Onde nos primeiros capítulos é feita uma revisão da teoria das Equações Diferenciais ordinárias e, aliada a esta teoria, são resolvidos dois problemas de aplicação: o problema da administração de glicose e da absorção de medicamentos. Os conceitos iniciais sobre equações diferenciais começaram a se desenvolver no final do século XVII com o surgimento da teoria do cálculo a partir dos estudos de Newton e Leibniz. O estudo de equações diferenciais é extremamente importante no estudo do crescimento populacional humano, decaimento radioativo, predador-presa, pois tais equações modelam matematicamente fenômenos de vários campos da ciência.
Posteriormente, (FIGUEIREDO; NEVES, 2001), esta constatação gerou uma busca por novos métodos de solução, ocasionando assim a utilização de séries de funções na solução de equações diferenciais. Embora tais problemas possuam soluções facilmente obtidas analiticamente, o objetivo deste trabalho é mostrar que este software pode ser considerado um importante auxiliar na resolução de equações diferenciais. Inúmeras teses e monografias tratam de conceitos sobre equações diferenciais ordinárias e suas aplicações (NóBREGA, 2016), (ARAúJO, 2011), (ALITOLEF, 2011), porém tratam de problemas clássicos, como o estudo de vibrações, o sistema de massa , primavera ou crescimento populacional e não utilizam o software wxMaxima como recurso computacional para encontrar a solução.
No Capítulo 4 são estudadas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, demonstrando equações lineares com coeficientes constantes e o Wronskiano. O Capítulo 5 traz uma breve introdução ao software wxMaxima e apresenta a solução de dois modelos matemáticos (entrega de glicose e absorção de fármacos), utilizando o software como auxílio na resolução de equações diferenciais ordinárias.
Classificação quanto ao tipo
Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação quanto à ordem
- Linearidade das Equações Diferenciais Ordinárias
- Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias
- Solução Explícita de uma EDO
- Solução Implícita de uma EDO
Vários problemas importantes e essenciais nas áreas de engenharia, física e ciências sociais aplicadas são representados por um modelo matemático e requerem a determinação de uma função que obedece a uma equação contendo uma ou mais derivadas da função desconhecida. De acordo com (ZILL, 2003), toda função 𝜑 definida em um intervalo 𝐼 →R, que possui pelo menos 𝑛 derivadas contínuas em 𝐼, que substituída em uma EDO de ordem 𝑛 reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução da diferencial equação no intervalo I. Solução explícita é a solução onde a variável dependente é expressa apenas em termos da variável independente e das constantes.
Diz-se que uma relação 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária (2.1), num intervalo 𝐼, quando existe pelo menos uma função 𝜑 que satisfaz a relação, bem como a equação diferencial em 𝐼.
Problemas de Valor Inicial
Curvas integrais
PVI de Primeira e Segunda Ordem
Campo de Direções
- Equação Exata
- Equações Diferenciais Não-Exatas - Fator Integrante
- Equações Homogêneas
- Método de solução
- Equações Lineares
- Fator Integrante
O próximo capítulo discute métodos para obter a solução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Este capítulo apresenta alguns métodos analíticos para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para determinar suas soluções, geralmente deve-se reconhecer o tipo de equação diferencial, uma vez que um método que funciona para uma equação de primeira ordem pode não se aplicar a outra.
Equações diferenciais de primeira ordem na maioria dos casos fornecem informações necessárias para prever o comportamento de suas soluções (BASSANEZI; JR., 1988). Equação separável é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser escrita na forma Dada a equação diferencial escrita na forma (3.2), a integração direta pode ser aplicada a ambos os lados da equação.
Sejam 𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) contínuos e tenham derivadas parciais contínuas de primeira ordem no intervalo𝑅 definido por 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. A igualdade das derivadas parciais mistas é consequência da continuidade das derivadas parciais de primeira ordem de 𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦). Integre (3.12) em ordem a 𝑦 e substitua o resultado em (3.11) para obter a solução 𝑓(𝑥, 𝑦) da equação diferencial exata.
