(iii) Superfície Toroidal
A dinâmica de um toro é caracterizado por um comportamento periódico e quase- periódico. Diferentemente do ciclo-limite, a evolução desse sistema é composta por duas frequências fundamentais independentes cuja razão é irracional (ZHANG; LIU; WANG, 2009).
(iv) Atrator Estranho
O conceito de atrator estranho foi introduzido por Ruelle e Takens em 1971 em estudos sobre a natureza do fenômeno de turbulência (ARGYRIS et al., 2015). A palavra "estranho"
tem o intuito de deixar claro que esse atrator não é um ponto de equilíbrio, um ciclo limite e nem um toro.
Conforme SAVI (2006), a estranheza de um atrator está relacionada com sua dimensão fractal. As trajetórias de um sistema podem convergir para atratores que são caóticos e estranhos, para atratores caóticos que não são estranhos ou para atratores estranhos que não são caóticos. Usualmente nas literaturas abordadas é feita a associação de atratores caóticos que são estranhos, e sua dimensão fractal consiste em uma propriedade básica de um atrator (SAVI, 2006). Ainda segundo o autor, a estranheza consiste de uma característica geométrica, enquanto o caos é uma característica física. Conforme Shivamoggi (2014), a dimensão fractal de um atrator é uma condição necessária para o caos, e como será visto posteriormente, um expoente positivo de Lyapunov uma condição suficiente, desde que as soluções sejam limitadas no espaço de estados. Dessa forma é possível distinguir um atrator estranho caótico ou não pelo máximo expoente de Lyapunov.
representado agora por
˙
x=fµ(x) (2.30)
em quefµsão funções que dependem do parâmetroµ=(µ1,µ2,· · ·,µn). As soluções desse sistema, assim como a Jacobiana e consequentemente seus autovalores e autovetores estão diretamente relacionadas com esse parâmetro. Segundo Monteiro (2006), ao variar os valores desses parâmetros, pode haver a criação ou destruição de pontos de equilíbrio ou ciclos limite, ou então uma mudança em suas estabilidades, modificando assim a estrutura topológica do retrato de fases, tornado o sistema estruturalmente instável. O ponto onde ocorre essa mudança é chamado ponto de bifurcação.
Um sistema dinâmico que possui um comportamento caótico apresenta bifurcações.
Conforme Hilborn (2000) expõe, existe uma universalidade em comportamentos caóticos, sendo ela as rotas ou transições para o caos que ocorrem por meio das bifurcações, que são divididas em dois grupos, as Bifurcações Locais e as Bifurcações Globais.
As bifurcações locais são aquelas que podem ser previstas através do cálculo dos autovalores da matriz Jacobiana e tratam das mudanças qualitativas de um sistema dinâmico nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio. Já as bifurcações globais provocam uma mudança qualitativa na estrutura das órbitas em uma região do espaço de estados e sua análise não é possível a partir de análises locais (SAVI, 2006).
Segundo Hilborn (2000), nas transições via bifurcação local, ciclos-limite que existem em uma faixa de valores do parâmetro desaparecem dando lugar ao atrator caótico. Nas transições via bifurcações globais o comportamento a longo prazo do sistema é influenciado por pontos de equilíbrio ou ciclos instáveis, bem como por um atrator (ou vários atratores).
Quando um parâmetro é alterado, as trajetórias transitórias, que acabariam por se aproximar do ponto de equilíbrio (ou ciclo), tornam-se cada vez mais complicadas, produzindo o que é chamado de transitórios caóticos. Esses transitórios caóticos eventualmente duram para sempre e o comportamento a longo prazo do sistema é caótico (HILBORN, 2000).
No propósito deste trabalho não é detalhado os tipos de bifurcação e as transições para o caos, mas recomenda-se a leitura do capítulo 8 de Monteiro (2006), tópico 3 de Silva et al. (2015), capítulo 5 de Hilborn (2000) e o sub-capítulo 3.5 de SAVI (2006).
2.8.1 Diagrama de Bifurcação
Uma importante ferramenta de análise de sistemas dinâmicos não lineares é o di- agrama de bifurcação. Através dele é possível identificar a mudança no comportamento dinâmico global do sistema em função da variação de algum parâmetro. Esse diagrama é um gráfico que relaciona o comportamento estacionário dos estados com o parâmetro de bifurcação.
Existem diferentes métodos computacionais de se obter o diagrama de bifurcação. O método de força bruta consiste em obter várias soluções do sistema em uma faixa de valores do parâmetro. Quanto menor for a escala de variação desse parâmetro melhor é a resolução na detecção dos pontos de bifurcação. Um dos procedimentos para se traçar o diagrama de bifurcação consiste em tomar uma seção de Poincaré adequada para avaliar a quantidade de pontos a medida que o parâmetro se altera, sendo os dados transitórios descartados (SAVI, 2006). Utilizando a mesma condição inicial para cada valor do parâmetro, o diagrama captura atratores estáveis coexistentes. Utilizando como condições iniciais da próxima iteração os valores finais dos estados da iteração anterior, reduz-se o transiente do sistema devido ao confinamento das trajetórias no atrator limitado.
Segundo SAVI (2006), um atrator caótico apresenta a característica de possuir uma infinidade de órbitas periódicas instáveis (OPIs) imersas em si e o método de análise do sistema pelo diagrama de bifurcação, obtido por algoritmos de força bruta, não é capaz de detectá-las (SAVI, 2006). Para análise dessas órbitas algoritmos mais sofisticados devem ser utilizados, como exemplo ométodo de continuação numéricaque utiliza algoritmos de predição e correção para determinar as bifurcações (SILVA et al., 2015)
O método numérico utilizado neste trabalho para traçar o diagrama de bifurcação consiste em obter soluções do sistema em cada valor do parâmetro de bifurcação, utilizando como condição inicial da iteração seguinte os últimos valores dos estados da iteração passada.
O pontos que formam o gráfico correspondem aos valores de pico das variáveis de estado em função do parâmetro de bifurcação. Detectando os picos é possível observar como a dinâmica se altera variando-se o parâmetro. Em um movimento periódico, a quantidade de picos está relacionado com a presença de diferentes componentes oscilatórias, sendo o período resultado do mínimo múltiplo comum dos períodos de cada oscilação independente.
Uma densidade elevada de pontos indica vários picos e consequentemente o movimento quase-periódico ou aperiódico, sendo esse último a consequência de uma dinâmica caótica.
Na Figura 12 é ilustrado o diagrama de bifurcação do sistema de Lorenz em termos dos valores máximos dez(t) em função do parâmetro de bifurcaçãob.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0
10 20 30 40 50
Parâmetro de Bifurcação
Máximosdez(t)
Figura 12 – Diagrama de bifurcação do sistema de Lorenz paraσ=10,r=28 e 0<b<1.