O comportamento assintótico das soluções aparece tipicamente em sistemas dissi- pativos e é caracterizado pela existência de atratores (SAVI, 2006). Em termos simples, um atrator pode ser definido como um conjunto invariante em que órbitas próximas convergem após um tempo suficientemente longo. A ideia de atrator remete a noção de estabilidade quando o interesse é analisar o comportamento assintótico das soluções. Conforme SAVI (2006), esse tipo de comportamento possui algumas características próprias, e para isso são utilizadas algumas novas definições com objetivo de classificar os tipos de respostas e de atratores que um sistema dinâmico pode apresentar. As definições apresentadas a seguir podem ser encontradas em (WIGGINS, 2003; SAVI, 2006).
Definição 2.7.1(Pontoωlimite). Um pontoq∈Rn é um pontoω-limite de um pontopse existe uma sequênciaφ(t1,t0,p),φ(t2,t0,p), . . .tal queφ(t,t0,p)→qquando t→ ∞.
O conjunto formado por todos os pontosω-limite de um sistema recebe o nome de conjuntoω-limite e é denotado porω(p).
Definição 2.7.2(Pontoαlimite). Um pontoqé um pontoα-limite de um pontopse existe uma sequênciaφ(t1,t0,p),φ(t2,t0,p), . . .tal queφ(t,t0,p)→qquando t→ −∞.
Similarmente, o conjunto formado por todos os pontosα-limite de um sistema recebe o nome de conjuntoα-limite e é denotado porα(p).
Os conceitos definidos estão relacionados com os regimes permanentes do sistema.
Para exemplificar esses conceitos, considere o ponto de equilíbrio do tipo sela da Figura 8.
Figura 8 – Ponto de equilíbrio como pontoω-limiteeα-limite.
O pontoqé um pontoω-limiteω(p) sep∈Ws(q). Da mesma forma, um pontoqé um pontoα-limiteα(p) sep∈Wu(q). Para compreensão da sequencia de pontosti, de modo que um pontopevolui para o pontoqquandot→ ∞, considere a órbita limite da ilustrada na Figura 9. Nessa figura,qé um exemplo de pontoω-limite dep. Os conjuntosωeα−l i mi t e são uma propriedade da órbita ou da trajetória de um ponto e não do ponto em si.
Figura 9 – Ciclo limite com pontoω-limite. Fonte: SAVI (2006)
Em Wiggins (2003), Zhang, Liu e Wang (2009) um atrator é definido por meio de outras definições como conjuntos invariantes, conjuntos atrativos e transitividade topológica. A definição de atrator utilizada aqui é apresentada em (SAVI, 2006).
Definição 2.7.3(Atrator). Um conjunto invariante fechado L⊂Rné chamado de Atrator se existir uma vizinhança U de L tal que:
∀x∈U e∀t≥0⇒φ(x,t)∈U e limt→∞φ(x,t)→L.
Em um conjunto invariante, qualquer trajetóriax(t) que começa emL, permanece em Lpara todo tempo. O conjuntoLatrai um conjunto aberto de condições iniciais. Em outras palavras, existe um hipervolumeUque contémL, tal que, para qualquer condição inicialx(0) pertencente aU, a distância entre a trajetóriax(t) eLtende a zero quantot→ ∞.
Em sistemas com mais de um ponto de equilíbrio, a solução pode ir em direção a diferentes atratores dependendo da condição inicial. A bacia de atração é definida por um conjunto de condições iniciais onde a trajetória do fluxo se acumula, conforme (SAVI, 2006) define.
Definição 2.7.4(Bacia de atração). A bacia de atração de um atrator L é dada por:
S
t≤0φ(U,t), onde U é uma vizinhança de L.
A Figura 10 ilustra duas regiões de atração distintas associadas aos dois atratores do sistemas. Soluções com condições iniciais contidas na região hachurada são atraídas para o atrator presente no semi-plano esquerdo, enquanto que soluções iniciam na região em branco são atraídas para o atrator do semi-plano esquerdo.
Figura 10 – Bacias de Atração distintas identificadas pelas regiões A (branca) e B (hachurada).
