Bola unit´aria fechada de X
Pol´ıgono de quatro lados
Segmento [d, h]
Pol´ıgono de trˆes lados
Espa¸cos topol´ogicos
Nesta seção, apresentaremos as definições de espaço topológico, espaço aberto, espaço fechado, vizinhança, espaço de Hausdorf, espaço normal e o lema de Uryshon. Dizemos que um subconjunto U de X é uma vizinhança de x se x∈int(U), isto é, se existe um A aberto tal que x∈A⊂U. O interior de um subconjunto A de um espaço topológico X pode ser definido usando a fronteira do subconjunto A.
Um espaço topológico X é chamado de espaço de Hausdorf se vários pontos admitem vizinhanças disjuntas, ou seja, para todo x, y ∈ X com x 6=y, existem vizinhanças U de xe V de y tais que U∩V. Um espaço topológico X é normal se disjuntos fechados em X podem ser separados por disjuntos abertos, isto é, se para todos os disjuntos fechados F e G em X existem disjuntos abertos A e B em X tais que F ⊂ A e G⊂B .
Espa¸cos m´etricos
Um espaço topológico X é normal se disjuntos fechados em X podem ser separados por disjuntos abertos, isto é, se para todos os disjuntos fechados F e G em X existem disjuntos abertos A e B em X tais que F ⊂ A e G⊂B . B). Um espaço métrico (M, d) é um espaço métrico completo se toda sequência de Cauchy em M convergir para um elemento de M. Os conjuntos abertos de um espaço métrico M formam uma topologia em M, chamada topologia induzida por métrica em M .
Do fato de que em um espaço métrico as bolas abertas centradas em x formam uma base de vizinhanças de x segue que uma rede (xλ)λ∈Ω converge para x se e somente se existe para todo > 0λ0 ∈Ω tal que. Um subconjuntoK de um espaço métricoM é compacto para toda coleção de conjuntos abertos (Ai)i∈I tal que K ⊂[. c) K é compacto se e somente se toda sequência em K admite uma subsequência convergente em K.
Espa¸cos normados
O `p-espaço com as operações de série usuais é um espaço de Banach para a norma k · kp dada por . Temos que `∞ é um espaço de Banach com as operações usuais em série e com norma k · k∞ dada por . Consequentemente, todo subespaço de dimensão finita de um espaço normado X é fechado em X.
Uma esfera unitária encerrada em um espaço normado de dimensão finita é compacta. Seja Y um subespaço do espaço normado X sobre K =R ou C e seja ϕ: Y →K um funcional linear contínuo.
Espa¸cos uniformemente convexos e estritamente convexos
O fato de um espaço uniformemente convexo ser estritamente convexo na Proposição 1.78 é válido independentemente da dimensão do espaço X. Na primeira parte estabeleceremos os conceitos necessários para entender tal teorema e o teorema de Bishop-Phelps. Começaremos definindo o conceito de espaço subreflexivo abaixo e depois mostraremos que todo espaço de Banach é um espaço subreflexivo, tal resultado é conhecido como Teorema de Bishop-Phelps.
De fato, suponha que o teorema seja válido no caso real e seja X um espaço de Banach complexo. Dado > 0, podemos usar a versão real do Teorema de Bishop-Phelps para o funcional linear Re h.
Teorema de Bishop-Phelps-Bollob´as
Apresentaremos agora definições e resultados para mostrar posteriormente, como consequência do teorema anterior, que V(T) = V(Tt) para todo operador linear limitado T no espaço de Banach. Pensando nisso, o objetivo deste capítulo é mostrar alguns exemplos de espaços de Banach X e Y onde o par (X, Y) possui a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores (esta propriedade é expressa na Definição 3.1). . No capítulo anterior, vimos que o teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as vale para todo espaço X de Banach.
Este fato fez com que Bishop e Phelps [2] se questionassem em seu artigo sobre uma generalização deste teorema para operadores lineares contínuos entre espaços de Banach. A generalização do teorema seria dada da seguinte forma: Para os quais os espaços de Banach X e Y é o conjunto {T ∈ L(X, Y) :kT(x)k=kTk para algum x∈BX} denso em L(X, j). Assim, ao contrário do Teorema 2.8 (Teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as), que vale para todo espaço de Banach X, não podemos esperar uma versão do Teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as que vale para todos os espaços de Banach X e Y.
Ao estudar o teorema de Bishop-Phelps-Bollobas para operadores entre espaços de Banach, geralmente são abordados dois tipos de questões:
Operadores com contradom´ınio satisfazendo a propriedade β de Lindenstrauss . 38
Esta é uma versão ligeiramente diferente do Teorema 2.8 (Teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as) que mostramos no capítulo anterior. No teorema abaixo, veremos que todo espaço de Banach admite uma norma equivalente para a qual o espaço tem a propriedade β. Então existe um espaço Z isomórfico a Y tal que o par (X, Z) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob'as para operadores para qualquer espaço de Banach X.
Portanto segue do Teorema 3.6 que o par (X, Z) satisfaz o Teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as para operadores. Vamos agora mostrar que se X e Y são espaços de Banach de dimensão finita, então o par (X, Y) satisfaz a propriedade de Bishop-Phelps-Bollob para operadores. O teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as para operadores entre espaços de dimensão finita X e Y é uniforme no seguinte sentido.
Por outro lado, ao contrário do Teorema 3.5 (Teorema de Bishop-Phelps-Bollob'as), a constante δ depende não só de , mas também de X e Y. Por outro lado, temos que as normas de T e S são atingidas em um ponto extremo de BX.
