OBJETIVOS 11
METODOLOGIA 12
Para a realização do nosso trabalho, utilizou-se o método da pesquisa descritiva para justificar nossa afirmação de que o estudo das equações diofantinas está incluído na grade curricular das séries finais do Ensino Fundamental. Cabe ressaltar que essas leituras nos enriqueceram muito, ampliaram nossos conhecimentos e trouxeram novas visões e perspectivas para justificar nosso trabalho. Através desses autores, podemos fazer um relato da biografia do matemático grego Diofante, autor das equações diofantinas, objeto de estudo do nosso trabalho, e apresentar suas obras com a “Aritmética”, maior destaque como principal fonte de os estudos das equações diofantinas.
Com toda a pesquisa realizada, acreditamos ter obtido informações que não só justificam o nosso trabalho, mas confirmam o nosso objetivo, de comprovar que o estudo das equações de Diofanto já consta na grade curricular da última série do ensino fundamental.
BREVE RELATO DA HISTÓRIA 13
- Diofanto de Alexandria 14
- A Obra “Arithmética” 14
- Problemas do Livro “Arithmética” 16
Diofanto escreveu três obras: "Arithmética", a mais importante, um tratado originalmente em treze livros, mas apenas os seis primeiros sobreviveram; “Sobre Números Poligonais”, do qual resta apenas um fragmento, e “Porismas”, que se perdeu. A "Arithmética" teve muitos comentadores históricos, mas a primeira voz a pedir uma tradução do grego foi Regiomontanus, em 1463, quando descobriu uma cópia da obra em Pádua. Como menciona Howard Eves (1997), a “Aritmética” de Diofanto era algo bastante diferente das obras conhecidas até então, era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e engenhosidade, visto desta forma, pode o livro ter sido comparado aos grandes clássicos do Período Alexandrino, mas não tem quase nada em comum com ele, ou com qualquer matemática grega tradicional.
Mas enquanto os matemáticos babilónicos se preocupavam com soluções aproximadas de equações definidas até ao terceiro grau, o trabalho de Diofanto foi dedicado quase inteiramente à solução exacta de equações definidas e indefinidas. "Aritmética" é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números que eleva o autor ao status de um gênio em sua área. Um problema pede que dois números sejam encontrados de modo que cada um junto com o quadrado do outro dê um quadrado perfeito.
Assim, temos um esquema que se aproxima de ser um “método” na obra de Diofante: quando duas condições devem ser satisfeitas por dois números, elas são escolhidas de modo a satisfazer uma das duas condições; e então o problema de satisfazer o segundo é resolvido, ou seja, em vez de resolver equações simultâneas sobre duas incógnitas, Diofanto trabalha com condições sucessivas para que apareça uma única incógnita. Segundo Roque (2012), a contribuição mais famosa de Diofanto é introduzir uma forma de representar o valor desconhecido em um problema e denotá-lo como aritmética, daí o nome “aritmética”. Solução proposta por Diofanto: Se quisermos decompor 16 em dois quadrados e assumir que o primeiro é 1 unidade aritmética, o outro terá 16 unidades menos um quadrado aritmético e portanto 16 unidades menos um ângulo aritmético é um quadrado.
Vamos elevar ao quadrado qualquer sequência de aritmos menos tantas unidades quanto a raiz quadrada de 16 unidades, ou seja, o quadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este quadrado terá 4 unidades de arithmos e 16 unidades menos 16 arithmos que igualaremos a 16 unidades menos um quadrado de arithmos e somando os termos negativos em ambos os lados e permanecendo semelhantes, o resultado é que 5 quadrados de arithmos são iguais a 16 aritmética e, portanto, 1 aritmética é igual a 16.
