Crie o seu arquivo de exercícios resolvidos parametrizados

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Crie o seu arquivo de exercícios resolvidos parametrizados

(P ^ROJETO MEGUA)

P

EDRO

C

RUZ^a

, P

AULA

O

LIVEIRA^b

, D

INA

S

EABRA^c UNIVERSIDADEDE AVEIRO

a pedrocruz@ua.pt, b

paula.oliveira@ua.pt, c

dfcs@ua.pt

(2)

N este artigo apresenta-se o projeto MEGUA, cujo objetivo é a elaboração de bases de dados de exercícios parametrizados e sua resolução, organizadas por classes, usando o software Sage Mathematics.

Pretende-se que o conjunto de exercícios abranja grande parte dos conteúdos de matemática lecionados nos primeiros anos do ensino superior.

O MEGUA pode ser encontrado em http://code.google.com/p/megua.

INTRODUÇÃO

Muito material, da área da matemática, baseado em ambien- tes webHVWiDVHUXVDGRSDUDWUHLQRGRVDOXQRVFRPSHWLo}HV RXDYDOLDomRFRPRVmRH[HPSORVRVPDWHULDLVGHVHQYROYLGRV QRVSURMHWRV30$7(>3PDW(@$*,/0$7

>7RPiV$3HWDO&RVWD53@H:,06>;LDR

*@1HVWHVFDVRVTXDQGRRXWLOL]DGRUJHUDH[HUFtFLRV QmRWHPDFHVVRjUHVROXomRSRUPHQRUL]DGDWHQGRQDOJXQV casos acesso à sua solução.

2IDFWRGHXPDOXQRSRGHUUHVROYHUGLIHUHQWHVH[HUFtFLRV sobre um mesmo tema concreto e, caso deseje, ter acesso à sua resolução, contribui para o seu autoestudo e para a sua autoavaliação.

-iH[LVWHPYiULRVOLYURVGHGLIHUHQWHViUHDVGHPDWHPiWLFD FRPH[HUFtFLRVUHVROYLGRVPDVDFRQVWUXomRGHEDVHVGHGD- GRVGHH[HUFtFLRVSDUDPHWUL]DGRVYDLSHUPLWLUDRHVWXGDQWH HPGLIHUHQWHVHWDSDVGRVHXHVWXGRJHUDUH[HUFtFLRVGHQR- YRVWLSRVRXGRPHVPRPDVOLJHLUDPHQWHGLIHUHQWHVHVHP- pre com a respetiva resolução.

$OpPGLVVRDFRQVXOWDGHDUTXLYRVGHH[HUFtFLRVSHUPL- te ao docente a rápida elaboração de material didático para DSRLRjVDXODVHjDYDOLDomRSRLVSHUPLWHJHUDUGLIHUHQWHV TXHVW}HVVREUHRPHVPRWySLFR$VVLPRGRFHQWHQmRWHP GHFRQVWUXLUUHSHWLGDPHQWHTXHVW}HVGRPHVPRWLSR

O QUE É O MEGUA?

0(*8$>0(*8$@pXPVLVWHPDTXHSHUPLWHDFULD- omRGHEDVHVGHGDGRVGHH[HUFtFLRVSDUDPHWUL]DGRVHUHV- SHWLYDVUHVROXo}HVHPTXHHVWHVVmRFULDGRVSRUSURIHVVR- UHVXVDQGRDH[SHULrQFLDDGTXLULGDDRORQJRGRVDQRVGH OHFLRQDomR$JHUDomRGHQRYRVH[HUFtFLRVRFRUUHSRUVXEVWL- tuição automática, eventualmente aleatória, de parâmetros SRUYDORUHVQXPpULFRVRXIXQo}HVH[WUDtGRVGHFRQMXQWRV SUpGHÀQLGRV(VWHSURMHWRHVWiDVHUFRQVWUXtGRVREUHDSOD- WDIRUPD6DJH0DWKHPDWLFV>6DJH0DWK@

