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Definições e Modelagens dos Problemas

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Academic year: 2023

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A primeira, desenvolvida por Trigeiro et al. 1989), consiste em um método heurístico baseado em relaxação Lagrangiana, otimização subgradiente e uma heurística de viabilidade. No capítulo 3 encontra-se Trigeiro et al. 1989), para resolver o problema de limitação de capacidade, vários itens e tempo e custo de preparação da máquina.

DEFINIÇÕES E MODELAGENS DOS PROBLEMAS

  • I NTRODUÇÃO
  • P ROBLEMA M ONOESTÁGIO COM U M Ú NICO I TEM
  • P ROBLEMA M ONOESTÁGIO COM M ÚLTIPLOS I TENS
  • M OTIVAÇÕES P ARA O E STUDO DE P ROBLEMAS M ONOESTÁGIOS

Uma reformulação do problema pode ser obtida usando o conceito de estoque escalonado introduzido por Clark e Scarf (1960) e implementado por Afentakis et al.Definiremos agora o custo de estoque tier em termos do custo de estoque convencional.

Figura 1.1: Exemplo de estrutura geral de produtos.
Figura 1.1: Exemplo de estrutura geral de produtos.

MÉTODOS BÁSICOS DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES

I NTRODUÇÃO

H EURÍSTICAS

Portanto, se no período 1 for produzida uma quantidade que atenda apenas à demanda daquele período, não haverá custos de estocagem (H1), mas apenas custos de preparação (S1). Porém, se no período 1 a produção for voltada para atender a demanda dos períodos 1 e 2, o custo de estocagem será a quantidade d2 relativa à demanda do período 2.

O MÉTODO ÓTIMO DE W AGNER E W HITIN

Exemplo 2.1: Uma empresa que produz um determinado produto deseja planejar a produção para um horizonte de quatro semanas. Exemplo 2.2: Você deseja produzir um determinado produto P, que leva quatro semanas para ser produzido (lead time = 4).

Tabela 2.1: Comparação dos métodos.
Tabela 2.1: Comparação dos métodos.

UMA ABORDAGEM HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE

I NTRODUÇÃO

Assim, se o último item a ser produzido no período t for o item i e o primeiro item a ser produzido no período t+1 também for o item i, o modelo considera que foi necessário um lead time: Yi,t+1 = 1. Os autores observam que, em alguns problemas práticos onde o número de itens é muito grande, o fato de negligenciar a ordem não afeta muito o resultado, pois o percentual de tempo de preparo, calculado incorretamente, é pequeno em relação ao total tempo de preparação.

A LGORITMO G ERAL

Observe que a cada iteração, a etapa 1 produz um limite inferior para o valor ideal da função objetivo. Usar o método do subgradiente no passo 3 garante que o algoritmo produzirá, no limite, o melhor (maior) limite inferior. Entretanto, quando se trata de programação inteira, o valor do melhor limite inferior pode ser menor que o valor ótimo da função objetivo do problema original, devido ao chamado "gap de dualidade", que consiste na diferença entre o valor ótimo da função objetivo do problema Lagrangiano dual (o melhor limite inferior) e o valor ótimo da função objetivo do problema original.

A avaliação da qualidade da solução obtida é feita através do “gap”, ou seja, a diferença entre o valor da função objetivo para a melhor solução possível encontrada e o valor do limite inferior. Quando essa diferença é pequena, pode-se dizer que o valor da função objetivo obtido da solução factível está próximo do valor ótimo. Porém, quando o "gap" é alto, não se pode dizer se o valor obtido da solução factível está longe do valor ótimo, ou se existe um grande "gap duplo".

O BTENÇÃO DO L IMITANTE I NFERIOR (P ASSO 1)

Assim, o problema relaxado pode ser analisado item por item, gerando vários subproblemas, um para cada item, sem restrições de capacidade. Isso permite o uso da técnica de programação dinâmica de Wagner e Whitin (1958), aplicada a cada um dos subproblemas individualmente. As soluções para esses subproblemas são agrupadas e, em geral, a solução resultante desse agrupamento não é viável para o problema porque as restrições de capacidade não são consideradas.

