Os investidores em títulos cruzam os dedos quando as taxas de juros do mercado caem, para que haja um aumento nos preços de seus títulos. Se eles não têm sorte, e se as taxas de juros sobem repentinamente, o valor de seus investimentos diminui.
Uma mudança nas taxas de juros tem somente um impacto modesto no valor dos fluxos de caixa de curto prazo, mas um impacto muito maior no valor dos de longo prazo. Portanto, o preço dos títulos de longo prazo é afetado muito mais pelas alterações nas taxas de juros do que o preço dos títulos de curto prazo. Compare, por exemplo, as duas curvas da Figura 3.3. A linha preta mostra as variações de preço de uma obrigação de 4,875% de três anos; a linha verde, as de um título de 4,875% de 30 anos. Você pode verificar que o segundo é muito mais sensível a flutuações nas taxas de juros do que a primeira.
qual denominamos T. O peso de cada ano é o valor presente do fluxo de caixa recebido naquele tempo dividido pelo valor presente total do título.
C C C T C
1 VP( ) VP
2 VP( ) VP
3 VP( ) VP
VP( ) VP
T
1 2 3
= × + × + × + + ×
Duração
O Quadro 3.2 mostra como calcular a duração para os títulos OATs franceses, que vencem em 2012. Primeiro, avaliamos cada um dos três pagamentos de cupons anuais de €8,50 e o paga- mento final do cupom mais o valor de face de €108,50. É certo que os valores presentes desses pagamentos somam ao preço do título, de €120,44. Portanto, calculamos a fração do preço que responde individualmente pelos fluxos de caixa e multiplicamos cada fração pelo ano do fluxo de caixa. A soma dos resultados englobou uma duração de 3,60 anos.
O Quadro 3.3 exibe os mesmos cálculos para os títulos do Tesouro norte-americano de 111/4% que vencem em fevereiro de 2015. O valor presente de cada pagamento é calculado utilizando um retorno até o vencimento de 2%. Recalculamos a fração do preço que responde individualmente pelos fluxos de caixa e multiplicamos cada fração pelo ano. Os cálculos pare- cem mais formidáveis do que no Quadro 3.2, mas somente porque a data de vencimento final é 2016, e não 2012, e os cupons são pagos semestralmente. Portanto, no Quadro 3.3, temos de controlar 12 datas em vez de quatro. A duração desses títulos equivale a 4,83 anos.
Deixamos para que você calcule durações para os outros dois títulos do Quadro 3.1. Você descobrirá que a duração aumenta a 5,43 anos para os títulos 4 com vencimentos para 2015.
A duração do strip é exatamente de seis anos, a mesma que a de seu vencimento. Como não há cupons, todo o valor do strip deriva do pagamento do capital no sexto ano.
Mencionamos que os investidores e gestores financeiros controlam a duração, pois ela mede como os preços dos títulos variam quando há variações nas taxas de juros. Para esse propósito, é mais conveniente utilizarmos a duração modificada ou volatilidade, que é simplesmente a dura- ção dividida por um mais o retorno até o vencimento.
Duração modificada = volatilidade (%) = duração 1 + rendimento
A duração modificada mede a alteração porcentual no preço do título em virtude de uma alteração de um ponto percentual no retorno.6 Vamos testar essa fórmula para o título OAT do Quadro 3.2.
6 Em outras palavras, a derivada do preço do título em relação à variação no retorno até o vencimento é dPV/dy = – duração/(1 + y)
= – duração modificada.
◗
QUADRO 3.2 Cálculo da duração para os OATs franceses com vencimento em 2012. O retorno até o vencimento é de 3% por ano.Ano (t) 1 2 3 4
Pagamento (Ct ) €8,50 €8,50 €8,50 €108,50
VP(Ct ) a 3% €8,25 €8,01 €7,78 €96,40 VP = €120,44
Fração do valor total [VP(Ct )/VP] 0,069 0,067 0,065 0,800 Ano × Fração do valor total
[t × VP(Ct )/VP]
0,069 0,133 0,194 3,202 Total = duração = 3,60
◗
QUADRO 3.1 Uma comparação dos fluxos de caixa e preços de três títulos do Tesouro em fevereiro de 2009, considerando-se um retorno até o vencimento de 2%.Preço (%) Fluxos de caixa (%)
Título Fev. 2009 Ago. 2009 Fev. 2010.., ...Ago. 2014 Fev. 2015
Strip p/ Fev. 2015 88,74 0 0... ...0 100,00
4s de Fev. 2015 111,26 2,00 2,00... ...2,00 102,00
11 1/4s de Fev. 2015
152,05 5,625 5,625... ...5,625 105,625
Nota: Todos os três títulos vencem em fevereiro de 2015.
A duração modificada do título é a duração/(1 + retorno) = 3,60/1,03 = 3,49%. Isso significa que uma alteração de 1% no retorno até o vencimento deve alterar o preço do título em 3,49%.
Vamos verificar essa previsão. Considere que o retorno até o vencimento aumente ou diminua em 0,5%:
Retorno até o vencimento Preço Alteração (%)
3,5% 118,37 – 1,767
3,0 120,44 –
2,5 122,57 + 1,726
A diferença total entre o preço a 2,5% e a 3,5% é 1,767 + 1,726 = 3,49%. Portanto, uma alteração de 1% nas taxas de juros significa uma alteração de 3,49% no preço do título, con- forme previsto.