$QXDOPHQWHVmRHODERUDGRVH[HUFtFLRVDERUGDQGRFHUWRV tópicos que são resolvidos vezes sem conta por professores HDOXQRV$VG~YLGDVPDQWrPVHDRORQJRGRVDQRVHDTXHV- WmRPDLVFRPXPp´&RPRpTXHVHID]"µ

3DUDHYLWDUDUHSHWLomRVXFHVVLYDGRVPHVPRVSURFHVVRV HGLVSRQLELOL]DUDRVDOXQRVXPFRQMXQWRGHH[HUFtFLRVUHVRO- vidos que permita esclarecer as dúvidas comuns foi criado R0(*8$

O objetivo é o de disponibilizar em rede, quer para pro- IHVVRUHVTXHUSDUDDOXQRVXPYDVWRFRQMXQWRGHH[HUFtFLRV que permita aos alunos aferir os seus conhecimentos e aos SURIHVVRUHVGrOLEHUGDGHSDUDLQYHVWLUQRXWURWLSRGHSUR- EOHPDVHQXPDSUHSDUDomRGHDXODVPDLVHÀFLHQWHQRPH- DGDPHQWHQDFULDomRGHPDLVH[HUFtFLRVRXSUREOHPDVWH[- tos de apoio e outros meios que implementem o sucesso da DSUHQGL]DJHP

&DGDHOHPHQWRGDEDVHGHGDGRVGR0(*8$pFRQVLGHUD- GRXP´REMHWRGHDSUHQGL]DJHPµTXHSRGHVHUUHXWLOL]DGR HPGLYHUVRVFRQWH[WRVFRPRPHUDVIROKDVGHH[HUFtFLRVMR- JRVWHVWHVÀFKDVGHDXWRGLDJQyVWLFRHWF

)UHTXHQWHPHQWH DV GLÀFXOGDGHV QD UHVROXomR GH XP H[HUFtFLR SUHQGHPVH QmR FRP RV FRQFHLWRV GLUHWDPHQWH HQYROYLGRV PDV FRP SUpUHTXLVLWRV FRPR SRU H[HPSOR D PDQLSXODomRGHH[SUHVV}HVDOJpEULFDV

2GHWDOKHGDUHVROXomRHVWDUiGHDFRUGRFRPRSHUÀOGR aluno utilizador, tendo sempre em conta aspetos didáticos

(3)

GRWySLFRHPHVWXGRFRQWHQGRMXVWLÀFDo}HVGRVYiULRVSDV- VRV GDGRV H UHIHUrQFLD D DOJXQV GRV UHVXOWDGRV XWLOL]DGRV SDUDWLUDUDVFRQFOXV}HVDGHTXDGDVHDVSHWRVSHGDJyJLFRV 3RUH[HPSORXPDOXQRSDUDDSUHQGHUDLQWHJUDUSRGHUHXWL- OL]DUH[HUFtFLRVUHVROYLGRVGRDUTXLYRUHODWLYRVjGHULYDomR SRLVHVWHVIXQFLRQDPFRPRSUpUHTXLVLWRSDUDDLQWHJUDomR

$WXDOPHQWHHP3RUWXJDOHQWUDPQRHQVLQRVXSHULRUDOX- nos com diferentes percursos académicos, o que leva a que a mesma unidade curricular seja frequentada por alunos com conhecimentos de base bem distintos. Nivelar conhecimentos e ajudar a ultrapassar obstáculos a nível de base de mate- mática deve ser uma preocupação para os docentes envolvi- GRVHPXQLGDGHVFXUULFXODUHVFRPHVWHSHUÀOPXOWLIDFHWDGR O facto de acompanhar uma resolução com todos os de- WDOKHVH[SOLFDGRVDMXGDDFRQVWUXLURFRQKHFLPHQWRGHbaixo para cimaSRGHQGRSHUPLWLUTXHXPDHOHYDGDSHUFHQWDJHP de alunos atinja o patamar de aprovação a unidades curriculares para as quais a sua formação anterior era diminuta.

