Gazeta de matemática

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G A Z E T A

M A T E M Á T I C A

J O R N A L D O S C O N C O R R E N T E S A O E X A M E D E A P T I D Ã O E D O S E S T U D A N T E S D E M A T E M Á T I C A D A S E S C O L A S S U P E R I O R E S

A N O X I T I

N.° 52

A C O S T O 1952

S U M A R I O G u i d o C a s t e l n u o v o por José Sebastião e Silva P r o b l è m e s de d é p o u i l l e m e n t s - — I V

por Pierre Dufresne

P e d a g o g i a

Ainda o programa de Matemática do 1.° ciclo por Maria Teodora Altet

A n t o l o g i a Bourhaki e a sua influeucia

por L. Scfttvarz Sobre as origens da Topologia

por J. G. Croirlher

M o v i m e n t o C i e n t í f i c o

rjnlflo Matemática Internacional — Reunites cientificas — Prémios Gomes Teixeira e G . F u h i n i — Prof. Or. It. Pereira Coelho

M a t e m á t i c a s E l e m e n t a r e s Pontos de exames de aptidão às Escolas Superiores

M a t e m á t i c a s Superiores Pontos de exames de frequência e finais

Aigelira S u p e r i o r — M a t e m á t i c a s Gerais — Cálculo Infinitesimal

— Mecânica Racional

Problemas R o l e t i m B i b l i o g r á f i c o

D E P O S I T Á R I O : L I V R A R I A S Á D A C O S T A / R U A G A R R E T T ,

100-102

/ L I S B O A

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E D I T O U —; Gazeta de Matemática, Lda. ADMINISTRADOR — A. Sá da Costa

Sede e A d m i n i s t r a ç ã o — I l u a A l m i r a n t e B a r r o s o , 20, r / c — L i s b o a - N .

R E D A C Ç Ã O

Redactor principal :

Manuel Zaluar

Redactores adjuntos:

J. Gaspar Teixeira, J. Morgado e J. da Silva Paulo

O U T R O S C O M P O N E N T E S EM PORTUGAL:

Coimbra:

A n t ó n i o A . L o p e s , L . O. A l b u q u e r q u e ;

Lisboa:

A l m e i d a Costa, A . F e r r e i r a de Macedo, A . S á d a Costa, F . C. A r a ú j o , H . de Menezes, J . Calado, J . G a s p a r T e i x e i r a , J . S e b a s t i ã o e S i l v a , J . d a S i l v a P a u l o , J . R . A l b u q u e r q u e , L u i s Passos, Manuel I'eres J.^{0 1}', M . T e o d o r a A l v e s , M á r i o M a d u r e i r a , O r l a n d o M . R o d r i g u e s , Vasco O s ó r i o e V . S. B a r r o s o ;

Ponta Delgada:

J . J . R o d r i g u e s dos S a n t o s ;

Porto:

A n d r a d e G u i m a r ã e s , D e l g a d o de O l i v e i r a , F . Soares D a v i d , L a u r e a n o B a r r o s , L . Neves R e a l , M . G . M i r a n d a , M . G . P. B a r r o s , Rios de Souza e B u y L u í s Gomes.

NO ESTRANGEIRO:

Argentina —

Buenos Aires: L . A . S a n t a l ó ; Mendoza: F . T o r a n z o s ; San Juan: A n t ó n i o M o n t e i r o ! San Luis: Manuel B a l a n z a t ;

Brasil —

Belo Horizonte: C r i s t ó v a m dos S a n t o s ; Recife: L u i z F r e i r e ; liio de Janeiro: Achille B a s s i e L e o p o l d o N a c b b i n ; São Paulo: O m a r C a t u n d a ; Espanha — Barce- lona: Francisco Sanvisens ; Madrid: S i x t o R i o s G a r c i a ;

Itália —

Roma : E m m a Castelnuovo ;

França —

Paris: P a u l H c l p r o d è r e ; Marseille: A . P e r e i r a G o m e s ; Suissa — Zurich : II. W u r m u s ; Uruguay — Monteoideo : R a f a e l L a G u a r d i a ; U. S. A. — Lincoln: M a r i a P i l a r R i b e i r o .

C O N C E I T O S F U N D A M E N T A I S D A M A T E M Á T I C A POR BENTO DE JESUS CARAÇA

N o v a e d i ç ã o englobando num volume as duas primeiras partos já publi- cadas e a terceira parte i n é d i t a , que se c o m p õ e dos seguintes c a p í t u l o s :

I — O método dos limites.

I I — Um novo instrumento numérico — as séries.

I l l — O problema da continuidade.

PU E Ç O : 6 0 E s c .

NO PRELO:

Á L G E B R A M O D E R N A voit VAN DER WAERDEN Vol. 1 — [ase. 2 — Trad, de Hugo Ribeiro

T I P O G R A F I A MATEMÁTICA, L O A . — R . A l m i r a n t e B a r r o s o , 20 r / c . — LISBOA - N Telef. 55 282

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KBDACToit P K I X C I P A I. :

M. Zaluar»

E D i T o s :

Gazeta de Matemática, Lda.

• A n M i m s T n A u o r . :

A. Sá da Costa

R E D A C T o i t E s A D J U N T O S :

J. Gaspar Teixeira, J. Morgado e J. da Silva Paid o

Composto na Tipografia Matemática, Lda. — R. Aimirante Barroso, 2 0 , r/c — LISBOA-N

Guido C a s f e í n u o v o

por J o s é S e b a s t i ã o e Silva

N o d i a 2 7 de A b r i l de 1 9 5 2 p e r d e u a I t á l i a u m a das suas mais venerandas f i g u r a s de c i e n t i s t a e per- deu a M a t e m á t i c a u m dos seus mais valiosos c u l t o r e s

— G U I D O CASTELNUOVO, o e m i n e n t e g e ó m e t r a que, em cerca de 8 7 anos, deu ao m u n d o u m r a r o exemplo de v i d a nobremente v i v i d a .