Nesta fase, o aluno tem mais habilidade em enxergar nos problemas matemáticos, não apenas os números e as soluções a serem encontradas, mas em trazer esses problemas para sua vida por meio de situações-problema que tratam do dia a dia de todos, de sua comunidade, e também na escola e socialmente, o que amadurece seu raciocínio lógico e os prepara para a próxima etapa de seu aprendizado, o ensino médio. 1. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de criar argumentos persuasivos utilizando conhecimentos matemáticos para compreender e agir no mundo. Compreendem as relações entre conceitos e procedimentos em diferentes áreas da matemática (aritmética, álgebra, geometria, estatística e probabilidade) e outras áreas do conhecimento, sentem-se confiantes quanto à sua própria capacidade de construir e utilizar conhecimentos matemáticos, desenvolvem autoestima e persistência em encontrar soluções." (BNCC, página 269).
Portanto, o estudo das equações diofantinas nas séries finais do ensino fundamental também está previsto na BNCC, embora não de forma explícita, pois nosso objetivo com este trabalho é mostrar que todo o conteúdo necessário para o estudo deste tipo de equações está incluído na a BNCC. BNCC, e são adquiridos pelos alunos, tornando-os capazes de resolver essas equações.
FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA 20
- Princípio da Boa Ordem 20
- Divisibilidade 21
- Divisão Euclidiana 22
- Máximo Divisor Comum 23
- Algoritmo de Euclides 24
A divisão de um número inteiro por outro nem sempre é exata, e expressamos esta possibilidade através da relação de divisibilidade. Definição: Dados dois inteiros 𝑎 e b, com 𝑎 ≠ 0, dizemos que 𝑎 divide b e escrevemos 𝑎 | b, se existir um número inteiro k tal que b = k𝑎. A seguir trazemos um resultado importante, que garante que sempre é possível dividir o inteiro a pelo número b.
Da divisão euclidiana, temos que o resto da divisão de a por b é zero se e somente se b divide a. Existem alguns casos especiais em que é fácil verificar a existência de um máximo divisor comum entre dois inteiros. Como todo número inteiro é divisível por 0, o máximo divisor comum de a e b, onde a= b = 0, é 0, pois é o divisor comum de a e b e é o único divisível por todos os divisores de 0.
Mostrar a existência do máximo divisor comum de quaisquer dois inteiros diferentes de zero é facilmente compreendido, como mostramos a seguir. A fatoração primária nos permite calcular o máximo divisor comum entre dois ou mais inteiros, mas nem sempre estaremos lidando com números pequenos. Seguindo o procedimento descrito detalhadamente no exemplo acima, pode-se observar que o algoritmo de Euclides também nos oferece uma forma de escrever o máximo divisor comum de dois números como a soma dos múltiplos dos números em questão.
Quando usamos o Algoritmo Euclidiano para expressar (a, b) na forma ma + nb, com m, n ∈ ℤ, chamamos-lhe Algoritmo Euclidiano Estendido. O método do Algoritmo Euclidiano Estendido será de grande utilidade para resolver as Equações Diofantinas, mas no próximo capítulo veremos outro método mais prático para determinar os inteiros m e n desta forma.
EQUAÇÕES DIOFANTINAS 27
No próximo capítulo apresentamos uma proposta de atividades que incluem as equações diofantinas, para utilização nos últimos anos do ensino fundamental. Nas olimpíadas de matemática, os alunos de I. e II. níveis desafiados para descobrir qual nível se sairia melhor no teste. Em busca de melhores resultados, os alunos formaram grupos de estudos e utilizaram alternadamente a biblioteca escolar para preparação, sendo que o grupo de alunos do primeiro nível estudava às segundas e quartas-feiras, o grupo de alunos do segundo nível estudava às segundas e quartas-feiras. sempre em desacordo com suas classes.
Dado que o número total de questões resolvidas pelos dois grupos foi de 40 questões e sabendo que o grupo de nível II resolveu 2 questões a mais que o grupo de nível I, determine o número de questões resolvidas por cada grupo. Temos também que o grupo de nível II resolveu 2 questões a mais que o grupo de nível I e também que o total de questões resolvidas pelos dois grupos foi de 40 questões. Temos uma equação Diofantina do tipo ax+by=c, onde a=28, b=90 e c=22 e x, y as variáveis a serem encontradas que serão a solução da equação.