A duração modificada para o título do Tesouro norte-americano de 111/4% do Quadro 3.3 é 4,83/1,02 = 4,74%. Em outras palavras, uma alteração de 1% no retorno até o vencimento resulta em uma alteração de 4,74% no preço do título. As durações modificadas para os outros títulos do Quadro 3.1 são maiores, o que significa maior exposição do preço a alterações nas taxas de juros. Por exemplo, a duração modificada do strip é 6/1,02 = 5,88%.
Você pode verificar por que a duração (ou duração modificada) é uma medida útil do risco das taxas de juros. Por exemplo, os gestores de investimentos monitoram regularmente a dura- ção dos títulos de suas carteiras para assegurar que eles não estão acarretando riscos indevidos.7
3.3
A estrutura temporal das taxas de juros
Quando explicamos no Capítulo 2 como calcular valores presentes, usamos a mesma taxa de desconto para calcular o valor do fluxo de caixa de cada período. Um único retorno até o venci- mento, y, também pode ser utilizado para descontar todos os futuros pagamentos de um título.
Por muitas razões, utilizar uma única taxa de desconto é uma aproximação perfeitamente acei- tável, mas há também ocasiões em que você precisa reconhecer que as taxas de juros de curto prazo são diferentes das de longo prazo.
A relação entre taxas de juros de curto e longo prazos é chamada estrutura temporal das taxas de juros. Veja o exemplo da Figura 3.4, que mostra a estrutura temporal em dois anos diferentes.
7 A duração da carteira é uma média ponderada da duração dos títulos na própria carteira, e o peso para cada título é a fração da carteira investida nesse título. Repare que, à medida que o tempo passa e as taxas de juros mudam, o gestor da carteira deve recalcular a duração.
◗
QUADRO 3.3 Cálculo da duração para os títulos de 11¼% com vencimento em 2015. O retorno até o vencimento é de 2%.Data Ago.
2009 Fev.
2010 Ago.
2010 Fev.
2011 ... Ago.
2013 Fev.
2014 Ago.
2014 Fev.
2015
Ano (t ) 0,5 1,0 1,5 2,0 ... 4,5 5,0 5,5 6,0
Pagamento (Ct ) 5,63 5,63 5,63 5,63 ... 5,63 5,63 5,63 105,625
VP(Ct ) a 2% 5,57 5,51 5,46 5,41 ... 5,14 5,09 5,04 93,74 VP = 152,05
Fração do valor total [VP(Ct )/VP]
0,0366 0,0363 0,0359 0,0355 ... 0,0338 0,0335 0,0332 0,6165
Ano × Fração do valor total [t × VP(Ct )/VP]
0,0183 0,0363 0,0539 0,0711 ... 0,1522 0,1674 0,1824 3,6988 Total = duração = 4,83
Duração (anos) = 4,83
Repare que no último ano a estrutura temporal teve uma queda; as taxas de juros de longo prazo eram menores que as de curto prazo. No ano anterior, o padrão era inverso, e os títulos de longo prazo ofereciam uma taxa de juros muito maior que os de curto prazo. Agora você precisa apren- der a medir a estrutura temporal e entender por que as taxas de curto e longo prazos diferem.
Considere um empréstimo simples que rende $1 ao fim de um ano. Para calcular o valor pre- sente desse empréstimo é necessário descontar o fluxo de caixa pela taxa de juros de um ano, r1:
VP = 1/(1 + r1)
Essa taxa, r1, é chamada taxa à vista de um ano. Para calcular o valor presente de um emprés- timo que rende $1 no fim de dois anos, é necessário descontar pela taxa à vista de dois anos, r2:
VP = 1/(1 + r2)2
O fluxo de caixa do ano 1 é descontado na taxa à vista de um ano de hoje, e o fluxo do ano 2 é descontado na taxa à vista de dois anos de hoje. A série de taxas à vista r1, r2, ..., rn... descreve a estrutura temporal das taxas de juros.
Agora, suponha que você tenha de avaliar $1 pago no fim dos anos 1 e 2. Se as taxas à vista forem diferentes, digamos r1 = 3% e r2 = 4%, então precisamos de duas taxas de desconto para calcular o valor presente:
VP 1
1,03 1
1,042 1,895
= + =
Assim que soubermos que VP = 1,895, podemos continuar para calcular uma taxa de desconto única que daria a resposta correta. Ou seja, poderíamos calcular o retorno até o vencimento pelo cálculo de y na seguinte equação:
y y
VP 1,895 1
(1 ) 1 (1 )2
= =
+ + +
Esse cálculo fornece um retorno até o vencimento de 3,66%. Quando tivermos o retorno, pode- ríamos utilizá-lo para calcular outras anuidades de dois anos. Mas não podemos obter o retorno até o vencimento antes de conhecermos o preço, o qual é determinado pelas taxas de juros à vista para as datas 1 e 2. As taxas à vista têm prioridade, e os retornos até o vencimento vêm depois, após a determinação dos preços dos títulos. Essa é a razão pela qual os profissionais identificam taxas de juros à vista e descontam cada fluxo de caixa na taxa à vista para a data quando o fluxo de caixa for recebido.