˜ao idˆenticos uma vez que tenham os mesmos elementos; mas ´atomos, por defini¸c˜ao, n˜ao tˆem elementos. Qual seria, portanto, o crit´erio de identidade para ´atomos? Enquanto

49_{Particular pois seria o modo como a identidade seria definida em ZF, e n˜ao}

como ela seria definida para a l´ogica elementar subjacente.

50_{ver se¸c˜ao A.3 no Apˆendice (pp. 109).}

51_{N˜ao devemos confundir um ´atomo com o conjunto-vazio, que n˜ao tem elemen-}

tos. Ainda que ´atomos n˜ao tenham elementos, eles tˆem uma natureza diferente do conjunto-vazio (que ´e um conjunto).

que conjuntos s˜ao idˆenticos se tiverem os mesmos elementos (sejam eles ´

atomos ou conjuntos); ´atomos s˜ao idˆenticos se pertencerem aos mesmos conjuntos. Toma-se como axioma, ent˜ao:

Id. de ´Atomos ∀y∀x[(x = y) ↔ ∀cA(x ∈ A ↔ y ∈ A)]

Devemos notar que isso ´e obtido como teorema para uma teoria dos conjuntos axiomatizada a partir de uma linguagem com identidade. Haja vista que, como dito, predicados s˜ao compreendidos como con- juntos (pelo Axioma da Separa¸c˜ao ou axioma equivalente), e tamb´em compreendemos a identidade entre dois termos como terem os mesmos predicados, de modo que quaisquer objetos x e y que tiverem os mes- mos predicados (ou seja, forem elementos dos mesmos conjuntos), ser˜ao idˆenticos. Todavia, se axiomatizarmos ZFU em uma l´ogica elementar sem identidade, deveremos ent˜ao introduzir a identidade atrav´es da combina¸c˜ao do Axioma da Extensionalidade com ´atomos e da Identi- dade de ´Atomos em uma defini¸c˜ao que introduza o s´ımbolo da identi- dade. Algo como:

(x = y) =def ∀z[(x ∈ z ↔ y ∈ z) ∧ ∀u(u ∈ x ↔ u ∈ y)]53