2.5 Continuidade

Percebemos na Seção 2.3 que o limite de uma função quando xtende a apode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando o valor da função em a. Funções com essa propriedade são chamadas de contínuas em a. Veremos que a definição matemática de continuidade tem cor- respondência bem próxima ao significado da palavra continuidade no uso comum. (Um pro- cesso contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou mudanças abruptas.)

Definição Uma função fé contínua em um número a se

Observe que a Definição 1 implicitamente requer três coisas para a continuidade de fem a:

1. está definida (isto é, aestá no domínio de f )

2. existe

3.

A definição diz que é contínua em se tende a quando x tende a a. Assim, uma função contínua tem a propriedade de que uma pequena mudança em x produz somente uma pequena alteração em . De fato, a alteração em pode ser mantida tão pequena quanto desejarmos, mantendo-se a variação em xsuficientemente pequena.

Se festá definida próximo de a(em outras palavras, festá definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que fé descontínua em a(ou que ftem uma descontinuidadeem a) se fnão é contínua em a.

Os fenômenos físicos são geralmente contínuos. Por exemplo, o deslocamento ou a velo- cidade de um veículo variam continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas des- continuidades ocorrem em situações tais como a corrente elétrica. [Veja o Exemplo 6 da Seção 2.2, onde a função de Heaviside é descontínua em 0, pois não existe.]

Geometricamente, você pode pensar em uma função contínua em todo número de um in- tervalo como uma função cujo gráfico não se quebra. O gráfico pode ser desenhado sem re- mover sua caneta do papel.

A Figura 2 mostra o gráfico da função f. Em quais números fé descontínua?

Por quê?

SOLUÇÃO Parece haver uma descontinuidade quando a1, pois aí o gráfico tem um buraco.

A razão oficial para fser descontínua em 1 é que não está definida.

O gráfico também tem uma quebra em , mas a razão para a descontinuidade é dife- rente. Aqui, está definida, mas não existe (pois o limites esquerdo e direito são diferentes). Logo fé descontínua em 3.

E ? Aqui, está definida e existe (pois o limite esquerdo e o direito são iguais). Mas

Logo, fé descontínua em 5.

lim

xl5 f共x兲f共5兲 limxl5f共x兲 f共5兲

a5

limxl3f共x兲 f共3兲

a3 f共1兲 EXEMPLO 1

limtl0H共t兲

f共x兲 f共x兲

f

f共a兲 f共x兲

a f

lim

xlaf共x兲f共a兲 lim

xlaf共x兲 f共a兲

limxlaf共x兲f共a兲 1

LIMITES E DERIVADAS 109

43. Demonstre que .

44. Suponha que e , onde cé um

número real. Demonstre cada afirmação (a)

(b) se (c) se lim

xl0lnx

limxlaf共x兲 limxlat共x兲c lim c0

xla关f共x兲t共x兲兴

c0 lim

xla关f共x兲t共x兲兴

lim

xla关f共x兲t共x兲兴

2.5 Continuidade

Como ilustrado na Figura 1, se é con- tínua, então os pontos sobre o gráfico de tendem ao ponto do gráfico. Então, não há quebras na curva.

共a,f共a兲兲 f

共x,f共x兲兲 f

f(a)

x 0

y

a y ƒ(x) ƒ(x)

tende a f(a).

Quando x tende a a FIGURA 1

FIGURA 2 y

0 1 2 3 4 5 x

Agora vamos ver como detectar descontinuidades quando uma função estiver definida por uma fórmula.

Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?

(a) (b)

(c) (d)

SOLUÇÃO

(a) Observe que f(2) não está definida; logo, fé descontínua em 2. Mais à frente veremos por que fé contínua em todos os demais números.

(b) Aqui está definida, mas

não existe. (Veja o Exemplo 8 na Seção 2.2.) Então fé descontínua em 0.

(c) Aqui está definida e

existe. Mas

logo, fnão é contínua em 2.

(d) A função maior inteiro tem descontinuidades em todos os inteiros, pois não existe se nfor um inteiro. (Veja o Exemplo 10 e o Exercício 51 da Seção 2.3.)

