Linha de Pesquisa: Métodos Numéricos.

1 Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, wesley@sc.usp.br

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, persival@sc.usp.br

Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença 166

1 INTRODUÇÃO

O trabalho proposto tem por objetivo oferecer contribuições para o desenvolvimento e implementação computacional de uma formulação variacional não-convencional para PVC, denominada de Formulação Híbrida de Tensão (FHT).

O tema tem origem na idéia de aplicação da técnica de enriquecimento nodal de aproximações para a formulação Híbrido-mista de Tensão (FHMT), proposto em Pimenta, Proença e Freitas (2002). Sobre essa formulação, em Góis (2004) e Góis e Proença (2005) apresentam-se, em particular, os fundamentos teóricos para análise das condições necessárias e suficientes que garantam convergência de soluções aproximadas. O enriquecimento nodal apresenta a vantagem de evitar custosos procedimentos de refinamento da malha de elementos.

Nesta pesquisa desenvolve-se um estudo similar, tanto teórico quanto de implementação computacional e aplicação da técnica de enriquecimento nodal, porém restrito à FHT. Entre as vantagens da FHT sobre a FHMT estão a redução do sistema de equações resolvente e a possibilidade de recurso às aproximações de tensão auto-equilibradas. Em princípio impõe-se continuidade sobre os campos de deslocamentos nos contornos entre elementos, para isso explorando-se funções partição da unidade.

Entretanto, outro aspecto do trabalho consiste em impor, opcionalmente, também a continuidade de forças.

Os enriquecimentos testados incluem funções polinomiais e funções que se assemelham as soluções clássicas da Mecânica da Fratura Elástica Linear. A análise dos aspectos matemáticos relacionados a condições necessárias e suficientes para estabilidade e convergência das soluções obtidas para a FHT com enriquecimento nodal, fundamenta-se na implementação numérica da condição de Babuška-Brezzi (Babuška,1971; Brezzi, 1974).

2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÃO PARA ELASTICIDADE

A Equação (1) apresenta o funcional da Energia Potencial Complementar numa forma Híbrida de Tensão escrita para um elemento finito de volume Ω e contorno Γ, sendo ainda Γt a parte do contorno com forças prescritas.

Imaginando-se o domínio Ω de um sólido dividido em n subdomínios

e deslocamentos sobre Γi (fronteira interna de cada elemento), N é a matriz construída com as componentes do vetor normal tanto para os contornos internos quanto o externo, f representa a matriz de flexibilidade para materiais elásticos lineares isótropos e t é o vetor das forças superficiais aplicadas na parte Γt do contorno externo.

Elementos finitos híbridos de tensão com enriquecimento nodal

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 165-168, 2006 167

Considerem-se as seguintes aproximações para os campos de tensão σ e deslocamento u : i

U são, respectivamente, matrizes que guardam aproximações das tensões e deslocamentos; s e

Γi

q são, respectivamente, vetores que guardam os pesos das aproximações das tensões e deslocamentos. Impondo-se a condição de estacionariedade do funcional dado na Eq. (1), gera-se o sistema de equações lineares que governa a FHT:

i

Na Eq. (3) foram introduzidas as seguintes matrizes:

T

O enriquecimento das aproximações pode ser imposto sobre cada um dos campos isoladamente. Entretanto, devem ser observadas certas restrições sobre o número de variáveis de tensão e deslocamento de modo a preservar aspectos de estabilidade, convergência e unicidade de solução. Neste estudo, as combinações empregadas no enriquecimento tiveram sua estabilidade analisada numericamente (teste “inf-sup”) mediante a condição de Babuška-Brezzi. O gráfico da Figura 1 ilustra um resultado típico de análise de estabilidade por meio do teste “inf-sup”.

-3,20

Aproximação constante para o campo de tensão Aproximação linear para o campo de tensão Aproximação quadrática para o campo de tensão

Figura 1 – Resultados do teste “inf-sup” para malhas regulares sem enriquecimento.

3 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS

A técnica do MEF foi aplicada à FHT com elementos planos quadrilaterais de quatro nós. O enriquecimento nodal com solução para Fratura Linear foi explorado com sucesso. Representa-se na Figura 2, a tensão na direção x ,

( )

σx , de uma chapa plana com fenda central analisada com a FHT e o enriquecimento nodal.

Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença 168

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

( )

σx Sigma x

Figura 2 – Tensão na direção x

( )

σx - chapa tracionada com fenda.

Os testes atualmente em desenvolvimento incluem: análises de estabilidade para diferentes combinações de funções, configurações de malha e imposição de condições de continuidade sobre os campos de tensão.

4 CONCLUSÕES PARCIAIS

Soluções obtidas com o elemento quadrilateral híbrido de tensão com enriquecimento nodal, mostraram-se estáveis para as combinações de enriquecimento dos campos envolvidos na FHT que passaram no teste “inf-sup”. A alternativa numérica em estudo apresenta grande potencial para a solução, com precisão numérica e reduzido custo computacional, de problemas que envolvem concentrações de tensão, ou que exigem rigorosa definição das distribuições de tensão.

5 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro concedido.

6 REFERÊNCIAS

PIMENTA, P. M.; PROENÇA, S. P. B.; FREITAS, J. A. T. (2002). Elementos finitos híbridos mistos com enriquecimento nodal, In: PROCEEDINGS OF MÉTODOS NUMÉRICOS EM INGENIERÍA, 5., SEMNI.

GÓIS, W. (2004). Método dos elementos finitos generalizados em formulação variacional mista. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo.

GÓIS, W.; PROENÇA, S. P. B. (2005). Generalized finite element method in mixed variational formulation: a study of convergence and stability. In: ECCOMAS THEMATIC CONFERENCE ON MESHLESS METHODS, Lisboa, 2005. Proceedings… v.1, p. B 22.1 - B 22.8.

BABUŠKA, I. (1971). Error bounds for finite element methods. Numerische Mathematik, v.16, p. 322-333.

BREZZI, F. (1974). On the existence, uniqueness and approximation of saddle point problems arising from lagrange multipliers. RAIRD, v.8 (r-2), p. 127-151.

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 169-172, 2006

ANÁLISES PORO-ELASTO-PLÁSTICAS DE SÓLIDOS

No documento UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitor: Profa. Titular SUELY VILELA SAMPAIO. Vice-Reitor: Prof. Titular FRANCO MARIA LAJOLO (páginas 177-181)

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