$LPSOHPHQWDomRGHXPREMHWR0(*8$SDVVDSHODQHFHV- VLGDGHGHWUrVHWDSDV

&ULDomR´GHDXWRUµ

3URJUDPDomRHOHPHQWDU

5HYLVmR

(VWDVHWDSDVGHYHPVHUUHDOL]DGDVSRUSHVVRDVFRPH[SH- ULrQFLDQRHQVLQRGHPRGRDTXHDHVFROKDGHH[HUFtFLRVHD sua resolução elucidem as dúvidas habituais, permitindo ao HVWXGDQWHSURVVHJXLUSDUDH[HUFtFLRVSUREOHPDVTXHH[LMDP XPPDLRUJUDXGHFRQKHFLPHQWRV

$H[SHULrQFLDSHUPLWHGHWHWDURVSUREOHPDVFRPXQVGRV DOXQRV H FRQVHTXHQWHPHQWH FULDU FRQMXQWRV GH H[HUFtFLRV TXHSRVVDPGLVVLSDUHVVDVGLÀFXOGDGHV

DESCRIÇÃO E OBJETIVOS DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM MEGUA

&DGDH[HUFtFLRSRGHVHUYLVWRFRPRXPFRQFHLWRJHUDOPHQWH IRUPDGRSRUFRQFHLWRVGHEDVH3RUH[HPSORXPH[HUFtFLRVR- EUHRFRQFHLWRDEUDQJHQWHGHIXQo}HVWULJRQRPpWULFDVSRGH UHIHULUVHDSHQDVDXPDGDVIXQo}HVWULJRQRPpWULFDVQRPH- adamente o cosseno. Mas sobre o cosseno poderemos apenas HVWDUDHVWXGDUDOJXPDVSURSULHGDGHVFRPRSHULRGLFLGDGH ]HURVGRPtQLRFRQWUDGRPtQLRUHVWULo}HVSDUDDH[LVWrQFLD de inversa, derivada, etc.

2SURMHWR0(*8$SUHWHQGHTXHVHFULHPYDVWDVEDVHVGH GDGRVGHH[HUFtFLRVSDUDPHWUL]DGRVHUHVSHWLYDVUHVROXo}HV FRPÀQVSHGDJyJLFRV$RUJDQL]DomRGHXPDEDVHGHGDGRV GHVWDQDWXUH]DSUHVVXS}HTXHRVH[HUFtFLRVHVWHMDPDJUXSD- dos em classes, cuja utilização e a pesquisa sejam relativa- PHQWHVLPSOHVTXHUSDUDSURIHVVRUHVTXHUSDUDDOXQRV3DUD FXPSULUHVWDH[LJrQFLDFDGDH[HUFtFLR0(*8$pFDUDFWHUL- zado por duas etiquetas fundamentais: um número de iden- WLÀFDomR~QLFRHXPFyGLJRTXHLGHQWLÀFDRDXWRU

$OpPGLVVRFDGDREMHWRGHDSUHQGL]DJHPpGHVFULWRSRU

8PVXPiULRLQFOXLQGRDFDWDORJDomRHSDODYUDVFKDYH

2WH[WRGRHQXQFLDGR

2WH[WRGDUHVSRVWD

WXGRFULDGRRULJLQDOPHQWHQXPÀFKHLURGHWH[WR/D7H;RX no notebookGR´6DJH0DWKHPDWLFVµ

$FDWDORJDomRGRVH[HUFtFLRVGHYHVHJXLUDFODVVLÀFDomR 0&60DWKHPDWLFV6XEMHFW&ODVVLÀFDWLRQ3RUH[HPSOR XPH[HUFtFLRVREUHGHULYDGDVGHIXQo}HVUHDLVGHYDULiYHO UHDOVHUiFDWDORJDGRHP