Operadores com dom´ınio ` 1
Propriedade AHSP
Veremos nas Proposições 3.15 e 3.16 que a propriedade AHSP permanece válida para toda combinação convexa finita (em vez de séries convexas infinitas) e para (xk)∞k=1 sequências de vetores na bola unitária de X (em vez de sequências ( xk) ∞k=1 na esfera). O Lema 3.14 será usado para mostrar que alguns espaços de Banach possuem a propriedade AHSP e também para provar a Proposição 3.16. Um espaço de Banach X tem a propriedade AHSP se e somente se para todo >0 existe 0< η < tal que para toda sequência finita (xk)nk=1 ⊂SX e toda combinação.
Inversamente, vejamos que a condição em combinações convexas finitas garante que X tenha a propriedade AHSP. No caso N + 1 ∈/ A, definiremos A :=Ae e assim as condições da Definição 3.13 são satisfeitas levando em conta os mesmos elementos das condições (i), (ii) e (iii) obtidas anteriormente. A reversão é instantânea, pois as sequências (xk)∞k=1 ⊂SX que satisfazem as condições da hipótese estão em BX e assim satisfazem a Definição 3.13.
O seguinte resultado será usado para mostrar que os espaços de dimensão finita possuem a propriedade AHSP. O fato de y∗ depender apenas de x∗ vem da consideração de que δ depende não só de , mas também do espaço X. O seguinte resultado mostra que espaços de dimensão finita possuem a propriedade AHSP.
Os espaços reais ou complexos C(K) possuem a propriedade AHSP, para qualquer espaço Hausdorf compacto K. Mostraremos que todo espaço de Banach estritamente convexo que não é uniformemente convexo não possui a propriedade AHSP. Portanto, pelo Teorema 1.74 obtemos que X é uniformemente convexo, pois kx−yk ≤ kx−uk+ku−yk.
Inversamente, suponha que Y seja um espaço de Banach complexo, de modo que o par (`1, Y) tenha a propriedade Bishop-Phelps-Bollob'as para os operadores. Sejam η() e β() os números positivos que aparecem na Definição 3.1 da propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores. Aplicando a hipótese de que o par (`1, Y) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´ como propriedade do operador, temos que existe um operador S∈SL(`1,Y) e u0 ∈S`1 algo como consiste.
Portanto, segue de uma consequência do Teorema 1.58 (teorema de Hanhn-Banach) que existe y∗ ∈SY∗ tal que. Segue do Teorema 3.6 que o pair(`1, Y) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores quando Y tem a propriedade β. Se, por outro lado, tomarmos X = `1 e Y um espaço que não possui a propriedade AHSP, veremos que o par (`1, Y) não satisfaz a propriedade Bishop-Phelps-Bollob'as para operadores , ou seja , o espaço `1 não é uma região de domínio BPB universal.
Mostramos que o par (`n∞, Y) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores para todos os espaços de Banach ∈N e Y uniformemente convexos. Por ser uma soma de operadores lineares contínuos, temos que S é um operador linear contínuo.
Operadores com contradom´ınio estritamente convexo
Nesta seção, veremos que se o espaço X é uniformemente convexo, então o par (X, Y) possui a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores para qualquer espaço BanachY, o que significa que X é um domínio BPB universal do espaço. Seja 0< < 1e δ()>0 o módulo de convexidade de um espaço de Banach uniformemente convexo X. Então o par (X, Y) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores para qualquer espaço de Banach Y.
De uma consequência do Teorema 1.58 (teorema de Hahn-Banach) segue que existe fk+1 ∈SY∗ tal que. Isso significa que o par (X, Y) tem a propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores quando Y tem a propriedade β. Além disso, sabemos da Definição 3.1 da propriedade Bishop-Phelps-Bollob´as para operadores que as funções η() e β() na definição não dependem do espaço. ¸co de Banach X .
No Teorema 3.32 podemos ver similarmente que as funções η() e β() não dependem do espaço de chegada Y. Nesta seção mostraremos que isto é verdadeiro para um espaço de Banach bidimensional real. Em seu artigo [11], Lindenstrauss mostrou o seguinte resultado para um espaço de Banach X tal que o conjunto de operadores atingindo a norma é denso em L(X, Y) para qualquer espaço de Banach Y:.
Suponha que, dado > 0, existam funções positivas de valor real η() e β() que convergem para 0 à medida que tendem a 0 e satisfazem o seguinte. i) se X é um espaço de Banach real, então não há face de SX que contenha um subconjunto não vazio relativamente aberto de SX;. ii) se X é isomórfico a um espaço de Banach estritamente convexo, então o conjunto de todos os pontos extremos de BX é denso em SX;. iii) se X é isomórfico a um espaço de Banach uniformemente convexo, então o conjunto de todos os pontos fortemente expostos de BX é denso em SX. Reivindicação: Não há subgrupo convexo não vazio relativamente aberto Ue em SXn contido em Un0. SXN, o que implica que SXN contém um subgrupo convexo relativamente aberto contido em UN0.
Como T tem uma inversa, S =T ◦(T−1S) tem uma inversa porque é composta por funções inversíveis. Suponha que Sx1 não seja um ponto altamente exposto de BXm, ou seja, para todos os f ∈Xm∗ os itens (i) ou (ii) da Definição 3.33 não são satisfeitos.