Como 𝑀 e 𝑁 são funções conhecidas, observa-se pela equação (3.16) que o fator integrante 𝜇 deve satisfazer a equação diferencial de primeira ordem. Da mesma forma, quando a equação diferencial homogênea tem a forma 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦), uma nova função ℎ é definida tal que 𝑓(𝑥, 𝑦) é escrita como 𝑓(𝑥.) A substituição é feita da seguinte forma: 𝑦 =𝑢𝑥ou𝑥=𝑣𝑦, onde𝑢e𝑣 são as novas variáveis independentes e a equação homogênea é transformada em uma equação separável de primeira ordem.
O método aplicado, por substituição apropriada, transforma uma equação diferencial homogênea em uma equação diferencial separável. O resultado (3.35) é o fator integrante da equação diferencial linear, e 𝜇̸= 0 para todo 𝑥 em 𝐼, é uma função contínua e derivável neste intervalo. A solução𝑦(𝑥) da equação diferencial (3.27) é escrita como. 3.39) No próximo capítulo são discutidos métodos para obtenção da solução de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem.
Equações Homogêneas e Não-homogêneas
As equações diferenciais lineares de segunda ordem são importantes em aplicações em física e matemática, no estudo de oscilações harmônicas, dinâmica de partículas ou circuitos elétricos.
Problemas de Valor Fronteira
Teorema da Existência de Solução Única
Princípio da Superposição: Equações Homogêneas
Dependência Linear e Independência Linear
Um conjunto de funções 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), .., 𝑓𝑛(𝑥) é considerado linearmente independente do intervalo 𝐼 se não for linearmente dependente do intervalo. Se as funções são linearmente dependentes do intervalo, então existem zero constantes 𝑐1 𝑒 𝑐2, onde para todo 𝑥 no intervalo temos Se duas funções são linearmente dependentes, elas podem ser escritas como o produto uma da outra por uma constante.
Portanto, conclui-se que duas funções são linearmente independentes quando não são múltiplas uma da outra num intervalo.
Teorema do Critério para Independência Linear de Funções
Mas a dependência linear de 𝑓1 e 𝑓2 implica que (4.6) tem uma solução não trivial para cada 𝑥 no intervalo.
Solução de Equações Homogêneas
Equação característica
Como 𝑒𝑘𝑥 não desaparece para valores reais de 𝑥, para real (4.9) é possível determinar 𝑘 tal que seja a raiz da equação quadrática, ou seja, . Suponha que a equação (4.10) tenha duas raízes reais iguais, ou seja, 𝑘1 = 𝑘2, então obtemos uma única solução exponencial para a solução geral. Em vez de trabalhar com funções exponenciais complexas, você pode usar funções reais com a fórmula de Euler, 𝑒𝑖𝛽𝑥 = 𝑐1cos(𝛽𝑥) +𝑐2sin(𝛽𝑥), você pode reescrever (4.14) como:.
Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não-Homogêneas
- Solução Particular
- Solução Geral
- Princípio de Superposição: equações não-homogêneas
- Método dos Coeficientes Indeterminados
- Demonstração do Método dos Coeficientes Indeterminados - caso em que 𝑔(𝑥) é uma
- Variação de Parâmetros
Sejam 𝑦𝑝1, 𝑦𝑝2, .., 𝑦𝑝𝑘 𝑘 soluções especiais da equação diferencial linear não homogênea de ordem 𝑛 (4.16) no intervalo 𝐼 correspondente a 𝑛 funções diferentes 𝑔1, 𝑔2, .., 𝑔 𝑛. Se a hipótese estiver correta, a solução da equação diferencial é obtida e pode ser usada como uma solução especial de 𝑦𝑝. Este método é utilizado em equações onde a EDO homogênea correspondente, onde os coeficientes são constantes e o termo não homogêneo pertence às classes de pequenas funções.
A maneira geral de resolver o método pode ser usada para resolver diferentes casos e formas do termo não homogêneo 𝑔(𝑥). Outro método para encontrar uma solução particular de uma equação não homogênea é o método de variação de parâmetros. Ou seja, pode ser aplicado a qualquer equação e não necessita de hipóteses detalhadas sobre a forma de solução.