H EURÍSTICA DE F ACTIBILIZAÇÃO (P ASSO 2)

Ressalte-se que a transferência de mais do que o necessário para sanar a violação para o período anterior será considerada apenas se não houver violação da capacidade deste período anterior. Se a violação perdurar pelo período t, outro item é selecionado e o processo é repetido até que a violação do período seja eliminada. As transferências são concluídas quando as violações acumuladas são eliminadas para todos os períodos, ou seja, as necessidades acumuladas até o período t são menores ou iguais à capacidade acumulada até o mesmo período (para todos os t): . t tudo para CAP.

Nesta segunda etapa progressiva, o trabalho continua no período até que toda a infração seja eliminada. Períodos sem perda de capacidade são ignorados e, em um período t com perda de capacidade, todos os itens produzidos são analisados, selecionando aqueles em que Ii,t-1Xit ≠0, ou seja, os itens que estão em estoque no período anterior são selecionados (t-1) e são produzidos no período atual (t). Assim, se você escolher um item k, a produção desse item aumentará em t e diminuirá em t-j (onde t-j é o período "anterior" para o qual o estoque final é positivo para todos os períodos de t-j a t-1 inclusive).

Isso é feito até que não haja mais folga no período t ou o estoque seja eliminado em um determinado período. Em resumo, esse arranjo transfere a produção do item k, no período t-j, para o período t, preservando a viabilidade da solução.

A TUALIZAÇÃO DOS M ULTIPLICADORES DE L AGRANGE (P ASSO 3)

  • Descrição da Nova Proposta de “Arranjo Final”

Portanto, conforme descrito na seção 3.4, o arranjo final proposto por Trigeiro et al. 1989) será aplicada a este problema, e a nova solução será a seguinte: O arranjo final de Trigeiro et al. 1989) só pode piorar o valor da solução se o custo unitário de produção variável no tempo for levado em consideração. Talvez por isso, durante a implantação do método, Trigeiro et al. 1989) consideram todos os custos constantes no tempo, apesar de modelar o problema com custos variáveis ​​no tempo.

Diante disso, a produção deve ser transferida para este período t para que seja eliminado o enfraquecimento da capacidade, ou seja (( bX s Y CAPt. Ao escolher o item de menor custo k, a produção (ou parte dela a produção) deste o item será transferido no período t somente se o valor da função objetivo após sua transferência for menor que o valor da função objetivo antes da transferência. Se a transferência de um item não for suficiente para eliminar o enfraquecimento da capacidade do período t, outro item é selecionado, a quantidade deste item a ser transferida é determinada e transferida novamente.

Tendo escolhido o item de menor custo k, a produção (ou parte da produção) deste item será transferida apenas no período t, se o valor da função objetivo após sua transferência for menor que o valor da função objetivo antes transferir. . Se a transferência de um item não for suficiente para eliminar a queda de capacidade no período t, outro item é selecionado, a quantidade deste item a ser transferida é determinada e transferida novamente.

R ESULTADOS C OMPUTACIONAIS

  • Geração de dados
  • Resultados Computacionais para o Método de Trigeiro et al. (1989) com Custos Variáveis no Tempo . 41

Instâncias com baixo custo de set-up tendem a ter uma melhor distribuição de produção entre os períodos, facilitando a resolução de violações de capacidade e gerando gaps menores do que instâncias com alto custo de set-up. a variação na demanda e no tempo de produção da unidade tem pouco efeito na qualidade da solução. De acordo com a subseção (3.7.2), os parâmetros que têm maior efeito na qualidade da solução são: número de itens e prazos, capacidade, custo de preparo e tempo de preparo. Assim, as abreviaturas F/CB/TB/C1 representam exemplos com: custo unitário fixo de produção, baixo custo de set-up, baixo tempo de set-up e capacidade ociosa.

Nos Gráficos 3.4 e 3.5 a seguir, são considerados altos tempos de setup, resultando em gaps bem menores do que os obtidos a partir de exemplos com baixos tempos de setup (Gráficos 3.2 e 3.3). Os dados apresentados na tabela 3.4 são bastante semelhantes aos da tabela 3.3, exceto pelos custos de preparo que são considerados elevados. No entanto, a diferença no custo de configuração entre alto e baixo causa mudanças muito sutis no intervalo.

Analisando o gráfico 3.6 e comparando-o com o gráfico 3.2, pode-se concluir que exemplos com alto custo de set-up geram lacunas um pouco maiores do que exemplos com baixo custo de set-up. Conclui-se também que o desempenho de nosso arranjo final proposto (arranjo 2) degrada significativamente quando altos custos de preparação são levados em consideração.