G U I D O CASTELNUOVO nasceu em V e n e z a e m 1 4 de A g o s t o de 1 8 6 5 . D e seu p a i , E N R I C O CASTELNUOVO, es- c r i t o r e r o m a n c i s t a de t a l e n t o , h e r d o u o t e m p e r a m e n t o a r t í s t i c o .

Desde m u i t o cedo m a n i f e s t o u i n c l i n a ç ã o p a r a as m a t e m á t i c a s , e u m h á b i l professor, F A I F O F E R , no L i c e u FOSCARINI de Veneza, soube d e s c o b r i r e a v i v a r essa t e n d ê n c i a do j o v e m G U I D O .

A O S 2 1 anos f o r m o u - s e n a U n i v e r s i d a d e de P á d u a sob a o r i e n t a ç ã o de G I U S E P P E VERONESE, u m dos m a i s b r i l h a n t e s d i s c í p u l o s de CREMONA. L o g o em s e g u i d a f o i p a r a T u r i m como assistente de D ' O V I D I O e t r a v o u a l i c o n h e c i m e n t o c o m CORRADO S E Q R E , g e ó m e t r a de e l e i ç ã o , que exerceu i n f l u ê n c i a p r o f u n d a e d e c i s i v a sobre a e v o l u ç ã o c i e n t í f i c a de C A S T E L N U O V O ^ ) .

E m 1 8 9 1 , apenas c o m 2 6 anos e j á n o t a b i l i z a d o pelos seus t r a b a l h o s , é nomeado Professor d a C a d e i r a de G e o m e t r i a A n a l í t i c a e P r o j e c t i v a d a U n i v e r s i d a d e de R o m a . Nesse l u g a r se m a n t e r á i n i n t e r r u p t a m e n t e a t é 1 9 3 5 , ano e m que a t i n g e o l i m i t e de i d a d e .

Pouco depois d a v i n d a de CASTELNUOVO p a r a R o m a , deu-se u m f a c t o que v i r i a a t e r as m a i s f e l i z e s reper- c u s s õ e s n a c i ê n c i a i t a l i a n a . FEDERIQO ENRIQUES, e n t ã o r a p a z de 2 1 anos, c o n c l u í d a a sua f o r m a t u r a n a E s c o l a N o r m a l S u p e r i o r de' P i s a , e j á e v i d e n c i a d o com a l - g u n s t r a b a l h o s de i n v e s t i g a ç ã o em g e o m e t r i a p r o j e c - t i v a h i p e r e s p a c i a l , v e i o p a r a R o m a em N o v e m b r o de 1 8 9 2 como estudante de a p e r f e i ç o a m e n t o , a f i m de i n i - c i a r as suas pesquisas no campo d a G e o m e t r i a A l g é - ( ' ) C . NKGIÍK era apenas dois anos mais velho do que C A S . T E L N U O V O e veio a ser, como este, uma das figuras mais repre- sentativas da escola g e o m é t r i c a Italiana.

b r i c a . E r a este ura novo r a m o d a G e o m e t r i a , que t i - nha p o r objecto o estudo das p r o p r i e d a d e s i n v a r i a n - tes a respeito das t r a n s f o r m a ç õ e s b i r r a c i o n a i s . E s - t a v a e n t ã o em R o m a L U I Q I CREMONA, O g r a n d e mestre 4ue f o i e m I t á l i a o p i o n e i r o d a G e o m e t r i a A l g é b r i c a com a descoberta das t r a n s f o r m a ç õ e s b i r r a c i o n a i s , t a m b é m chamadas t r a n s f o r m a ç õ e s cremonianas, e à v o l t a de q u e m se f o r m a r a u m v e r d a d e i r o enxame de de estudiosos, animados pelo f e r v o r de e x p l o r a r as novas sendas de i n v e s t i g a ç ã o .

CASTELNUOVO e E N R I Q U E S encontrarara-se nesse p e - r í o d o . T e v e e n t ã o i n í c i o u m a s ó l i d a c a m a r a d a g e m q u e h a v i a de p r o l o n g a r - s e p o r t o d a a v i d a e a que veio d a r m a i o r c o n s i s t ê n c i a o m a t r i m ó n i o de CASTELNUOVO com E L B I N A E N R I Q U E S , i r m ã de F E D E R I G O . N a q u e l e ano de 1 8 9 2 j á CASTELNUOVO era homem c é l e b r e p o r a l g u - mas suas m e m ó r i a s em q u e se o c u p a das p r o p r i e d a d e s i n v a r i a n t e s a r e s p e i t o das t r a n s f o r m a ç õ e s b i r r a c i o n a i s das s u p e r f í c i e s (*) e que f i c a r a m como p i l a r e s d a n o v a t e o r i a , h o j e conhecida p o r « G e o m e t r i a sobre u m a s u - p e r f í c i e » . E m longos, i n t e r m i n á v e i s passeios pelas r u a s de R o m a (no tempo e m que eram calmas e s i l e n - ciosas as r u a s das grandes cidades) CASTELNUOVO e x p ô s ao c o m p a n h e i r o os mais recentes resultados o b t i d o s no novo campo e i n d i c o u - l h e as q u e s t õ e s que c o n t i - n u a v a m abertas. D e c o r r i d o s poucos meses, c o m f u l - g o r g e n i a l , ENRIQUES l e v a n t a v a u m o u t r o p i l a r d a mesma t e o r i a , escrevendo u m a m e m ó r i a que f o i p u - b l i c a d a e m 1 8 9 3 .

E assim CASTELNUOVO, i n i c i a n d o o a m i g o , a c l a r a v a ele mesmo as suas i d e i a s e c r i a v a e s t í m u l o s m a i s f o r t e s à p r ó p r i a a c t i v i d a d e c r i a d o r a . D o s seus p a s - seios com SEORE em T u r i m se disse que t i n h a pascido e n t ã o u m a n o v a G e o m e t r i a . D o s seus passeios c o m

(') Deve, no entanto, especificar-se que os primeiros impor- tantes trabalhos de C A S T E L N U O V O se referem à reconstrução da teoria das s é r i e s lineares sobre as curvas (Geometria sobre uma curva) com base na geometria numerativa,

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ENRIQUES se veio a dizer que v á r i o s progressos d e c i - sivos da G e o m e t r i a A l g é b r i c a f o r a m f e i t o s nas r u a s de R o m a .