A Figura 3 mostra os gráficos das funções no Exemplo 2. Em cada caso o gráfico não pode ser feito sem levantar a caneta do papel, pois um buraco, uma quebra ou salto ocorrem no gráfico. As descontinuidades ilustradas nas partes (a) e (c) são chamadas removíveis, pois podemos removê-las redefinindo fsomente no número 2. [A função é contí- nua.] A descontinuidade da parte (b) é denominada descontinuidade infinita. As desconti- nuidades da parte (d) são ditas descontinuidades em saltos, porque a função “salta” de um valor para outro.

t共x兲x1 limxln冀x冁

f共x兲冀x冁

limxl2f共x兲f共2兲 lim

xl2f共x兲lim

xl2

x²x2

x2 lim

xl2

共x2兲共x1兲

x2 lim

xl2共x1兲3 f共2兲1

limxl0f共x兲lim

xl0

1 x² f共0兲1

f共x兲冀x冁 f共x兲

再

f共x兲

再

f共x兲 x²x2 x2 EXEMPLO 2

1 2 3

1

x y

0

(d) ƒ(x) 决x冴

1 2

1

x y

0

(c) ƒ(x) se x 2

1 se x 2

x² x 2 x 2 (b) ƒ(x) se x 0

1 se

1

x 0 1

x y

1 2 x 0

y

0 1

(a) ƒ(x)x² x 2 x 2

FIGURA 3

Gráficos das funções do Exemplo 2

x²

Definição Uma função fé contínua à direita em um número ase

e fé contínua à esquerda em ase

Em cada inteiro n, a função [veja a Figura 3(d)] é contínua à di- reita, mas descontínua à esquerda, pois

mas

Definição Uma função fé contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. (Se ffor definida somente de um lado da extremidade do intervalo, entendemos continuidadena extremidade como continuidade à direitaou à esquerda.)

Mostre que a função é contínua no intervalo

SOLUÇÃO Se , então, usando as Propriedades dos Limites, temos

(pelas Propriedades 2 e 7)

(pela Propriedade 11)

(pelas Propriedades 2, 7 e 9)

Assim, pela Definição 1, fé contínua em ase . Cálculos análogos mostram que

e

logo, fé contínua à direita em 1 e contínua à esquerda em 1. Consequentemente, de acordo com a Definição 3, fé contínua em .

O gráfico de festá esboçado na Figura 4. É a metade inferior do círculo

Ao invés de sempre usar as Definições 1, 2 e 3 para verificar a continuidade de uma fun- ção como no Exemplo 4, muitas vezes é conveniente usar o próximo teorema, que mostra como construir as funções contínuas complicadas a partir de simples.

Teorema Se fe tforem contínuas em ae se cfor uma constante, então as seguin- tes funções também são contínuas ema:

1. 2. 3.

4. 5. f se t共a兲0

ft t

c f ft

ft 4

x²共y1兲²1 关1, 1兴

lim

xl1 f共x兲1f共1兲 lim

xl1f共x兲1f共1兲

1a1 f共a兲

1s1a² 1

s

xla共1x²兲 1lim

xla

s1x² lim

xlaf共x兲lim

xla

(

)

1a1

关1, 1兴. f共x兲1s1x²

EXEMPLO 4 3

xlimlnf共x兲 lim

xln冀x冁n1f共n兲

xlimlnf共x兲 lim

xln冀x冁nf共n兲 f共x兲冀x冁

EXÉMPLO 3

xlalimf共x兲f共a兲

xlimlaf共x兲f共a兲 2

LIMITES E DERIVADAS 111

1 1 1

x y

0

ƒ(x) 1 v1 x²

FIGURA 4

DEMONSTRAÇÃO Cada uma das cinco partes desse teorema segue da correspondente Propriedade dos Limites da Seção 2.3. Por exemplo, vejamos a demonstração da parte 1. Uma vez quefe tsão contínuas em a, temos

e Logo

(pela Propriedade 1)

Isso mostra que é contínua em a.

Segue do Teorema 4 e da Definição 3 que se fe tforem contínuas em um intervalo, então , e (se tnunca for 0) também o são. O seguinte teorema foi enunciado na Seção 2.3 como a Propriedade da Substituição Direta.

Teorema

(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em .

(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contí- nua em seu domínio.

DEMONSTRAÇÃO

(a) Um polinômio é uma função da forma

onde são constantes. Sabemos que

(pela Propriedade 7)

e (pela Propriedade 9)

Essa equação é precisamente a informação de que a função é uma função contínua.

Assim, pela parte 3 do Teorema 4, a função é contínua. Uma vez que Pé a soma das funções desta forma e uma função constante, segue da parte 1 do Teorema 4 que Pé con- tínua.

(b) Uma função racional é uma função da forma

onde P e Qsão polinômios. O domínio de fé . Sabemos, da parte (a), que Pe Qsão contínuas em toda a parte. Assim, pela parte 5 do Teorema 4, fé contínua em todo número de D.

