Fun¸ c˜ oes de Matrizes

As funções f : U ⊂ C → C podem gerar funções de matriz quadrada, chamadas de funções de matriz. Essas funções constituem um tópico central da Álgebra Linear, mas não estão presentes nas apresentações tradicionais do assunto. A representação de funções matriciais é limitada ao caso de polinômios de uma matriz quadrada ou, alternativamente, quando a matriz A é simétrica e A = P−1DP, com diagonal D, f(A) é definida por P−1f(D) P , onde f(D) é obtido avaliando f em cada uma das entradas diagonais de D.

Nossa interpretação de funções matriciais pode ser resumida como uma generalização da versão de dimensão finita do cálculo funcional de Dunford-Schwarz [9] e já era conhecida por Gantmacher [10]. Com este texto, pretendemos contribuir para a reavaliação do cálculo funcional em álgebra linear básica. O Capítulo 2 é apenas uma nota sobre a divisão de uma função por um polinômio. mostraremos que sob hipóteses naturais tal divisão é euclidiana.

Essa abordagem eventualmente leva aos Teoremas de Preparação de Weierstrass e Malgrange, que estão muito além do escopo deste texto). Difere daquele pela inclusão de pré-requisitos e pelo maior detalhamento, além da eliminação de uma de suas seções.

O polinˆ omio m´ınimo

O teorema de Cayley-Hamilton

Definição 1.6 O polinômio característico da aplicação linearT :V →V é o polinômio característico de qualquer uma de suas representações matriciais. Para provar a afirmação, notamos que quando completamos S para obter uma base B de V, a representação de T está nesta base. O resultado segue das propriedades do determinante, pois det(zI−T) = det(zI−A) det(zI−C) = pW(z)q(z). em cada expressão a ordem das matrizes I é diferente).

Decomposi¸c˜ ao de operadores

Um homomorfismo de ´ algebras

Exemplo 1.15 O espaço vetorial P de todos os polinômios com coeficientes em K é uma álgebra comutativa com unidade. A divisão euclidiana do polinômio p por m mostra que P(T) consiste em polinômios em T com grau menor que o do polinômio mínimo. Consideramos que o grau do polinômio é identicamente zero.

Exerc´ıcios

Se r e s são os polinômios mínimos de T|W1 e T|W2, respectivamente, mostre que o polinômio mínimo de T é m.m.c.(r , s), o mínimo múltiplo comum dos polinômios r e s. Uma aplicação linear T : V → V é diagonalizável T pode ser representada por uma matriz diagonal, isto é, por uma matriz diagonal de blocos cujos blocos diagonais são todos submatrizes 1×1. Mostre que um operador T :V →V é diagonalizável se e somente se V tem uma base formada pelos autovetores de T .

Note que se U é aberto e f é analítico em U, a condição (ii) vale imediatamente. A terminologia utilizada na definição acima é motivada pelo seguinte resultado, válido tanto para funções definidas em I ⊂ R quanto em U ⊂ C. q, contínua em cada uma das raízes do polinômio p, e um polinômio r tal que f = qp+r, gr r

Queremos mostrar que podemos escolher em menor grau do que dep, de modo que q tenha expansão contínua em cada uma das raízes dep.

O polinˆ omio interpolador

O polinômio r requerido satisfaz um sistema linear não homogêneo, que pode ser escrito na forma de matriz como Apresentamos agora uma consequência da Proposição 2.2 que está faltando em nossos cursos básicos para uma variável complexa: a álgebra H de todas as funções analíticas f : C → C é euclidiana com relação a todo polinômio p. Este resultado se estende a funções f :I ⊂R→R de classe C∞ e polinômios cujas raízes estão todas em I: a regra de L'Hospital implicará então q∈C ∞.

Exerc´ıcios

As funções matriciais são geralmente definidas em duas situações: ou a função f é suave nos autovalores da matriz diagonalizável A=P−1DP (com diagonal D) e f(A) é definida por P−1f(D)P ou a função f é analítica e f(A) é definida por meio de uma série de expansões de potências de f (ver exemplos no capítulo 4). Este é um dos resultados mais profundos da teoria espectral: f(A) é um polinômio em A, cujos coeficientes são determinados pelos valores que f (e suas derivadas, conforme o caso) assumem no espectro σ( A) da matriz A. DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES DE MATRIZ 15Exemplo 3.1 Cálculo da potência de uma matriz (simétrica?).

Definindo fun¸c˜ oes de matrizes

Suponha que s seja outro polinômio que cancela a matriz A e r1 seja o polinômio de interpolação gerado por s.

Justificando a defini¸c˜ ao

O caso geral de matrizes na forma canônica de Jordan será tratado no apêndice deste capítulo. Para calcular f(D) de acordo com a definição 3.2, de acordo com o lema 3.4 basta calcular f em cada um dos blocos diagonais D1 =λ1,.