E m 1 8 9 4 , ENRIQUES v a i paTa a U n i v e r s i d a d e de B o l o g n a , donde s ó 2 8 anos depois é t r a n s f e r i d o p a r a R o m a ; mas de n e n h u m modo este a f a s t a m e n t o v e i o a f r o u x a r a sua c o o p e r a ç ã o com CASTELNUOVO.

Sobre a base c o n s t i t u í d a pelas c o n c e p ç õ e s a l g é b r i - cas e a n a l í t i c a s v i n d a s da A l e m a n h a ( R I E M A N N , B R I L L , NOETHER, K L E I N , etc.), os dois cunhados g e ó m e t r a s de- senvolvem, no decorrer de anos calmos e l a b o r i o s o s , a sua o b r a m o n u m e n t a l , que h á de c o n d u z i - l o s à g l ó r i a .

« M a i t a n t a c o l l a b o r a z i o n e f a m i l i a r e f u oosi f r u t - t u o s a » — d i s s e FRANCESCO S E V E R I n a a l o c u ç ã o p r o f e r i d a p e l a r á d i o no d i a s e g u i n t e ao do f a l e c i m e n t o de CASTELNUOVO.

Mas a eles se v e i o j u n t a r , com u m a d i f e r e n ç a de poucos anos, esse o u t r o astro da escola g e o m é t r i c a i t a l i a n a —FRANCESCO S E V E R I— no m o m e n t o em que novas ideias e novos m é t o d o s eram i n t r o d u z i d o s em G e o m e t r i a A l g é b r i c a c o m o a f l u x o d a c o n t r i b u i ç ã o m a t e m á t i c a f r a n c e s a ( P O I N C A R É , P I C A R D , P A I N L E V É , e t c . ) . A s s i m como n ã o é p o s s í v e l d i s s o c i a r os nomes de E N R I Q U E S e CASTELNUOVO no d o m í n i o da p r o d u ç ã o c i e n - t í f i c a , assim . t a m b é m é i n e v i t á v e l nomear S E V E R I quando se f a l a dos p r i m e i r o s (*). Q u a l q u e r dos t r ê s é colocado entre os f u n d a d o r e s e os mais i n s i g n e s c u l - tores d a G e o m e t r i a A l g é b r i c a .

H o j e , com a moderna o r i e n t a ç ã o a b s t r a í a d á Á l g e b r a e d á T o p o l o g i a , a G e o m e t r i a A l g é b r i c a envereda p o r u m a v i a morosa de c o n s o l i d a ç ã o e de a p e r f e i ç o a m e n t o l ó g i c o ; mas é a eles, é ' à i n t u i ç ã o p r o d i g i o s a dos g e ó - metras i t a l i a n o s , que se deve grande p a r t e das c o n - q u i s t a s essenciais.

CASTELNUOVO e E N R I Q U E S t i v e r a m em R o m a p o r c o m p a - nheiros d i l e c t o s dois o u t r o s grandes m a t e m á t i c o s que embora em campos diversos, c o n t r i b u í r a m i g u a l m e n t e p a r a a g l ó r i a da c i ê n c i a i t a l i a n a : V I T O VOLTERRA e T U L L I O L E V I - C I V I T A . E N R I Q U E S e L E V I - C I V I T A r e s i - d i a m ambos no n.° 50 de V i a Sardegna. N o e s c r i t ó r i o de CASTELNUOVO destacavam-se os r e t r a t o s de V O L T E R R A e de L E V I - C I V I T A : f i g u r a austera a do p r i m e i r o , homem i n t r a n s i g e n t e e c o m b a t i v o , de antes q u e b r a r que t o r c e r ; s o r r i d e n t e e c o m u n i c a t i v o o segundo, a l m a p a r a , de t r a n s p a r e n t e bondade i d e a l i s t a . '

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N ã o é m e u p r o p ó s i t o descrever a q u i , nem sequer s u m á r i a m e n t e , a o b r a de CASTELNUOVO: p a r a t a n t o me falecera, a l é m do m a i s , o p o r t u n i d a d e e c o m p e t ê n c i a .

(-) E m 1907, E N R I Q U E S e S E V E R I alcançam o prémio Bordin da Academia das Ciências de Paris com uma m e m ó r i a sobre as superficies biperelipticas, que é considerada como uma das obras primas da literatura matemática italiana deste s é c u l o . . .

Sobre a c o n t r i b u i ç ã o i t a l i a n a à g e o m e t r i a das super- f í c i e s pode consultar-se o a r t i g o d a E n c i c l o p é d i a A l e m ã d a s C i ê n c i a s M a t e m á t i c a s , r e d i g i d o p o r CASTELNUOVO e E N R I Q U E S em 1 9 1 4 , ou o segundo v o - l u m e da « T h é o r i e des f o n c t i o n s a l g é b r i q u e s de deux v a r i a b l e s i n d é p e n d e n t e s » de P I C A R D , OU a i n d a q u a l - quer das obras de ENRIQUES sobre o assunto. P o r oca- s i ã o do j u b i l é u de CASTELNUOVO, f o r a m p u b l i c a d a s as suas « M e m o r i e s c e l t e » . (*)

Mas n ã o posso d e i x a r de me r e f e r i r a o u t r o s aspectos f u n d a m e n t a i s da p e r s o n a l i d a d e c i e n t í f i c a de CASTELNUOVO. D i g n a do m á x i m o relevo é a sua a c t i v i - dade p r o p r i a m e n t e p e d a g ó g i c a . S ã o b e m conhecidas nos nossos meios u n i v e r s i t á r i o s as suas « L e z i o n i d i G e o m e t r i a A n a l í t i c a » que s e r v i r a m de modelo à f u s ã o dos ensinos da G e o m e t r i a A n a l í t i c a e da G e o m e t r i a P r o j e c t i v a , operada em t o d a a I t á l i a ; e t a m b é m o seu t r a t a d o de C á l c u l o das P r o b a b i l i d a d e s , que desde l o g o se t o r n o u c l á s s i c o . A CASTELNUOVO se devem p r e - ciosas c o n t r i b u i ç õ e s esclarecedoras ao m é t o d o dos momentos de T C H E B Í T C H E F F e ao m é t o d o e s t a t í s t i c o que i n f o r m a a M e c â n i c a A t ó m i c a e N u c l e a r dos nossos dias.