Como uma ilustração do Teorema 5, observe que o volume de uma esfera varia continua- mente com seu raio, pois a fórmula mostra que Vé uma função polinomial de r. Da mesma forma, se uma bola for atirada verticalmente no ar com uma velocidade de , então a altura da bola em metros, tsegundos mais tarde, é dada pela fórmula . Nova- mente, essa é uma função polinomial, portanto a altura é uma função contínua do tempo de- corrido.

h20t4,9t² 20 m兾s V共r兲⁴3r³

D兵x僆⺢

ⱍ

f共x兲 P共x兲 Q共x兲 t共x兲cx^m

f共x兲x^m m1, 2, . . . ,n

limxlax^ma^m

xlimlac0c0

c0,c1, . . . ,cn

P共x兲cnxⁿcn1xⁿ¹ c1xc0

⺢共,兲 5

f兾t ft,ft,c f,ft

ft

共ft兲共a兲 f共a兲t共a兲 lim

xlaf共x兲lim

xla

t共x兲 limxla共ft兲共x兲lim

xla关f共x兲t共x兲兴 limxla

t共x兲t共a兲 limxlaf共x兲f共a兲

O conhecimento de quais funções são contínuas nos permite calcular muito rapidamente alguns limites, como no exemplo a seguir. Compare-o com o Exemplo 2(b) da Seção 2.3.

Encontre .

SOLUÇÃO A função

é racional; assim, pelo Teorema 5, é contínua em seu domínio, que é . Logo

Resulta que as funções familiares são contínuas em todos os números de seus domínios.

Por exemplo, a Propriedade dos Limites 10 é exatamente a afirmação que as funções raízes são contínuas.

Pela forma dos gráficos das funções seno e cosseno (Figura 18 da Seção 1.2) iríamos cer- tamente conjecturar que elas são contínuas. Sabemos das definições de e que as coordenadas do ponto Pna Figura 5 são . À medida que , vemos que P tende ao ponto e, portanto, e . Assim,

Uma vez que e , as equações em asseguram que as funções seno e cos- seno são contínuas em 0. As fórmulas de adição para seno e cosseno podem, então, ser usa- das para deduzir que essas funções são contínuas em toda a parte (veja os Exercícios 60 e 61).

Segue da parte 5 do Teorema 4 que

é contínua, exceto onde . Isso acontece quando xé um múltiplo inteiro ímpar de

, portanto tem descontinuidades infinitas quando e

assim por diante (veja a Figura 6).

A função inversa de qualquer função contínua é também contínua. (Esse fato é provado no Apêndice F, mas nossa intuição geométrica faz com que seja plausível: o gráfico de é ob- tido refletindo o gráfico de f sobre a reta . Então, se o gráfico de f não possui quebras, o gráfico de tampouco possui.) Assim, as funções trigonométricas inversas são contínuas.

Na Seção 1.5 definimos a função exponencial de forma a preencher os buracos no gráfico de , onde xé racional. Em outras palavras, a própria definição de torna- -a uma função contínua em ⺢. Portanto, sua função inversa é contínua em .

Teorema Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

polinômios funções racionais funções raízes funções trigonométricas funções trigonométricas inversas funções exponenciais funções logarítmicas

Onde a função é contínua?

SOLUÇÃO Sabemos do Teorema 7 que a função é contínua para e que

é contínua em ⺢. Assim, pela parte 1 do Teorema 4, é contínua em . O denominador é um polinômio, portanto é contínuo em toda parte. Assim, pela

ullim0cosu1 lim

ul0senu0 sen␪l0

yx²1

共0,兲 ylnxtg¹x

ytg¹x x0

ylnx f共x兲 lnxtg¹x

x²1 EXEMPLO 6

7

共0,兲 ya^x ylogax

ya^x

ya^x f¹

yx

f¹ x 兾2, 3兾2, 5兾2, ytgx

兾2

cosx0

tgx senx cosx

6 sen 00

cos 01 6

cosl1

共1, 0兲 共cosu, senu兲 senlu0 cos 共2兲³2共2兲²1

53共2兲 1

11

xliml2

x³2x²1

53x lim

xl2f共x兲f共2兲

{

ⱍ

^}

f共x兲 x³2x²1 53x lim

xl2

x³2x²1 53x EXEMPLO 5

LIMITES E DERIVADAS 113

u 1

x 0

y

(1, 0) P(cos u, sen u)

FIGURA 5

Outra forma de estabelecer os limites em é fazer uso do Teorema do Confronto com a desigualdade (para

), que está demonstrada na Seção 3.3.

6 0

senuu

x

y

0 p p

1 p 2

3p 2 p

2 3p

2

FIGURA 6 y tg x

As funções trigonométricas inversas foram revistas na Seção 1.6.

parte 5 do Teorema 4, fé contínua em todos os números positivosx, exceto onde . Logo, fé contínua nos intervalos abertos e .

Calcule .

SOLUÇÃO O Teorema 7 nos diz que a função é contínua. A função no denominador, , é a soma de duas funções contínuas e, portanto, é contínua. Observe que esta função nunca é 0, pois para todo xe assim em toda parte. Logo, a razão

é sempre contínua. Portanto, pela definição de função contínua,

Outra forma de combinar as funções contínuas fe tpara obter novas funções contínuas é formar a função composta . Esse fato é uma consequência do seguinte teorema.