26A24 Differentiation (functions of one variable)

general theory, generalized derivatives, mean-value theorems 3DUDDOpPGLVVRRDXWRUGRH[HUFtFLRFDUDFWHUL]DRXVDQ- GRDOJXPDVSDODYUDVFKDYHHXPDEUHYHGHVFULomR&DVRVH SUHWHQGD DOWHUDU XP H[HUFtFLR DSHQDV R VHX DXWRU SRGHUi ID]rORGDtTXHDFDGDH[HUFtFLRHVWHMDDVVRFLDGRRVHXDXWRU 1R$QH[R$DSUHVHQWDVHXPH[HPSORHPTXHVmRYLVtYHLV os parâmetros (‘onx1·H¶RQa·HDVGLIHUHQWHVVHFo}HV¶PRO- BLEM·H¶ANSWER·

UM ESTUDO DE CASO

$ XQLGDGH FXUULFXODU GH PDWHPiWLFD HP PXLWDV OLFHQFLD- turas, particularmente nas que não estão tão direcionadas SDUDDViUHDVGDVFLrQFLDVpXVXDOPHQWHXPSUREOHPDHXP GRVDVVXQWRVPDLVGHOLFDGRVpDWULJRQRPHWULD

1RSUHVHQWHDQROHWLYRIRUDPIRUQHFLGRVDRVDOXQRVH[HU- FtFLRVWLSRHVXDVUHVROXo}HVVREUHDVLQYHUVDVGDVIXQo}HVWUL- JRQRPpWULFDV QRPHDGDPHQWH DUFRVHQR DUFRFRVVHQRH DU- FRWDQJHQWHFRPRPRVWUDRH[HPSORDSUHVHQWDGRQR$QH[R%

Na unidade curricular em causa, os alunos são frequen- temente submetidos a uma questão na aula, a qual faz parte do processo de avaliação. Cada aluno teve de resolver um

(4)

H[HUFtFLRJHUDGRSRUSDUkPHWURVDOHDWyULRVDQiORJRDRVTXH IRUDPIHLWRVQDDXOD2JUiÀFRDRODGRLOXVWUDRVUHVXOWDGRV REWLGRV QXPD TXHVWmR VREUH IXQo}HV WULJRQRPpWULFDV LQ- versas, em que N é a nota do aluno, entre 0 e 20 valores.

$WHQGHQGR DR WySLFR HP DYDOLDomR RV UHVXOWDGRV IRUDP substancialmente melhores face a anos anteriores, nos quais UDUDPHQWH RV DOXQRV REWLQKDP XPD FODVVLÀFDomR SRVLWLYD neste tópico.

'RVGHQHJDWLYDVQXPWRWDOGHDOXQRVpGHRE- VHUYDUTXHIRUDPFODVVLÀFDo}HVDWpYDORUHV1RQRVVR entender, estas notas estão, na sua maior parte, associadas a uma desmotivação pela unidade curricular, enquanto as QHJDWLYDVHQWUHHWHQGRHPFRQWDDQDWXUH]DGRWySLFR em avaliação e o público em estudo, que não tem conheci- PHQWRVSUpYLRVGHWULJRQRPHWULDGHPRQVWUDPTXHDOJXPDV GDVDSUHQGL]DJHQVYHULÀFiYHLVIRUDPDGTXLULGDV

CONCLUSÃO

$SUHQGHUYHQGRID]HUpXPDWpFQLFDVHFXODUGHHQVLQRTXH WHPPRVWUDGRDRORQJRGRWHPSRDVXDHÀFiFLD+RMHHPGLD FRPDWHFQRORJLDGLVSRQtYHORDOXQRSRGHDRDOFDQFHGHXP FOLTXH WHU XPD VpULH GH H[HUFtFLRV GLIHUHQWHV H UHVSHWLYDV UHVROXo}HVVHPQHFHVVLWDUGHUHFRUUHUVLVWHPDWLFDPHQWHDR SURIHVVRUXVDQGRDVKRUDVGHFRQWDFWRSDUDTXHVW}HVPDLV HVSHFtÀFDV TXH R LPSHoDP GH SURJUHGLU 2 IDFWR GH HVWHV H[HUFtFLRVHVWDUHPGLVSRQtYHLVSHUPLWHDRDOXQRUHÁHWLUVR- bre eles e esclarecer efetivamente as dúvidas que ainda per- sistirem.

