XXVI Congresso de Iniciação Científica
Aplicações da teoria de probabilidades: o problema da namorada desconfiada e o problema do macaco escritor
Aluna: Taís Roberta Ribeiro, Orientadora: Selene Maria Coelho Loibel, Câmpus de Rio Claro, IGCE, Matemática, tais_robertaribeiro@hotmail.com
Palavras Chave: Espaço de probabilidade, lema de Borel-Cantelli.
Introdução
Apresentamos neste trabalho duas aplicações da teoria de probabilidade com resultados surpreendentes. No primeiro caso, mostramos o problema da namorada desconfiada, no qual a definição formal do espaço de probabilidade pode ser complicada, mesmo que a solução do problema em si não seja difícil. No segundo caso, mostramos a solução do problema do macaco escritor utilizando o lema de Borel- Cantelli, que é um resultado importante da teoria de probabilidades.
Objetivos
Este trabalho objetiva a solução de duas aplicações da Teoria das Probabilidades apresentando com detalhes as provas dos resultados utilizados.
Material e Métodos
Problema da namorada desconfiada2:
Este problema envolve a discussão sobre a honestidade de um jogo com uma moeda equilibrada, onde João e Paulo são os dois jogadores. O jogo acontece da seguinte forma: cada jogador lança a moeda duas vezes e vence o jogo quem obtiver dois resultados iguais. João começa jogando e, se não vencer, passa a moeda para Paulo. Continuam alternando as jogadas até alguém vencer. A namorada de Paulo, desconfiada da honestidade do jogo questiona se, por ser João quem começa jogando, ele tem probabilidade maior de vencer. João diz que como o número de jogadas pode ser infinito, tanto faz quem começa o jogo. Os lançamentos da moeda são independentes, portanto a probabilidade de um par é calculada pelo produto das probabilidades do resultado de seus elementos.
O mesmo vale para a ocorrência de vários pares.
Para a solução mostramos como definir o espaço de probabilidade como um espaço produto que é uma espécie de produto de outros espaços de probabilidade, idênticos ou não.
Problema do macaco escritor1:
Colocando um macaco em frente a um computador é razoável supor que haja uma probabilidade positiva, mesmo pequena, de ele digitar as obras completas de Shakespeare sem erro. Considerando que cada ensaio consiste nessa tentativa do macaco, assumir independência entre os ensaios e probabilidade de sucesso igual para todos os ensaios.
Pelo segundo lema de Borel-Cantelli provamos que, com probabilidade 1, o macaco conseguirá o sucesso um número infinito de vezes.
Resultados e Discussão
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório constitui o espaço amostral do experimento, também denominado espaço amostral básico. O problema da namorada desconfiada pode ser visto como um experimento aleatório composto, pois consiste em realizar repetições de um experimento básico: Lançamento de uma moeda duas vezes. Para experimentos dessa natureza, um resultado possível é uma sequência de resultados possíveis do experimento básico. Portanto se Ω0 é o espaço amostral do experimento básico, então o espaço amostral para o experimento composto é o conjunto de sequências de elementos de Ω0 ou seja é o produto cartesiano de Ω0 por ele mesmo: Ω= Ω0 x Ω0 x..., chamado de espaço produto. Como os jogadores se sucedem, repetindo esse experimento, o espaço de probabilidade conveniente é o produto de espaços idênticos de probabilidade, sendo denotado por (Ω, F, P), sendo F é uma sigma-álgebra e P é uma função de probabilidade sobre F.
Para a solução do segundo problema, utilizamos o segundo lema de Borel-Cantelli, enunciado a seguir.
Sejam A1,A2… eventos em (Ω, F, P) com pn=P(An) para todo n ≥ 1. Temos que:
Se ∑pn,=∞, 1≤n≤∞, e os An são independentes, então, P(lim sup An)=1, sendo lim sup An igual a ocorrência de um número infinito dos An
Conclusões
Nesse trabalho mostramos que no problema da namorada desconfiada, no qual a probabilidade de vencer o jogo para quem inicia é o dobro, a construção do espaço de probabilidade, como o espaço produto, pode ser complexa. Também apresentamos a solução do problema do macaco escritor que é uma aplicação clássica do segundo lema do Borel-Cantelli. Segundo esse resultado um macaco tem probabilidade “um” de digitar as obras completas de Shakespeare um número infinito de vezes.
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1 James, B. R. Probabilidade: Um curso em nível intermediário 2011, 3ª Ed. IMPA – Projeto Euclides.
2 Magalhães, M. N. Probabilidade e Variáveis Aleatórias 2006, 2ª Ed.
Edusp.