Teorema Seja fcontínua em be então

Em outras palavras,

.

Intuitivamente, o Teorema 8 é razoável, pois se xestá próximo de a, então está pró- ximo de b, e como f é contínua em b, se está próxima de b, então está próxima de

. Uma prova do Teorema 8 é dada no Apêndice F.

Calcule .

SOLUÇÃO Uma vez que arcsen é uma função contínua, podemos aplicar o Teorema 8:

Vamos aplicar agora o Teorema 8 no caso especial em que , onde né um inteiro positivo. Então

e

Se colocarmos essas expressões no Teorema 8, obteremos

e, assim, a Propriedade dos Limites 11 foi demonstrada. (Pressupomos que a raiz exista.) t共x兲 lim

xl

senx

2cosx lim

xl f共x兲f共兲 sen

2cos 0

21 0

x²10 共0, 1兲 共1,兲

xlimla

sⁿt共x兲

s

xla

t共x兲 f

(

t共x兲

)

^s

t共x兲 f

(

)

f共x兲sⁿx arcsen 1

2 p

6 arcsen

冉

冊

arcsen

冉

⁽

^{) (}

⁾ 冊

limxl1arcsen

冉

冊

冉

冊

limxl1arcsen

冉

冊

EXEMPLO 8 f共b兲

f

(

)

t共x兲

limxlaf

(

)

(

)

limxlaf

(

)

t共x兲b, fⴰt

8

f共x兲 senx 2cosx

2cosx0

cosx 1

y2cosx

ysenx

xlimlp

senx 2cosx EXEMPLO 7

Esse teorema afirma que um símbolo de limite pode ser movido através um símbolo de função se a função for contínua e se o limite existir. Em outras palavras, a ordem desses dois símbolos pode ser trocada.

Teorema Se tfor contínua em ae ffor contínua em , então a função com-

posta dada por é contínua em a.

Esse teorema é, com frequência, expresso informalmente dizendo que “uma função con- tínua de uma função contínua é uma função contínua”.

DEMONSTRAÇÃOUma vez que té contínua em a, temos

Uma vez que fé contínua em , podemos aplicar o Teorema 8 para obter

que é precisamente a afirmação de que a função é contínua em a; isto é, é contínua em a.

Onde as seguintes funções são contínuas?

(a) (b)

SOLUÇÃO

(a) Temos , onde

e

Agora, té contínua em , pois é um polinômio, e ftambém é contínua em toda parte. Logo, é contínua em pelo Teorema 9.

(b) Sabemos do Teorema 7 que é contínua e é contínua (pois ambas, e , são contínuas). Portanto, pelo Teorema 9, é contínua sempre que estiver definida. Agora, está definida quando . Dessa forma, não está definida quando , e isso acontece quando Logo, Ftem descontinuidades quando x é um múltiplo ímpar depe é contínua nos intervalos entre esses valores (veja a Figura 7).

Uma propriedade importante das funções contínuas está expressa pelo teorema a seguir, cuja demonstração é encontrada em textos mais avançados de cálculo.

Teorema do Valor Intermediário Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado e seja Num número qualquer entre e , em que . Então existe um número cem tal que .

O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os valo- res intermediários entre os valores da função f(a)e f(b). Isso está ilustrado na Figura 8. Observe que o valor Npode ser assumido uma vez [como na parte (a)] ou mais [como na parte (b)].

Se pensarmos em uma função contínua como aquela cujo gráfico não tem nem saltos nem quebras, então é fácil acreditar que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro. Em ter-

共fⴰt兲共x兲f

(

)

fⴰt

t共a兲 9

f共c兲N 共a,b兲

f共a兲f共b兲 f共b兲

f共a兲 关a,b兴

10

x , 3, . . . cosx1

1cosx0 ln共1cosx兲

F共x兲f

(

)

ycosx y1

t共x兲1cosx f共x兲lnx

hfⴰt ⺢⺢

f共x兲senx t共x兲x²

h共x兲f

(

)

F共x兲ln共1cosx兲 h共x兲sen共x²兲

EXEMPLO 9

fⴰt h共x兲f

(

)

lim

xlaf

(

)

(

)

bt共a兲 limxla

t共x兲t共a兲

LIMITES E DERIVADAS 115

FIGURA 7 yln(1cos x)

2

6

10 10

(b)

0 x

y f(b)

N f(a)

a c₃

y ƒ(x)

c₂ c₁ (a)

0 x

y f(b) N

f(a)

b y ƒ(x)

FIGURA 8

a c b

mos geométricos, ele afirma que, se for dada uma reta horizontal qualquer entre e , como na Figura 9, então o gráfico de fnão poderá saltar a reta. Ele pre- cisará interceptar em algum ponto.