N o t á v e l a i n d a o seu l i v r i n h o sobre a T e o r i a d a R e l a t i v i d a d e — « S p a z i o e tempo secondo le v e d u t e d i A . E I N S T E I N » — em que se r e f l e c t e m as p r e o c u p a ç õ e s f i l o s ó f i c a s do ú l t i m o seu p e r í o d o .

A l é m d a c a d e i r a de G e o m e t r i a A n a l í t i c a e P r o - j e c t i v a de que era professor, CASTELNUOVO r e g e u a i n d a , em é p o c a s diversas, cursos de G e o m e t r i a S u p e r i o r , de C á l c u l o das P r o b a b i l i d a d e s e de M a t e m á t i c a s C o m p l e - mentares. E m todos estes campos a sua a c t u a ç ã o é i g u a l m e n t e l u m i n o s a e f e c u n d a . D o ê x i t o das suas l i ç õ e s de C á l c u l o das P r o b a b i l i d a d e s r e s u l t a a f u n d a - ç ã o de I n s t i t u t o s de C i ê n c i a s D e m o g r á f i c a s e A c t u a - r i a i s , que a d q u i r e m f a m a no e s t r a n g e i r o . E é a i n d a g r a ç a s à s suas d i l i g ê n c i a s que v i n g a a i d e i a de c r i a r u m a c a d e i r a de F í s i c a T e ó r i c a p a r a o jovem. E N R I C O F E R M I . A sua fina i n t u i ç ã o , que o l e v a v a a descobrir as r e c ô n d i t a s belezas do m u n d o g e o m é t r i c o , t a m b é m lhe s e r v i u p a r a e n t r e v e r a v o c a ç ã o d u m grande f í s i c o , hoje conhecido em todo o m u n d o .

Precisamente, u m dos aspectos que mais i m p r e s - sionam em CASTELNUOVO é a sua e l a s t i c i d a d e de e s p í - r i t o , a a g i l i d a d e com que passa das l o c u b r a ç õ e s mais abstractas aos assuntos de o r d e m t é c n i c a e p r á t i c a . B a s t a r i a c i t a r a este respeito as suas c o n t r i b u i ç õ e s em m a t é r i a de seguros e de à c t u a r i a d o . M a s deve a i n d a evocar-se o p a r t i c u l a r interesse que sempre lhe

(') Podem ler-se ainda a noticia necrológica dada pelo g e ò - metra R . G A R N I E R nos «Comptes Rendus* da Academia das C i - ências de P a r i s , de 4 de Junho, e o artigo de F . C O N F O R T O sobre F . E N R I Q U E S , nos vRendiconti di Matemática e delle sne appli.

cazioui», serie V , vol. V I (1947).

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mereceram as q u e s t õ e s de ensino, mesmo as do ensino elementar, p o r q u e — e é este u m t r a ç o bem c u r i o s o d a sua p e r s o n a l i d a d e — m o s t r a v a u m t a c t o especial p a r a os pontos delicados das q u e s t õ e s d i d á c t i c a s , q u á s i como se delas tivesse u m a e x p e r i ê n c i a d i r e c t a .

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E m 1938 CASTELNUOVO é a t i n g i d o pelas duras leis r a c i a i s . D u r a n t e esse p e r í o d o doloroso, que se p r o l o n g a p o r seis anos e em q u e ele a r r o s t a o p e r i g o com serenidade e s t ó i c a , o r g a n i s a Cursos U n i v e r s i t á "

r i o s de M a t e m á t i c a p a r a j o v e n s hebreus, aos q u a i s é v e d a d a a f r e q u ê n c i a das U n i v e r s i d a d e s I t a l i a n a s , e consegue q u e os r e s p e c t i v o s d i p l o m a s sejam v a l i d a d o s p e l a U n i v e r s i d a d e de F r i b u r g o , n a S u i ç a . N o p e r í o d o d a o c u p a ç ã o a l e m ã , que v a i de 8 de Setembro de 1943

a 4 de J u n h o de 1944, e n q u a n t o a p o p u l a ç ã o r o m a n a se d e f i n h a ,e segue ansiosa a l e n t a e v o l u ç ã o das t r o p a s aliadas n a f r e n t e de Cassino e n a de A n z i o e N e t t u n o , CASTELNUOVO m a n t é m - s e n a « C i d a d e A b e r t a » , hospe- dado com nome f a l s o em casa de alunos.

Mas t e r m i n a d a a g u e r r a , melhores dias l h e e s t ã o reservados. Desde l o g o e l e i t o Presidente d a r e n a s c i d a A c a d e m i a dos « L i n c e i » ( d a q u a l o ú l t i m o presidente t i n h a sido VOLTJCRRA), ele dedica o m e l h o r dos seus cuidados à p r i n c i p a l academia i t a l i a n a , a que d á u m a e s t r u t u r a f r a n c a m e n t e e s t i m u l a d o r a d a a c t i v i d a d e de i n v e s t i g a ç ã o . É t a m b é m nomeado C o m i s s á r i o G e r a l no Conselho N a c i o n a l de I n v e s t i g a ç ã o , P r e s i d e n t e d a d e l e g a ç ã o i t a l i a n a à U N E S C O e d a Sociedade E u r o - p e i a de C u l t u r a .

Mas t a m b é m é chamado a i n t e r v i r nos destinos d a N a ç ã o . E m 1948 á escolhido como u m dos cinco sena- dores em v i d a eleitos pelos seus m é r i t o s excepcionais.