1RH[HPSORDSUHVHQWDGRDFRQWHFHXSRUGLYHUVDVYH]HVRV DOXQRVTXHVWLRQDUHPQDDXODDSHQDVDOJXPDVSDVVDJHQVGD UHVROXomRTXHQmRHQWHQGLDPHQmRDUHVROXomRGRH[HUFtFLR completo. Esta informação pode ser usada para melhorar a resolução, tentando tornar claras as dúvidas que subsistiram.

2XWUDV VLWXDo}HV KRXYH HP TXH R DOXQR DFRPSDQKRX D resolução do professor no quadro munido da que lhe tinha VLGRIRUQHFLGDDQRWDQGRDOJXPDVREVHUYDo}HVTXHOKHSDUH- ceram pertinentes.

20(*8$VySRUVLQmRFRQVWLWXLXPDPHWRGRORJLDGH HQVLQRDSUHQGL]DJHPeXPFRPSOHPHQWR~WLODRDXWRHVWX- do do aluno e uma ferramenta que permite ao professor in- YHVWLUPXLWRGRVHXWHPSRQDFULDomRGHQRYRVH[HUFtFLRVRX RXWUDVLQLFLDWLYDVTXHSURPRYDPXPDDSUHQGL]DJHPHIHWLYD dos seus alunos.

REFERÊNCIAS

&RVWD53´*HUDomR$XWRPiWLFDGH([HUFtFLRVGH0D- WHPiWLFDµ7HVHGH0HVWUDGRHP(QVLQRGD0DWHPiWLFD)DFXO- GDGHGH&LrQFLDVGD8QLYHUVLGDGHGR3RUWR

7RPiV$3/HDO-3'RPLQJXHV0$´$:HE$SSOL- FDWLRQIRU0DWKHPDWLFV(GXFDWLRQµSpringer-Verlag/1&6

;LDR * 3XEOLF4XHVWLRQV 7HVWVhttp://wims.unice.fr/

paper/pqt.pdf DFHGLGR HP PDUoR GH ([HUFtFLRV RQOLQH http://wims.unice.fr

3PDW(´0RGHOR*HUDGRUGH4XHVW}HVµ,$',6&RQIH- UrQFLD,EHUR$PHULFDQD:::,QWHUQHW

3PDW(´$Q2YHUYLHZRI3PDW(GHYHORSLQJVRIWZDUH IRUDOOGHJUHHVRIWHDFKLQJµProceedings of the International Con- ference in Mathematics Sciences and Sciences Education, June 11- 8QLYHUVLW\RI$YHLUR

3PDW(´$QROGSURMHFWLQHGXFDWLRQWHDFKLQJDQGOH- DUQLQJ XVLQJ QHZ WHFKQRORJLHVµ DFHLWH SDUD SXEOLFDomR HP 3URFHHGLQJV,&(5,,QWHUQDWLRQDO&RQIHUHQFHRI(GXFD- WLRQ5HVHDUFKDQG,QQRYDWLRQ3DJHV,6%1

0(*8$ 0(*8$ ² 0DWKHPDWLFV ([HUFLVH *HQHUDWRU Code and documentation can be found at http://code.google.

com/p/megua.

6DJH 0DWK :LOOLDP $ 6WHLQ HW DOSage Mathematics Software 9HUVLRQ 7KH 6DJH 'HYHORSPHQW 7HDP http://www.sagemath.org.

9

(31%)

4

(14%)

16

(55%)

RESULTADOS

N<=5

N>9 5<N<=9

(5)

ANEXO A-EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS PARAMETRIZADOS (versão “MEGUA-01”)

2WH[WRDRODGRGHÀQHRHQXQFLDGRHP/D7H;GHXPH[HUFtFLR SDUDPHWUL]DGRQRTXDOFRQVWDRWH[WRGRH[HUFtFLRSDODYUDV- -chave e os parâmetros {ina, inb, onb11,onb21, ona22,ona11}