É importante que a função f do Teorema 10 seja contínua. O Teorema do Valor Interme- diário não é verdadeiro em geral para as funções descontínuas (veja o Exercício 48).

Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de equa- ções, como no exemplo a seguir.

Mostre que existe uma raiz da equação

entre 1 e 2.

SOLUÇÃO Seja . Estamos procurando por uma solução da equa- ção dada, isto é, um número centre 1 e 2 tal que . Portanto, tomamos , e

no Teorema 10. Temos

e

Logo, , isto é, é um número entre e . Como fé contínua, por ser um polinômio, o Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um número centre 1

e 2 tal que . Em outras palavras, a equação tem pelo

menos uma raiz c no intervalo .

De fato, podemos localizar mais precisamente a raiz usando novamente o Teorema do Valor Intermediário. Uma vez que

e

uma raiz deve estar entre 1,2 e 1,3. Uma calculadora fornece, por meio de tentativa e erro, e

assim, uma raiz está no intervalo .

Podemos usar uma calculadora gráfica ou computador para ilustrar o uso do Teorema do Valor Intermediário no Exemplo 10. A Figura 10 mostra o gráfico de fem uma janela retan- gular por , e você pode ver o gráfico cruzando o eixoxentre 1 e 2. A Figura 11 mostra o resultado ao se aplicar o zoom, obtendo a janela retangular por 关0,2; 0,2兴.

yN

关1,2; 1,3兴 关1, 3兴 关3, 3兴

共1,22; 1,23兲

f共1,23兲0,0560680 f共1,22兲0,0070080

f共1,3兲0,5480 f共1,2兲0,1280

共1, 2兲

4x³6x²3x20 f共c兲0

f共2兲 f共1兲 N0

f共1兲0f共2兲

f共2兲322462120 f共1兲463210 N0

b2 a1 f共c兲0

f共x兲4x³6x²3x2

4x³6x²3x20 EXEMPLO 10

yf共b兲 yf共a兲

yN

0 b x

y ƒ(a) N

ƒ(b) a

y ƒ(x)

y N

FIGURA 9

0,2

⫺0,2

1,2 1,3

FIGURA 11 FIGURA 10

3

⫺3

⫺1 3

De fato, o Teorema do Valor Intermediário desempenha um papel na própria maneira de funcionar destas ferramentas gráficas. Um computador calcula um número finito de pontos sobre o gráfico e acende os pixels que contêm os pontos calculados. Ele pressupõe que a fun- ção é contínua e acende todos os valores intermediários entre dois pontos consecutivos. O computador, portanto, conecta os pixels acendendo os pixels intermediários.

LIMITES E DERIVADAS 117

1. Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função fé contínua no número 4.

2. Se fé contínua em , o que você pode dizer sobre seu grá- fico?

3. (a) Do gráfico de f, identifique números nos quais fé descontínua e explique por quê.

(b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se fé contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.

4. Do gráfico de g, identifique os intervalos nos quais gé contínua.

5–8Esboce o gráfico de uma função que seja contínua exceto para a descontinuidade declarada.

5. Descontínua, porém contínua à direita, em 2

6. Descontinuidades em 1 e 4, porém contínua à esquerda em 1 e à direita em 4

7. Descontinuidade removível em 3, descontinuidade em salto em 5 8. Não é contínua à direita nem à esquerda em 2; contínua so-

mente à esquerda em 2

9. A tarifa Tcobrada para dirigir em um certo trecho de uma rodo- via com pedágio é de $ 5, exceto durante o horário de pico (entre 7 da manhã e 10 da manhã e entre 4 da tarde e 7 da noite), quando a tarifa é de $ 7.

(a) Esboce um gráfico de Tcomo função do tempo t, medido em horas após a meia-noite.

(b) Discuta as descontinuidades da função e seu significado para alguém que use a rodovia.

10. Explique por que cada função é contínua ou descontínua.

(a) A temperatura em um local específico como uma função do tempo.

(b) A temperatura em um tempo específico como uma função da distância em direção a oeste a partir da cidade de Paris.

(c) A altitude acima do nível do mar como uma função da dis- tância em direção a oeste a partir da cidade de Paris.

(d) O custo de uma corrida de táxi como uma função da distân- cia percorrida.

(e) A corrente no circuito para as luzes de uma sala como uma função do tempo.

11. Suponha que fe tsejam funções contínuas tal que e . Encontre .

12–14Use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a.

12. , .

13. , .

14. , .

15–16Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

15. , .

16. , .

17–22Explique por que a função é descontínua no número dado a. Es- boce o gráfico da função.

17.

18.

19.

20.