E a g o r a , n a ú l t i m a q u a d r a d a e x i s t ê n c i a , sem mesmo repousar d a l o n g a c a m i n h a d a , volta-se de novo p a r a o que f o i o leit-motiv d a sua v i d a , f o n t e i n e x a u - r í v e l de h a r m o n i a s f e i t i c e i r a s : a G e o m e t r i a A l g é b r i c a ; e consegue resolver u m p r o b l e m a que h á m u i t o o a b s o r v i a , r e l a t i v o ao n ú m e r o dos m ó d u l o s d u m a super- f í c i e i r r e g u l a r .

O seu ú l t i m o acto p ú b l i c o f o i a mensagem d i r i -

g i d a à A s s e m b l e i a G e r a l C o n s t i t u i n t e d a U n i ã o M a t e - m á t i c a I n t e r n a c i o n a l que se r e a l i z o u em R o m a em M a r ç o deste ano. A mensagem f o i l i d a no i n í c i o dos t r a b a l h a s p e l o P r o f . E . B O M P I A N I Í ( * ) . CASTELNUOUO estava r e t i d o em casa, enfermo de g r a v e h e p a t i t e .

*

H o m e m acolhedor, modesto, de o l h a r t r a n q u i l o e a r g u t o , levemente i r ó n i c o , r e c e b i a todos, grandes e pequenos, c o m a mesma a f a b i l i d a d e , o mesmo desejo de ser ú t i l , a mesma d e c i d i d a v o n t a d e de socorrer e de e n c o r a j a r .

Sobretudo a serenidade — a c a l m a c o n t e m p l a ç ã o dos homens e dos f a c t o s , como se os visse d u m o u t r o m u n d o em que t u d o é c l a r o e o b j e c t i v o — e r a a n o t a que m a i s se f a z i a s e n t i r a q u e m dele se a b e i r a v a p e l a p r i m e i r a vez. E assim, t a m b é m , a m a g n a n i m i - dade, a l a r g u e z a de v i s t a s com q u e encarava a t é o m a i o r i n i m i g o ; d i s t o se apercebeu, e f i c o u i m p r e s s i o - nado, o e m b a i x a d o r a l e m ã o em R o m a V O N BBENTANO que e s t r e i t o u c o m ele r e l a ç õ e s de sincera amizade.

O homem de c i ê n c i a n a sua e x p r e s s ã o mais e l e v a d a

— p o n d o » as a l e g r i a s do e s p í r i t o a c i m a dos interesses m a t e r i a i s , d e v o t a d o a u m i d e a l sem d e i x a r de ser h u m a n o , p r o f u n d o no seu campo e s p e c u l a t i v o e c o n - t u d o senhor d u m a a p u r a d a c u l t u r a e de f i n a s e n s i b i - l i d a d e a r t í s t i c a — e n c o n t r o u em Grano CASTELNUOVO u m a e s p l ê n d i d a r e a l i z a ç ã o . E c o m homens desta e n - v e r g a d u r a que se m a n t é m , perene e c r i a d o r a , a t r a d i - ç ã o c i e n t í f i c a n a p á t r i a de G A L I L E U .

Nota — P a r a a e l a b o r a ç ã o deste a r t i g o f u i l a r g a - mente c o a d j u v a d o p e l a Prof.* E M M A CASTELNUOVO, a q u e m d e i x o a q u i expressa a m i n h a v i v a g r a t i d ã o . ' A ú l t i m a o p o r t u n i d a d e que t i v e de v e r r e u n i d o s CASTELNUOVO e E N B I Q U E S f o i em 1 9 4 6 , q u a n d o , no L i c e u Tasso de R o m a , a s s i s t i a m a u m a c o n f e r ê n c i a d a Prof.*

E M M A CASTELNUOVO, f i l h a d u m e s o b r i n h a do o u t r o . Dessa c o n f e r ê n c i a d é m o s u m a t r a d u ç ã o no n . ° 33 d a G a z e t a de M a t e m á t i c a . ENRIQUES f a l e c e u pouco t e m p o depois, em 14 de J u n h o de 1946.

(') Transcrita adianto em «Movimento Cientifico».

P r o b l è m e s efe dépouillements — IV

Triangles imités du triangle arithmétique de Pascal

per Pierre Dufresne

P o u r l ' é t u d e des p r o b l è m e s de d é p o u i l l e m e n t s t r a i - t é s dans l e p r e m i e r c h a p i t r e nous avons u t i l i s é des lemmes q u i o n t s e r v i de bases à nos d é m o n s t r a t i o n s . Ce sont ces m ê m e s lemmes q u i nous p e r m e t t e n t d ' é t a b l i r des t r i a n g l e s ( o u des t a b l e a u x ) i m i t é s d u t r i a n g l e a r i t h m é t i q u e de PABOAL.

I l est possible de f o n d r e les é n o n c é s de tous les lemmes dans u n é n o n c é t r è s g é n é r a l .

R a p p e l i o n s d ' a b o r d c o m m e n t o n t é t é p o s é s nos p r o b l è m e s de d é p o u i l l e m e n t s .

Continuação dos n .0 ! 44-45, 46 e 47.

(6)

Ó n a s u p p o s é d o n n é le n o m b r e t o t a l des b u l l e t i n s 9

• q u i o n t é t é d é p o s é s lors d'une é l e c t i o n et l a r é p a r - t i t i o n de ces 8 b u l l e t i n s entre les d i f f é r e n t s c a n d i - dats A,B---N. O n a s u p p o s é que le d é p o u i l l e - ment s e r a i t e f f e c t u é b u l l e t i n p a r b u l l e t i n ce q u i p e r m e t d ' o b t e n i r (0—1) r é s u l t a t s p a r t i e l s et le r é s u l t a t c o m p l e t .

E t p u i s on a p o s é une c o n d i t i o n , ou u n ensemble de c o n d i t i o n s , t o u j o u r s les m ê m e s p o u r u n m ê m e p r o b l è m e auxquelles d e v a i e n t s a t i s f a i r e non seule- m e n t le r é s u l t a t c o m p l e t mais encore chacun des (6 — 1) r é s u l t a t s p a r t i e l s .