TXHYmRVHUVXEVWLWXtGRVSRUQ~PHURVFRPRPRVWUDRH[HP- SORTXHVHDSUHVHQWDDVHJXLU

#Funções trigonométricas (33B10) Exponen- tial and trigonometric functions

#Também pode ser 26A09 Elementary functions

# Dada uma função com a*arcsin(b*x), com a e b positivos determinar a sua inversa, do- mínio, zeros e contradomínio

#PROBLEM inicia o enunciado

%PROBLEM

Considere a função\[f(x)=ina arcsin{(inb\,x)}\]

Determine

\begin{enumerate}

\item Domínio;

\item Contradomínio;

\item Zeros;

\item $\displaystyle f\left(onb11\right)$;

\item A solução de

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle f(x)=ona22$;

\item $\displaystyle f(x)=ona11$.

\end{enumerate}

\item A inversa da função $f$, designando- -a por $f^{-1}$.

\end{enumerate}

Considere a função\[f(x)=ina \,\

arcsin{(inb\,x)}\]

Determine

\begin{enumerate}

\item Domínio;

\item Contradomínio;

\item Zeros;

\item A solução de

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle f(x)=ona22$;

\item $\displaystyle f(x)=ona11$.

\end{enumerate}

\item A inversa da função $f$, designando- -a por $f^{-1}$.

\end{enumerate}

E33B10_invtrigonometricfunction_001 Sumário

Funções trigonométricas (33B10) Exponential and trigonometric functions Também pode ser 26A09 Elementary functions Dada uma função com a*arcsin(b*x), com a e b positivos determinar a sua inversa, domínio, zeros e con- tradomínio .

Palavras chave:Funções trigonométricas; arcoseno Problema ekey=1372425087

Considere a função

Determine 1. Domínio;

2. Contradomínio;

3. Zeros;

4.

5.

6. A solução de

(a) ;

(b) .

7. A inversa da função f, designando-a por .

Resolução

1. O domínio da função arcsin é [−1, 1], portanto, 2x deve pertencer a este intervalo, isto é,

e, portanto, o domínio é

.

(6)

2. O contradomínio da função arcsin é . Assim,

e, portanto,

e o contradomínio de f é

3. A equação f(x) = 0 é equivalente a . Como , a equação é equivalente a . O único zero da função arcsin é o próprio zero, então

Portanto, f(x) = 0 tem como solução x = 0.

4. Para resolver este exercício basta substituir x pelo valor dado, :

.

5. Fazendo em , , obtém-se +

6.

(a) A equação é equivalente a

Por definição de inversa,

Assim, como , vem

.

(b) A equação é equivalente a

Por definição de inversa,

Assim, como , vem

.

7. O domínio da inversa é o contradomínio da função e o contradomínio da inversa é o domínio da função. Assim,

. Para determinar a expressão analítica da inversa resolve- -se a equação em ordem a x, isto é,

Assim,

ANEXO B – EXEMPLO DE COMANDOS DE UMA SESSÃO ([HPSORDGRLVSDVVRV

VDJHIURP0(*8$DOOLPSRUW

VDJHH[HUFLFLRQHZBH[HUFLVHIURPWH[WWH[WRB IRQWHNH\

1RSDVVRFKDPDPVHDVIXQo}HVHQRSDVVRFULDVH XPQRYRH[HUFtFLRGRWLSRFRPFKDYHDOHDWyULD(VWD última permite recriar sempre a mesma concretização dos parâmetros, desde que a keyVHPDQWHQKD

Maria Paula Oliveira é Professora Auxiliar do Departamento de Mate- mática e coordenadora de conteúdos do Projecto Matemática Ensino da Universidade de Aveiro. Foi várias vezes coordenadora de unidades curriculares com um elevado número de alunos, como Cálculo I e II.

Dina Seabra é Professora Adjunta da Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Águeda. Tem experiência no ensino da Matemática em unidades curriculares com alunos com diferentes percursos académicos.

Pedro Cruz é Professor Auxiliar do Departamento de Matemática. Coor- denou a unidades curricular “Métodos Numéricos e Estatísticos” com um elevado número de alunos.

SOBRE OS AUTORES

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