2.7.1 Atratores e Repulsores em R
3Os atratores e repulsores de um sistema dinâmico podem possuir qualquer dimensão, desde que estejam contidos emRn. As possibilidades de existência em um sistema tridimen- sional são:
(i) Pontos de Equilíbrio
Os pontos de equilíbrio são atratores ou repulsores de dimensão zero (SAVI, 2006).
Viu-se que é possível determinar a estabilidade local de sistemas dinâmicos não lineares a
partir da análise dos pontos de equilíbrio hiperbólicos.
(ii) Ciclo Limite
Ciclos limite são atratores ou repulsores unidimensionais e as soluções ao longo do tempo são caracterizadas por um comportamento oscilatório e periódico com amplitude e frequências bem definidas. Monteiro (2006) define um ciclo limite da seguinte forma:
Definição 2.7.5(Ciclo Limite). Um ciclo limite é um órbita associada a uma trajetória fechada e isolada, que pode ocorrer no retrato de fases de sistemas não lineares.
Conforme Upadhyay e Iyengar (2013) expõe, normalmente é difícil dizer se um dado sistema tem um ciclo limite ou quaisquer órbitas fechadas a partir do estudo das equações por métodos analíticos. Segundo o autor, sistemas linearizados podem não fornecer qualquer indicação da existência de ciclos limite.
Conforme apresentado em Monteiro (2006), existem alguns critérios e teoremas, como exemplo oteorema de Poincaré-Bendixon, que fornecem pistas sobre a localização do ciclo limite em um espaço bidimensional caso ele exista. Para sistemas tridimensionais a constatação da existência desse atrator será verificada por simulações numéricas.
No retrato de fases, as trajetórias próximas a um ciclo limite podem aproximar-se ou afastar-se de sua órbita, diferentemente dos pontos de equilíbrio de dimensão zero, em que as trajetórias aproximam-se ou afastam-se de um ponto, e não de uma órbita. De acordo com Monteiro (2006), um ciclo limite pode ser classificado conforme sua estabilidade. Ele é dito assintoticamente estável se as trajetórias próximas, internamente ou externamente, se aproximam de sua órbita. Instável se as trajetórias próximas se afastam. Semiestável se as trajetórias vizinhas se aproximam de sua órbita por um lado, seja externo ou externo, e afastam-se pelo outro lado. A Figura 11 ilustra a forma de um ciclo limite e suas estabilidades conforme apresentado em Monteiro (2006).
Figura 11 – Ciclo Limite: (a) Assintoticamente estável; (b) Instável; (c) Semi-estável. Fonte:
Layek (2015).
(iii) Superfície Toroidal
A dinâmica de um toro é caracterizado por um comportamento periódico e quase- periódico. Diferentemente do ciclo-limite, a evolução desse sistema é composta por duas frequências fundamentais independentes cuja razão é irracional (ZHANG; LIU; WANG, 2009).
(iv) Atrator Estranho
O conceito de atrator estranho foi introduzido por Ruelle e Takens em 1971 em estudos sobre a natureza do fenômeno de turbulência (ARGYRIS et al., 2015). A palavra "estranho"
tem o intuito de deixar claro que esse atrator não é um ponto de equilíbrio, um ciclo limite e nem um toro.
Conforme SAVI (2006), a estranheza de um atrator está relacionada com sua dimensão fractal. As trajetórias de um sistema podem convergir para atratores que são caóticos e estranhos, para atratores caóticos que não são estranhos ou para atratores estranhos que não são caóticos. Usualmente nas literaturas abordadas é feita a associação de atratores caóticos que são estranhos, e sua dimensão fractal consiste em uma propriedade básica de um atrator (SAVI, 2006). Ainda segundo o autor, a estranheza consiste de uma característica geométrica, enquanto o caos é uma característica física. Conforme Shivamoggi (2014), a dimensão fractal de um atrator é uma condição necessária para o caos, e como será visto posteriormente, um expoente positivo de Lyapunov uma condição suficiente, desde que as soluções sejam limitadas no espaço de estados. Dessa forma é possível distinguir um atrator estranho caótico ou não pelo máximo expoente de Lyapunov.