Nous avons a p p e l é d é p o u i l l e m e n t s f a v o r a b l e s — u n d é p o u i l l e m e n t p e u t ê t r e c o n s i d é r é comme a m a l g a m e de (S —1) r é s u l t a t s p a r t i e l s et d u r é s u l t a t c o m p l e t — les d é p o u i l l e m e n t s q u i s a t i s f a i s a i e n t depuis le p r e - m i e r j u s q u ' a p r è s le d e r n i e r b u l l e t i n s o r t i a u x c o n d i - t i o n s p o s é e s .

E t le p r o b l è m e a c o n s i s t é à c a l c u l e r le nombre des d é p o u i l l e m e n t s f a v o r a b l e s o u p l u t ô t d ' é t a b l i r une f o r m u l e q u i d o n n â t ce n o m b r e .

Nous avons d ' a b o r d r a p p r o c h é les c o n d i t i o n s i m p o s é e s et le r é s u l t a t f i n a l o b l i g a t o i r e m e n t connu.

E t nous avons d i t et c'est en cela que r é s i d e n t t o u s les lemmes. « O u le r é s u l t a t f i n a l , et nous le c o n n a i s - sons à l'avance, v é r i f i e les c o n d i t i o n s i m p o s é e s ou i l ne les v é r i f i e pas. S ' i l ne les v é r i f i e "pas c'est q u ' i l n ' y a pas de d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e . S ' i l les v é r i f i e c'est l a p r e u v e que ce ne sera pas le d e r n i e r b u l l e t i n d é p o u i l l é q u i p o u r r a e m p ê c h e r u n d é p o u i l l e m e n t d ' ê t r e f a v o r a b l e . E t p a r s u i t e le nombre des d é p o u i l - lements f a v o r a b l e s possibles des 6 b u l l e t i n s est l a somme de tous les d é p o u i l l e m e n t s f a v o r a b l e s d i f f é - r e n t s possibles des m ê m e s b u l l e t i n s moins u n — le b u l l e t i n r e t r a n c h é a p p a r t e n a n t à n ' i m p o r t e quelle f a m i l l e » .

Ce lemme q u i nous a p e r m i s d ' é t a b l i r des f o r m u l e s v a nous p e r m e t t r e m a i n t e n a n t de c a l c u l e r de proche en proche les nombres des d é p o u i l l e m e n t s f a v o r a b l e s p o u r des v a l e u r s croissantes de 6.

L o r s q u e le p r o b l è m e p o s é ne m e t en j e u que deux c a n d i d a t s i l sera f a c i l e d ' é t a b l i r des t a b l e a u x à d o u - ble e n t r é e d o n n a n t les nombres de d é p o u i l l e m e n t s f a v o r a b l e s en f o n c t i o n des v a l e u r s de a et de 6 o u de 6 et de a ou encore de 6 e de 6 .

Nous avons v u que les lemrnes ne sont a p p l i c a b l e s que p o u r des ensembles de v a l e u r s de a , de 6 et de 8 , q u i ne sont pas i n c o m p a t i b l e s avec les c o n d i t i o n s é n o n c é e s . I l y a u r a l i e u de s é p a r e r n e t t e m e n t les cases q u i correspondent à des ensembles de valeurs v é r i f i a n t les c o n d i t i o n s de celles q u i c o r r e s p o n d e n t à des ensembles i n c o m p a t i b l e s . L e s p r e m i è r e s seules seront r e m p l i e s . S o i t à d é t e r m i n e r le nombre ou les nombres « g é n é r a t e u r s » . L o r s q u e 8 = 1 on p e u t

a v o i r s o i t a = \ et 6 = 0 s o i t 6 = 1 et a = 0 ; dans les deux cas u n seul d é p o u i l l e m e n t possible. O n i n s - c r i r a donc le c h i f f r e 1 dans chacune des deux cases ( a = l , 6 = 0 ) et (6 = 1 , a = 0) o u a u m o i n s dans celle de ces deux cases q u i n'est pas « i n c o m p a t i b l e » . S i les deux cases é t a i e n t i n c o m p a t i b l e s i l est c l a i r q u ' i l ne p o u r r a i t j a m a i s y a v o i r de d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e .

Nous p r é s e n t e r o n s deux m o d è l e s de t a b l e a u : le p r e - m i e r é t a b l i en f o n c t i o n de 6 et de 6 les v a l e u r s de

8 é t a n t croissantes vers le bas et celles de 6 é t a n t croissantes vers l a d r o i t e . L e nombre à i n s c r i r e dans une case « c o m p a t i b l e » est l a somme de deux n o m - bres i n s c r i t s sur l a l i g n e s u p é r i e u r e le. p r e m i e r d i r e c - t e m e n t a u dessus, le second dans l a colonne i m m é d i a - t e m e n t à gauche. L e d e u x i è m e é t a b l i en f o n c t i o n de a , e t de 6 les v a l e u r s de a é t a n t croissantes vers l a d r o i t e et les v a l e u r s de 6 é t a n t croissantes vers le h a u t . L e nombre à i n s c r i r e dans une case « c o m p a - t i b l e » est l a somme de deux nombres i n s c r i t s l ' u n dans l a m ê m e colonne m a i s sur l a l i g n e i n f é r i e u r e , l ' a u t r e sur l a m ê m e l i g n e mais dans l a case à gauche.

L o r s q u e les p r o b l è m e s p o s é s concernent u n p l u s g r a n d n o m b r e de c a n d i d a t s l a r e p r é s e n t a t i o n p a r des t a b l e a u x n'est p l u s aussi a i s é e . Dans le cas de t r o i s c a n d i d a t s on p e u t u t i l i s e r une s u i t e de t a b l e a u x chacun c o r r e s p o n d a n t à une v a l e u r d é t e r m i n é e de c . L e n o m b r e à i n s c r i r e dans une case d u t a b l e a u est l a somme de t r o i s nombres q u i c o r r e s p o n d e n t respec- t i v e m e n t à des v a l e u r s de a , de 6 , et de c d i m i - n u é e d'une u n i t é . Les deux p r e m i e r s nombres se t r o u v e n t i m m é d i a t e m e n t sur le m ê m e t a b l e a u le t r o i s i è m e sur le t a b l e a u p r é c é d e n t .

