XXV Congresso de Iniciação Científica
Caracterização de Espaços Normados de Dimensão Finita
Frederick Lawton Azevedo, Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos, Campus de São José do Rio Preto, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Matemática, frederickazevedo@bol.com.br, Vunesp.
Palavras Chave: Compacidade, dimensão, espaços normados.
Introdução
A Análise Funcional é o ramo da matemática dedicado aos estudos dos espaços de funções.
Assim sendo requer o estudo de noções de Álgebra Linear, de Topologia e Análise Clássica. Os espaços de funções, objeto de estudo da Análise Funcional, são espaços vetoriais normados. Neste trabalho estudamos propriedades algébricas e topológicas de tais espaços, mais gerais que aquelas estudadas nos cursos básicos de Álgebra Linear e Topologia.
Objetivos
Um dos objetivos deste trabalho é estudar a
topologia dos espaços vetoriais normados. Uma vez estudado a noção de conjunto compacto num espaço vetorial normado, procuramos relacionar esta noção com a noção de conjunto fechado e limitado. O resultado principal do trabalho é o seguinte :
Teorema: Em um espaço normado de dimensão finita X, qualquer subconjunto M de X é compacto, se e somente se M é fechado e limitado.
Material e Métodos
Os materiais usados foram livros didáticos e científicos sobre análise funcional.
A metodologia empregada foi a pesquisa individual com apresentações de seminários sob a supervisão do professor orientador.
Resultados e Discussão
Inicialmente faz-se um estudo sobre conjuntos fechados, a noção de espaços normados, dimensão e compacidade desses espaços.
Um primeiro resultado é a seguinte proposição:
Proposição:Seja M um subconjunto não vazio de um espaço normado e F o fecho
de M. Então M é fechado se, e somente se, M = F.
Na sequência provamos o seguinte resultado:
Lema: Seja {x1 , x2 ,..., xn } um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço normado X (de qualquer dimensão).
Então existe um número c > 0, tal que para qualquer escolha de escalares α1 , α2, ..., αn tem-se
|| α1. x1 + α2. x2 + ... + αn. xn || ≥ c.( |α1|+|α2|+ ...+|αn|) De posse de todos os pré-requisitos fazemos a demonstração do resultado principal do trabalho, que por sua vez é um resultado muito útil no curso de Cálculo Avançado:
Teorema: Em espaço normado X de dimensão finita, qualquer subconjunto M de X é compacto se, e somente se, M é fechado e limitado.
Observemos que o resultado anterior não é válido para espaços normados de dimensão infinita. Um exemplo é o espaço l2 que tem dimensão infinita e construímos nesse espaço um subconjunto fechado e limitado que não é compacto.
Conclusões
A constatação da compacidade de um conjunto via sequências ou via condição de Heine-Borel pode ser trabalhosa. Sendo o espaço um espaço normado de dimensão finita basta verificar o fechamento e a limitação para concluir a compacidade, condições possivelmente mais fáceis de serem verificadas.
Agradecimentos
Agradeço ao meu orientador e a meu colega de estágio pela colaboração e apoio no desenvolvimento desse trabalho.
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1 1 Kreyszig, E, Introductory Functional Analysis with Applications.
Nova Iorque: John Wiley e Sons, 1978.