Solução: Temos uma equação Diofantina 12L+8C=80, onde L representa a quantidade de conjuntos de canetas e C a quantidade de cadernos que a mãe de Maíra poderá comprar. Espera-se também que reconheçam as equações Diofantinas em conteúdos já estudados anteriormente e principalmente desenvolvam suas habilidades para identificar, formular, analisar e resolver problemas envolvendo equações Diofantinas, consolidando, ampliando e aprofundando assim o aprendizado previamente desenvolvido. Ao final da aplicação dessas atividades, pretendemos mostrar que as equações Diofantinas já são estudadas nas últimas turmas do ensino fundamental e também no ensino médio, e portanto podem ser incluídas no currículo sem acréscimo de conteúdo, uma vez que todos os pré-requisitos são necessário ao seu estudo já existe, faz parte do currículo de estudo, segundo a BNCC.
Pode-se dizer que a principal aplicação do máximo divisor comum está na solução das equações diofantinas. Por outro lado, acreditamos que o estudo das equações diofantinas provoca nos alunos a investigação e pesquisa através de situações-problema contextualizadas, tornando-os iniciadores e curiosos, levando-os a desenvolver seu raciocínio lógico, suas interpretações e análises de problemas antes que fossem vistos apenas numericamente. , estimula o prazer de estudar matemática.
ATIVIDADES PROPOSTAS 34
Optamos por trabalhar com alunos do 9º ano, pois eles já possuem o conhecimento de todos os pré-requisitos necessários para compreender o conteúdo que será trabalhado. Inicialmente, recomendamos uma breve revisão do conteúdo considerado pré-requisito para o aprendizado de Equações Diofantinas, com exercícios sobre máximo divisor comum, equações de primeiro grau e sistemas de equações de primeiro grau com duas variáveis. Solução: Agora temos uma equação de primeiro grau para resolver, precisamos coletar os dados do enunciado do problema e 'compilar' nossa equação.
Solução: Este exercício nos traz um sistema de equações quadráticas, e para resolvê-lo os alunos devem identificar os dados do enunciado, coletar as equações, e então demonstrar o sistema e resolvê-lo. Propomos um exemplo a ser resolvido utilizando a ideia de plano cartesiano, ou seja, os alunos precisam encontrar valores de ‘x’ e ‘y’ que serão pares ordenados que satisfaçam a equação e marcá-los na equação cartesiana. avião. Justificamos este método de resolução da equação Diofantina apresentado neste exemplo devido ao fato de que algumas destas equações possuem soluções limitadas, dependendo do problema proposto, e as soluções são encontradas por tentativa e erro, como no problema aqui apresentado.
Esta equação pode ser representada no plano cartesiano pelos pares ordenados na reta y =120−6𝑥. Resta-nos agora colocá-los no plano cartesiano e assim encontrar a reta, que contém o conjunto discreto formado pelos pares ordenados que representam geometricamente a solução da equação Diofantina apresentada. Num terceiro e último momento, damos mais dois exemplos de como resolver as equações Diofantinas, e apresentamos vários métodos de solução diferentes.
Ressaltamos que as soluções encontradas não são únicas, pois existe uma infinidade de pares ordenados que também são soluções da equação, apenas alterando t. Para voltar a estudar, a mãe de Maíra comprou cadernos e jogos de canetas para a filha. Portanto, concluímos que a mãe de Maíra poderá comprar 4 cadernos e 4 conjuntos de canetas com os R$ 80,00 que possui.
Esperamos, com a aplicação das atividades propostas, que os alunos eventualmente consigam resolver situações-problema utilizando o raciocínio lógico para sua interpretação somado ao seu conhecimento matemático, e cheguem às soluções adequadas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS 45