0 î 2 î

2

1

3 1 4 1 5 1

fi

1 7 1 î 8 1 2 9

T

³ ²

10' i 4 i 11 i S 9 5

Tableau donnant en fonction de 8 et de b les valeurs de :

On r a p p e l l e que s i a ^ 6 - | - 4

( « , 6 ) M > i ( + 4 ] =

d - 6 - 4 (a + 6 — 4 ) ! a + 6 - 4 ( a - 4 ) ! 6 ! ( s i 6 = 0 q u e l l e que s o i t l a v a l e u r de a i l a t o u - j o u r s u n d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e ) .

(7)

a \ 0 i a 3 4 í 1

2

T

S

í

4 i 5 i 6 i í 7

T

^t

8

T

^:i ²

D i 4 S

10 i 9

11

1 « 14 14

Tableau donnant en fonction de 8 et de b /es valeurs de:

N(a,b)[A>B + 3]

On r a p p e l l e que s i a ^ b + 3

•A r( a , 6 ) [ ^ > B + 3] ™ _ a — b- 3 (a + 6 - 3 ) !

_ a + 6 - 3 (a - 3) ! 6~7 (si 6 = 0 q u e l l e que s o i t l a v a l e u r de a i l y a t o u j o u r s u n d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e ) .

f ) \ 0 î S 3 4 6 Tableau donnant en

1 1 ction de 6 et de b

2 valeurs de :

3 1 î

N( a , b ) [A>B] •

4

T

² ^N( a , b ) [A>B] •

S 3 2

O n r a p p e l l e q u e :

6 4 O n r a p p e l l e q u e :

7 6 9 5 s i o ^ 6

8 î 6 14 14

9 i 7 20 28 14 N(a,b)[A>BJ =

10 _l ⁸ 27 48 42

a - b (a + b)l 11 1 9 35 75 90 42

a + b al bl

6X

0 1 2 3 4 1 1

2 _» 3 1 4 l "

5 1 1 6 • > • , 2 7 1 3 2 8 1 4 5

9 "l !, il S

10 1 6 14 14 11 1 7 20 28 11

Tableau donnant en fonction de 6 et de b les valeurs de:

N( a , b ) [ ^ > B - f 2 ]

O n r a p p e l l e q u e : s i a ^ > 6 + 2

a - 6 - 2 (a + 6 - 2 ) ! a + 6 - 2 (a — 2 ) 1 6 1

(si 6 = 0 i l y a t o u j o u r s u n d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e q u e l l e que s o i t l a v a l e u r de a) .

s 3 2 4 5 5 9 6 14 7 ; 20 8 ; 27 9 j 35 10 I 44

Tableau donnant en fonction de 6 et de b les

valeurs de :

N(a,b)lA>:B-l •

On r a p p e l l e que : S i 6 = 0 (",b)[A>:B]

(a+b) ! o ! 6 !⁼

0 î 2 1 3 4 5 1 1

3

V

4 i r 5 i .2 6

V"

³ ²

7

T

⁴

8 i 6 i) B 9 i 6 14 14 10 i 7 20 28 14 11 i S 27 IS 42

Tableau donnant en fon- ction de 0 et de b tes Da-

teurs de :

• ^ ( o , 6 ) [ ^ > f l + l ] • On r a p p e l l e que :

s i a J> 6 + 1

^ ( o , b)[A> B+l] -

a - 6 - 1 (a + 6 - 1 ) ! a + 6 - 1 ( a - l ) ! 6 !

(si 6 = 0 i l y a t o u j o u r s u n d é p o u i l l e m e n t f a v o r a b l e

•auelle que s o i t l a v a l e u r de a) .

6 > 1 et a > 6— 1

( o , 6) [A>B]

(a + b) 1 ( a + 6 ) 1 a ! 6 ! ( a + 1 ) ! ( 6 - 1 )

Remarque. Les deux f o r m u l e s c i dessus p e u v e n t ê t r e c o n d e n s é e s en une seule :

S i 6 = 0 ou si

( o , 6 ) [ 4 > B ) 6 > 1 a > 6 — 1

a —6 + 1 (a + 6 ) ! a + 1 a ! 6 1

(8)

î 2 3 4 5

6

Tableau donnant en fonction de 6 et de b les

valeurs de:

0 î 2 S 4 6 6 7 1 1 ^î

valeurs de: 1 1 î 2 j ₂

valeurs de:

2 j ₉ 1

3 ¹ ^S ² • ^ ( a , b) [A > S- 2 ] = 3

,

³ 3 1

4 T 4 5 On r a p p e l l e q u e : 4 T 4 6 4

5 i r> 9 S

S i 6 < 1

N{a,b)[A>B-2] =

S i 5 10 10 4 6 ₁ _6 14 14

S i 6 < 1

N{a,b)[A>B-2] =

6 i 6 16 20 14 7 i ⁷ 20 28 1 1

S i 6 < 1

N{a,b)[A>B-2] = 7 7 21 33 34 14

8 i 8 27 48 42 (o-f 6) ! 8 _» 8 28 56 0!) 48

9 •i 9 sa 75 90 42 a l 6 ! 9 i 9 36 81 125 117 48

10 i 10 44 110 165 199 et 6 > 2 10 i 10 45 120 203 242 165

11 11 M 154 178 237 132 s i a > 6 - 2 11 i 11 55 165 323 451 407 165

Tableau donnant en fonction de 6 et de

b les valeurs de:

On r a p p e l l e que

S i 6 < a

N(a,b)[A>B-4] ~

(a + 6 ) l a\bl (a + b)\ (a+b) I

» ( o , 5 ) [ ^ > B ^ 2 ] a ! 6 , (a + 2) ! ( 6 - 2 ) ! "

Remarque. L e s deux f o r m u l e s c i dessus p e u v e n t ê t r e c o n d e n s é e s en une seule :

Si

S i 6 < ^ 1 o u s i

N,

6 > 2 a > 6 - 2 (a + b+l)(a-

\a,b)[A>B-i]

6 > 4 o > 6 - 4

( a + 6 ) l (a + b) ! a ! 6 ! (o + 4 ) l ( 6 — 4 ) I 6 + 2)

(a+b)

(a,b) [A>B-2} (o + l ) (o + 2)

a !