21. f共x兲

再

f共x兲

再

f共x兲

再

a2

f共x兲

再

f共x兲 1 x2

共, 3兴 t共x兲2s3x

共2,兲 f共x兲 2x3

x2

a1 h共t兲 2t3t²

1t³

a1

f共x兲共x2x³兲⁴

a4 f共x兲x²s7x

f共2兲 limxl2关3f共x兲f共x兲t共x兲兴36

t共2兲6

y

⫺4 ⫺2 2 4 6 8 x y

⫺4 ⫺2 0 2 4 6 x

共,兲

2.5 Exercícios

; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homeworks Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

Veremos que muitos dos resultados deste capítulo dependem de um fato central, que é chamado Teorema do Valor Médio. Mas, para chegar ao Teorema do Valor Médio, precisamos primeiro do seguinte resultado.

Teorema de Rolle Seja fuma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

1. fé contínua no intervalo fechado [a, b].

2. fé derivável no intervalo aberto (a, b).

3. f (a) ⫽f (b)

Então, existe um número cem (a, b) tal que f ⬘(c) ⫽0.

Antes de darmos a demonstração, vamos olhar os gráficos de algumas funções típicas que satisfaçam as três hipóteses. A Figura 1 mostra os gráficos de quatro dessas funções. Em cada caso, parece que há pelo menos um ponto (c, f (c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, f ⬘(c) ⫽0. Assim, o Teorema de Rolle é plausível.

DEMONSTRAÇÃO Existem três casos:

CASO I ,uma constante

Então , assim, o número pode ser tomado como qualquer número em (a, b).

CASO II para algum x em (a, b) [como na Figura 1(b) ou (c)]

Pelo Teorema dos Valores Extremos (que pode ser aplicado pela hipótese 1), ftem um va- lor máximo em algum lugar de [a, b]. Como f(a) ⫽f (b), ele deverá ter esse valor máximo em um número c num intervalo aberto (a, b). Então ftem um máximo local em ce, pela hipótese 2, f é derivável em c. Portanto f ⬘(c) ⫽0 pelo Teorema de Fermat.

CASO III para algum xem (a, b) [como na Figura 1(c) ou (d)]

Pelo Teorema dos Valores Extremos, f tem um valor mínimo em [a, b] e, uma vez que , ela assume esse valor mínimo em um número c em (a, b). Novamente f ⬘(c) ⫽0 pelo Teorema de Fermat.

Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função posição s ⫽f (t) de um objeto em movimento. Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instantes diferentes t ⫽ae t ⫽b, então f (a) ⫽f (b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo t ⫽centre ae bno qual f⬘(c) ⫽0; isto é, a velocidade é 0. (Em particular, você pode ver que isto é ver- dadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.)

Demonstre que a equação x³⫹x ⫺1 ⫽0 tem exatamente uma raiz real.

SOLUÇÃO Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário (2.5.10) para mostrar que existe uma raiz. Seja f (x) ⫽x³⫹x ⫺1. Então f (0) ⫽ ⫺1 ⬍0 e f (1) ⫽1 ⬎0. Como f é uma função polinomial, ela é contínua; assim, o Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um número centre 0 e 1 tal que f (c) ⫽0. A equação dada, portanto, tem uma raiz.

Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolle e argu- mentamos por contradição. Suponha que ele tenha duas raízes ae b. Então f (a) ⫽0 ⫽f (b)

EXEMPLO 2 EXEMPLO 1 f共a兲苷f共b兲

f共x兲⬍f共a兲 f共x兲⬎f共a兲 f⬘共x兲苷0

f共x兲苷k

4.2 O Teorema do Valor Médio

Rolle

O Teorema de Rolle foi publicado pela primeira vez em 1691 pelo matemático francês Michel Rolle (1652-1719) no livro intitulado Méthode pour résoudre les Egalitéz. Ele era um crítico veemente dos métodos de sua época e atacou o cálculo como “uma coleção de falácias engenhosas”. Mais tarde, entretanto, ele se convenceu de que os métodos do cál- culo estavam essencialmente corretos.

FIGURA 1

(b)

a b x

y

0 (a)

b

a ™ x c

y

0 c1 c2

(c)

b

a x

y

0 c1 c2

(d) b a

y

x

0 c

Considere os casos SP

A Figura 2 mostra um gráfico da função discutida no Exemplo 2. O Teorema de Rolle mostra que, independentemente do tamanho da janela retangular, não podemos nunca encontrar uma segunda intersecção com o eixo x.

f共x兲苷x³⫹x⫺1

FIGURA 2 _2

3

_3

2

e, uma vez que fé uma função polinomial, é derivável em (a, b) e contínua em [a, b]. Assim, pelo Teorema de Rolle, existe um número centre aebtal que f ⬘(c) ⫽0. Mas

para todo x

(uma vez que ), portanto, f ⬘(x) nunca pode ser zero. Isso fornece uma contradição. Por- tanto, a equação não pode ter duas raízes reais.