Mas por outro lado, este método pode tornar-se um pouco mais complicado porque em alguns casos será necessário calcular integrais que incluam o termo não homogéneo da equação diferencial. O método de variação de parâmetros é um método que pode ser usado para obter a solução geral (ou a solução particular) de uma equação diferencial ordinária linear não homogênea. As funções 𝑢1, 𝑢2, .., 𝑢𝑛 não são definidas para serem usadas apenas em equações não homogêneas, elas também são usadas para definir equações homogêneas e é necessário que.
Se as funções 𝑝, 𝑞e𝑔 são contínuas num intervalo aberto 𝐼 e se as funções 𝑦1 e 𝑦2 formam um conjunto básico de soluções da equação homogênea associada à equação não homogênea,. onde 𝑥0 é qualquer ponto convenientemente escolhido em 𝐼. 4.43). Esses problemas de modelagem podem ser representados por equações diferenciais, ou seja, uma equação contendo uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Como exemplo, o raciocínio separável de primeira ordem pode ser usado para descrever uma série de fenômenos como: reações químicas, descarga de poluentes em um lago, injeção de medicamento na corrente sanguínea.
Em um problema do mundo real, você geralmente percebe mudanças acontecendo e deseja prever o comportamento futuro com base em como os valores atuais mudam.
Software wxMaxima
Alguns problemas matemáticos podem ser resolvidos através da construção de modelos para descrever os fenômenos físicos envolvidos (STEWART, 2007).
Problema da administração de glicose
Uma vez determinada a solução analítica da equação (5.1) sujeita à condição 𝐶(0) = 𝐶0, representada por (5.10), são apresentados os comandos wxMaxima para obter a solução do problema proposto.
Problema de Absorção de remédios
Supondo que seja administrada uma dose inicial igual a 𝐶0 no tempo 𝑡= 0, que é imediatamente absorvida pelo sangue, é necessário determinar a concentração no tempo 𝑡. Suponha que você queira determinar quanto tempo o paciente leva para eliminar 90% do medicamento aplicado, sabendo que o organismo elimina metade do medicamento em 30 horas. Para determinar o tempo 𝑡i horas que o paciente leva para eliminar 90%, considera-se que apenas 10% da concentração original ainda permanece no corpo.
Para obter um gráfico da solução é necessário determinar a dose que o paciente irá consumir, portanto a condição inicial do medicamento que será administrado será 𝐶0 = 60𝑚𝑙, com esta condição também é possível saber através do solução gráfica de quantas horas o medicamento precisa para atuar no organismo do paciente. A teoria das equações diferenciais ordinárias é estudada há muito tempo e até hoje aborda questões relacionadas ao nosso dia a dia. Com base neste fato, este trabalho foi escrito para conter duas aplicações relacionadas à farmacologia, a fim de mostrar aplicações neste campo e estudar conceitos da teoria das equações diferenciais ordinárias.
Dentre o conteúdo examinado, destacam-se definições, teoremas e métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias. Neste trabalho foi apresentado o estudo de dois problemas de aplicação envolvendo equações diferenciais lineares: a administração de glicose na corrente sanguínea e o problema de absorção de medicamentos (estudo da concentração de medicamentos administrados a um paciente). O software, além de auxiliar na resolução de problemas, foi utilizado para obter uma representação gráfica da solução dos problemas de administração de glicose e captação de medicamentos.
Os objetivos deste trabalho foram alcançados, pois a solução de equações diferenciais ordinárias lineares foi obtida tanto analiticamente quanto com auxílio do software. Nesse caso, pode-se dizer que utilizar a ferramenta de cálculo wxMaxima ajuda a entender a solução de tais equações. Espera-se que este trabalho contribua para estudos futuros, e ajude a compreender melhor os conceitos de equações diferenciais ordinárias lineares.
No futuro, pretendemos continuar o estudo de equações diferenciais de segunda ordem, e utilizar wxMaxima para estudar a solução de equações diferenciais parciais.