Estendendo o homomorfismo de ´ algebras

Apˆ endice: Matrizes na Forma de Jordan

APÊNDICE: MATRIZES EM JORDAN FORM 19 Denotamos por Fk a álgebra de todas as funções f definidas e de classe. Comparando esta expressão, obtida pela definição 3.2, com a definição de função matricial na forma de Jordan2, vemos que elas coincidem. No caso de blocos k ×k, com 1 ≤ k < d, basta observar que o polinômio procurado deve sempre ter grau k−1, pois o polinômio característico do bloco (que coincide com o polinômio mínimo) gordok tem

Para passar de blocos para matrizes na forma canônica jordaniana, basta, como antes, observar que r(A) =P−1r(J)P.

Exerc´ıcios

Mostre que não existe inteiro j < k tal que a convergência na norma k · kCj(K) implica convergência na semi-norma k · kP. Para isso consideramos a função exponencial exp :C→C, cuja representação em série de potências. Se kAk denota a norma usual no espaço L(Cn,Cn) das transformações lineares A:Cn→Cn, afirmamos isso.

Notamos também que as propriedades do fluxo são consequências imediatas do cálculo funcional. A prova de que eA+B = eAeB se e somente se AB =BA procede normalmente. Os exemplos acima mostram as vantagens práticas de se obter a vazão eAt por cálculo funcional.

Como consequência, deduzimos que o papel dominante atribuído à Forma Canônica de Jordan no estudo do sistema linear x0 = Ax não é intrínseco: toda análise de sistemas hiperbólicos pode ser realizada sem o uso de a-la (ver [4] ).

Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas

Logaritmo

Raiz quadrada

A inversa

Exerc´ıcios

TEOREMA ESPECTRAL Como o lado esquerdo da equação acima não tem inverso, pelo menos um dos fatores A−λiI não tem inverso.

O teorema espectral

O TEOREMA ESPECTRAL 31 nos oferece outra caracterização desse espaço: como o polinômio característico de T|Wi´e (z−λi)ri (justifica!), todo elemento wi ∈Wi satisfaz (T −λiI )riwi = 0 e, se wj 6 ∈ Wi, (T − λiI)riwj 6= 0 (justifique). Se V é um espaço vetorial de dimensão n sobre R, o teorema espectral permanece válido sempre que o operador T : V → V tiver todos os seus n autovalores (incluindo a multiplicidade) no corpo R. Por outro lado, dado um operador linear T : V → V sobre um espaço vetorial real V, pode-se definir uma complexificação VC, um espaço vetorial sobre C contendo V como um subespaço, e uma extensão para TC : VC → VC de T - chamada de complexificação de T.

Os polinômios característicos p(z) e o menor m(z) para T e TC coincidem, então podemos concluir que todos os fatores irredutíveis que estão presentes na fatoração de p(z) também estão presentes na fatoração de m(z) . 1 Para simplificar os cálculos, usamos o polinômio mínimo T em vez do polinômio característico. Corolário 5.6 Um operador linear T : V → V é diagonalizável se e somente se seu polinômio mínimo é o produto de diferentes fatores lineares.

Então V tem uma base formada pelos autovetores de T, conforme Exercício 10 do Capítulo 1. Como o Teorema Espectral 5.3 implica que os polinômios mínimos e característicos têm os mesmos fatores irredutíveis, mostramos que existe o polinômio mínimo de T. Teorema Espectral 5.3 pode ser aplicado, desde que o polinômio característico p de T tenha suas n raízes em R.

Definimos a complexificação de T como o mapa TC:VC→VC definido por TC(u+iv) = T u+iT v. Prova: (i) Apenas observe que as partes reais e imaginárias v de qualquer vetor u+iv podem ser escritas como uma combinação linear dos elementos de base de V. ii) Segue-se imediatamente de (i) com a identificação V 3v = v +i0∈VC, porque então as representações de T e TC em uma base de V são iguais. iii) Seja λ um autovalor de TC e p(z) o polinômio característico de TC. Uma base formada a partir de vetores reais é obtida tomando um subconjunto de S com k elementos que são linearmente independentes em V.

O TEOREMA PRINCIPAL DA DECOMPOSIÇÃO Lema 6.4 Seja T : V → V um operador linear e TC sua complexação. Escrevendo u e v em termos de vetores de base reais, segue imediatamente que ˜W é a complexação do espaço real W gerado pelos vetores dessa base. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA 37 Seja λ um autovalor real de TC e ˜Wλ = ker(TC−λI)d um dos subespaços da decomposição espectral (6.1) de TC.

De acordo com o exercício 9 do Capítulo 1, o polinômio mínimo de T está restrito a ˜Wλ⊕W˜λ¯ o polinômio real. De acordo com o lema 6.4, o espaço ˜Wλ⊕W˜¯λ é a complexificação do espaço real Wλλ¯ e seus polinômios minimal coincidem.