Nosso principal uso do Teorema de Rolle é na demonstração do seguinte importante teo- rema, o qual foi primeiro enunciado por outro matemático francês, Joseph-Louis Lagrange.

O Teorema do Valor Médio Seja fuma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

1. fé contínua no intervalo fechado [a, b].

2. fé derivável no intervalo aberto (a, b).

Então, existe um número cem (a, b) tal que

ou, de maneira equivalente,

Antes de demonstrarmos esse teorema, podemos ver que ele é razoável interpretando-o geo- metricamente. As Figuras 3 e 4 mostram os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) sobre os gráficos de duas funções deriváveis. A inclinação da reta secante AB é

que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. Uma vez que f⬘(c) é a in- clinação da reta tangente no ponto (c, f (c)), o Teorema do Valor Médio na forma dada pela Equação 1 diz que há, no mínimo, um ponto P(c, f (c)) sobre o gráfico onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta secante AB. Em outras palavras, há um pontoPonde a reta tangente é paralela à reta secante AB. (Imagine uma reta paralela a AB, iniciando dis- tante e se movendo paralelamente a ela mesma até tocar o gráfico pela primeira vez.)

DEMONSTRAÇÃO Aplicamos o Teorema de Rolle a uma nova função hdefinida como a di- ferença entre fe a função cujo gráfico é a reta secante AB. Usando a Equação 3, vemos que a equação da reta ABpode ser escrita como

ou como

Assim, como mostrado na Figura 5,

y苷f共a兲⫹ f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 共x⫺a兲 y⫺f共a兲苷 f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 共x⫺a兲 mAB苷 f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 3

f共b兲⫺f共a兲苷f⬘共c兲共b⫺a兲 2

f⬘共c兲苷 f共b兲⫺f共a兲 b⫺a 1

x²艌0

f⬘共x兲苷3x²⫹1艌1 258 CÁLCULO

O Teorema do Valor Médio é um exemplo do que é chamado teorema da existência.

Da mesma forma que o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema dos Valores Extremos e o Teorema de Rolle, ele garante que existe um número com certa pro- priedade, mas não nos diz como achá-lo.

a P{c, f(c)}

A{a, f(a)}

B{b, f(b)}

FIGURA 3 FIGURA 4

0 x

y

a b 0 x

y

c1 c2

P1 B

A P2

b c

FIGURA 5

0 x

y

x

h (x) y=ƒ

ƒ A

B

f(a)+f(b)-f(a)(x-a) b-a

a b

Precisamos primeiro verificar que hsatisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle.

1. A função hé contínua em [a, b], pois é soma de fe uma função polinomial de primeiro grau, ambas contínuas.

2. A função hé derivável em (a, b) pois tanto fquanto a função polinomial de primeiro grau são deriváveis. De fato, podemos calcular h⬘diretamente da Equação 4:

(Observe que f (a) e [f (b) ⫺f (a)]/(b ⫺a) são constantes.)

3.

Portanto, h(a) ⫽h(b).

Uma vez que hsatisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que existe um número cem (a, b) tal que h⬘(c) ⫽0. Portanto,

e, assim,

Para ilustrarmos o Teorema do Valor Médio com uma função específica, vamos considerar f (x) ⫽x³⫺x,a ⫽0, b⫽2. Uma vez que fé uma função polinomial, então ela é contínua e derivável para todo x; logo, é certamente contínua em [0, 2] e derivável em (0, 2).

Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número cem (0, 2) tal que

Agora e , e essa equação fica

o que dá , isto é, . Mas cdeve estar em (0, 2), então, . A Figura 6 ilustra esse cálculo: a reta tangente neste valor de cé paralela à reta secante .

Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição , então a velocidade média entre e é

e a velocidade em t ⫽cé f ⬘(c). Assim, o Teorema do Valor Médio (na forma da Equação 1) nos diz que, em algum instante t⫽centre ae b, a velocidade instantâneaf ⬘(c) é igual à ve- locidade média. Por exemplo, se um carro percorrer 180 km em duas horas, então o velocí- metro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez.

Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um número no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média em um intervalo.

f共b兲⫺f共a兲 b⫺a t苷b

t苷a

s苷f共t兲 EXÉMPLO 4

OB c苷2兾s3 c苷⫾2兾s3

c²苷⁴3

6苷共3c²⫺1兲2苷6c²⫺2 f⬘共x兲苷3x²⫺1

f共2兲苷6, f共0兲苷0

f共2兲⫺f共0兲苷f⬘共c兲共2⫺0兲 EXEMPLO 3

f⬘共c兲苷 f共b兲⫺f共a兲 b⫺a

0苷h⬘共c兲苷f⬘共c兲⫺ f共b兲⫺f共a兲 b⫺a 苷f共b兲⫺f共a兲⫺关f共b兲⫺f共a兲兴苷0 h共b兲苷f共b兲⫺f共a兲⫺ f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 共b⫺a兲 h共a兲苷f共a兲⫺f共a兲⫺ f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 共a⫺a兲苷0 h⬘共x兲苷f⬘共x兲⫺ f共b兲⫺f共a兲

b⫺a h共x兲苷f共x兲⫺f共a兲⫺ f共b兲⫺f共a兲

b⫺a 共x⫺a兲

4 Lagrange e o Teorema do Valor

Médio

O Teorema do Valor Médio foi formulado pela primeira vez por Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nascido na Itália, com pai francês e mãe italiana. Ele foi uma criança prodígio e se tornou professor em Turin na idade de 19 anos. Lagrange fez grandes contribuições à teoria dos números, à teoria das funções, à teoria das equações, e às mecânicas analítica e celeste. Em particular, aplicou o cálculo na análise da estabilidade do sistema solar. A convite de Frederico, o Grande, ele sucedeu Euler na Academia de Berlim e, após a morte de Frederico, Lagrange aceitou o convite do rei Luís XVI para viver em Paris, onde lhe foi dado um apartamento no Louvre. Lá, tornou-se professor da École Polytechnique. A despeito das armadilhas da fama e da luxúria, ele era um homem bondoso e quieto, que vivia somente para a ciência.

FIGURA 6

y=˛-x B

x y

c 2 O

A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilitar ob- ter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada. O próximo exemplo mostra esse princípio.

Suponha que e para todos os valores de x. Quão grande f (2) pode ser?

SOLUÇÃO Foi-nos dado que fé derivável (e, portanto, contínua) em toda parte. Em particu- lar, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio ao intervalo [0, 2]. Existe, então, um número ctal que

logo

Foi-nos dado que para todo x; assim, sabemos que . Multiplicando por 2 ambos os lados dessa desigualdade, temos , logo

O maior valor possível para é 7.

O Teorema do Valor Médio pode ser usado para estabelecer alguns dos fatos básicos do cál- culo diferencial. Um deles é o teorema a seguir. Outros serão encontrados nas seções seguin- tes.

Teorema Se para todo x em um intervalo (a, b), então fé constante em (a, b).

DEMONSTRAÇÃO Sejam x1e x2dois números quaisquer em (a, b), sendo x1⬍x2. Como fé derivável em (a, b), ela deve ser derivável em (x1, x2) e contínua em [x1, x2]. Aplicando o Teo- rema do Valor Médio a fno intervalo [x1, x2], obtemos um número ctal que x1⬍c⬍x2 e

Uma vez que para todo x, temos , e a Equação 6 fica ou

Portanto, ftem o mesmo valor em quaisquer dois números x1e x2em (a, b). Isso significa que fé constante em (a, b).

Corolário Se para todo xem um intervalo (a, b), então f ⫺té cons- tante em (a, b); isto é, , em que c é uma constante.

DEMONSTRAÇÃO Seja . Então

para todo xem (a, b). Assim, pelo Teorema 5, F é constante; isto é, f ⫺té constante.

OBSERVAÇÃO É necessário cuidado ao aplicar o Teorema 5. Seja

O domínio de fé e para todo xem D. Mas fnão é, obviamente, uma função constante. Isso não contradiz o Teorema 5, pois Dnão é um intervalo. Observe que f é constante no intervalo 共0,⬁兲e também no intervalo 共⫺⬁, 0兲.

f⬘共x兲苷0 D苷兵x

ⱍ

f共x兲苷 x

ⱍ

ⱍ

再

F⬘共x兲苷f⬘共x兲⫺t⬘共x兲苷0 F共x兲苷f共x兲⫺t共x兲

f共x兲苷t共x兲⫹c f⬘共x兲苷t⬘共x兲

7

f⬘共c兲苷0 f⬘共x兲苷0

f共x2兲苷f共x1兲 f共x2兲⫺f共x1兲苷0

f共x2兲⫺f共x1兲苷f⬘共c兲共x2⫺x1兲 6

f⬘共x兲苷0 5

f共2兲

f共2兲苷⫺3⫹2f⬘共c兲艋 ⫺3⫹10苷7 2f⬘共c兲艋10

f⬘共c兲艋5 f⬘共x兲艋5

f共2兲苷f共0兲⫹2f⬘共c兲苷⫺3⫹2f⬘共c兲 f共2兲⫺f共0兲苷f⬘共c兲共2⫺0兲

f⬘共x兲艋5 f共0兲苷⫺3

EXEMPLO 5 260 CÁLCULO