Tabela 3.1: Intervalos para geração dos dados.
Tabela 3.1: Intervalos para geração dos dados.

UMA ABORDAGEM EXATA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE

  • I NTRODUÇÃO
  • A LGORITMO GERAL
  • G ERAÇÃO DO L IMITANTE S UPERIOR I NICIAL
  • O BTENÇÃO DOS LIMITANTES INFERIORES
    • Relaxação Lagrangiana das restrições de demanda (RLD)
    • Relaxação Lagrangiana das restrições de capacidade (RLC)
    • Limitação dos nós finais
  • A ESTRATÉGIA DE RE - LIMITAÇÃO (M ÉTODO DE O TIMIZAÇÃO DO S UBGRADIENTE )
  • A ESTRATÉGIA DE RAMIFICAÇÃO
    • Seleção de nós
    • Seleção das variáveis
  • R ESULTADOS C OMPUTACIONAIS

Se a solução do problema lagrangiano for viável para o problema original e o valor da função objetivo do problema original para esta solução for menor que ZLS, atualize o limite superior ZLS. Esta heurística consiste em fixar as variáveis ​​de preparação (Yit) obtidas pela resolução do problema lagrangeano. Se a solução para o problema de transporte for viável, uma solução viável para o problema original também é determinada (Diaby et al., 1992b).

Outra heurística proposta por Diaby et al. 1992a) consiste em um procedimento iterativo baseado na relaxação do problema de programação linear. Para resolver o problema acima (RLD), Diaby et al. 1992a) usam um procedimento de contagem implícito baseado em programação linear (PL), uma vez que relaxar o problema RLD com PL resulta em um problema de mochila contínua (Yanasse et al., 1997). Entretanto, um procedimento heurístico para obtenção de uma solução viável inicial utilizado por Diaby et al. 1992a), consiste justamente em resolver a relaxação do problema original por programação linear (ver Seção 4.3).

Para a escolha de Z temos que: como a solução do problema Lagrangiano dual é um limite inferior para a solução do problema original (ZLR(λ*) ≤ Z(P)), um limite superior para o problema original (P ) será também um limite superior para o problema dual Lagrangeano (LD). Depois de escolher uma variável, a ramificação é feita invertendo seu valor binário em relação à solução do problema relaxado.

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Assim, a relaxação Lagrangeana do problema acima, com respeito ao conjunto de restrições complicadas, é definida associando-se a este conjunto um vetor λ≥0, chamado multiplicador de Lagrange ou variáveis ​​duais. Observe que, se o problema dual for viável, o valor da função objetivo para qualquer solução do problema original (IP) será sempre maior ou igual ao valor da função objetivo dual para qualquer solução do problema dual (LD). Chama-se dualidade "gap", a diferença entre a solução do problema original e a solução do problema dual: ∆D= ZIP – ZD.

A qualidade de uma relaxação IP pode ser avaliada a partir da proximidade do valor da função objetivo dessa relaxação e do valor da função objetivo do problema original (IP). Observe que se ZIP = ZLD, ZIP representa o valor ótimo da função objetivo do problema original (IP), e a solução x* associada a ZIP representa a solução ótima do problema (IP). Então x* é uma solução ótima para o problema IP original se satisfizer as três condições.

Este método, quando utilizado para resolver o problema de Lagrange dual, consiste em um processo iterativo que, através de um conjunto inicial de multiplicadores de Lagrange, gera uma sequência de multiplicadores cujo limite tende à solução do problema de Lagrange dual. Este processo é repetido continuamente até que uma solução factível seja encontrada de tal forma que o valor da função objetivo correspondente não seja maior que o limite inferior para cada subconjunto. Essa proposição afirma que a solução do problema inicial é igual à menor solução possível entre todos os subproblemas obtidos pela divisão de S.

Note que é bastante interessante trabalhar com o dual do problema relaxado, pois com o problema primal, conforme teorema 3, a poda por dominância ocorre somente quando o ótimo do problema relaxado (Ri) é atingido, ou seja, esse problema deve ser resolvido.

Imagem

Figura 1.1: Exemplo de estrutura geral de produtos.
Tabela 2.1: Comparação dos métodos.
Tabela 3.1: Intervalos para geração dos dados.
Tabela 3.2: Parâmetros a serem variados.
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Referências

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