^{6 !}

ex

0 • » 3 4 . S 6 7 î i ^î

2 ~ T 9 1 3 i ³ 3 4 i 4 6 3 5 i 5 10 9 6 i 6 15 19 9 7 î 7 21 34 28 8 T 8 28 55 62 28 g î 9 36 S3 127 90 10 i 10 45 119 200 207 90 î i 11 55 164 319 407 237

Tableau donnant en fonction de 0 et de b

les valeurs de :

N^ , b ) [ A > B - a y

O n r a p p e l l e q u e : S i 6 < 2

N{a,b)lA>B-S] =

(a + b)

£ 0

î

Si

(a + b)l

o ! 6 ! 6 > 3 o > 6 - 3 ( o + 6 ) !

î 3 1.

6 I 4 10! 10 15 20 21 j 35 28) 56 36 84

Tableau donnant en fonction de 6 et de

b les valeurs de :

N(a,b)lA>B-!,]

O n r a p p e l l e que S i 6 < 4

( a , 6) [ 4 > B - 5 ] o ! 6 !

y, ( a , 6 ) [Já > S - 5 ]

(a +

^{6 ) !}

a ! ôT

( a , 6) [A > B-S] a\b\ (a + 3) 1 ( 6 - 3 ) !

P E D A G O G I A

A I N D A O P R O G R A M A D E M A T E M Á T I C A D O 1.° C I C L O por M a r i a Teodora Alves

( o + 6) ! Si 6 > 5

a > 6 — 5 - (o + 6) 1 ( o + 5 ) ! ( 6 - 5 ) ! '

(continua)

O meu p r i m e i r o a r t i g o sobre «O programa de Mate- mática da actual reforma do ensino liceal», referente ao 1." ciclo, e i n s e r t o no n . " 48 da Gazeta de Matemá- tica, de J u l h o de 1 9 5 1 , t e v e a h o n r a de s u g e r i r ao Sr. D r . A B R E U F A R I A , i l u s t r e professor do l i c e u , em

s e r v i ç o no C o l é g i o M i l i t a r , l o n g a s e valiosas conside- r a ç õ e s expostas no n.° 122 da r e v i s t a Labor, de M a i o de 1952, sob o t í t u l o , «Dizei uma só palavra... e o

«meu» programa será conexo».

Pede-me o i l u s t r e professor desculpa p o r apresentar

(9)

o p i n i õ e s d i v e r g e n t e s daquelas que eu expus n . ° 48 da Gazeta de Matemática. O r a , tendo eu a f i r m a d o , no meu a r t i g o , que « e x p o s t a a m i n h a o p i n i ã o sobre as d e f i c i ê n c i a s do p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1.* ciclo d a a c t u a l r e f o r m a , resta-me i n d i c a r as a l t e r a ç õ e s a i n t r o d u z i r , s u j e i t a n d o - a s à c r í t i c a de quem se i n t e - resse pelo a s s u n t o , » estava o Sr. D r . F A R I A , Ò U q u e m quer que desejasse c r i t i c á - l a s , dispensado, p a r a as c r i t i c a r , de p e d i r desculpa. M a s é u m a a m a b i l i d a d e que fico devendo à g e n t i l e z a do i l u s t r e professor, j u n t a m e n t e com outras que, e m b o r a eu r e c o n h e ç a serem imerecidas, me s i n t o na o b r i g a ç ã o de a g r a - decer.

V e j a m o s como o Sr. D r . F A R I A entende que d e v e r á ser o r g a n i z a d o o p r o g r a m a de u m a d i s c i p l i n a do c u r - r i c u l u m .

D e p o i s de p e r g u n t a r , Por que razão as sucessivas reformas que se têm levado a efeito nestes últimos anos, no ensino liceal, não têm servido nem a gregos nem a troianos?» d i z o s e g u i n t e : Na resposta a esta pergunta

— que se nos afigura crucial no problema do ensino — duas hipóteses apenas se nos apresentam viáveis: — seguir o caminho empírico da improvização de um pro- grama ainda que fortemente baseado na larga experi- ência e profundo saber de alguns professores, ou o caminho da experimentação pedagógica, feita na eicolai com métodos adequados, com o tempo necessário à con- firmação ou rejeição das hipóteses postas à lógica da criança, que não é evidentemente a lógica dos adultos.

O primeiro é o caminho intuitivo, o segundo è o cientifico.

. A importância de tal facto reconhece-a a própria reforma actual ao criar um Instituto de Investigação Pedagógica, organismo da mais alta importância na organização e orientação da vida educativa de uma nação. Será deste organismo que o Estado poderá espe- rar a palavra de ordem, digamos, proba, cientifica, que o habilite a promulgar uma reforma verdadeira e Útil à Nação».

M u i t o b e m !

V e j a m o s a g o r a como o Sr. D r . F A R I A que, no seu a r t i g o i n s e r t o n a Labor, d e c l a r a ter sido u m dos c o l a - boradores, da c o m i s s ã o o r g a n i z a d o r a , do p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1." c i c l o , i n f o r m a que a c o m i s s ã o t r a b a l h o u : «Trabalhou-se no caminho da intuição e eis portanto a razão fundamental da minha contrariedade, ao ver-me arrastado para um trabalho de antemão condenado ao insucesso, por não assentar em bases cientificas».

«... Trabalhou-se em condições excepcionais : No tempo, porque houvemos que substituir alguns anos de experi- mentação pedagógica por escassos meses de meditação e estudo teórico, no espaço, porque tivemos de substituir a

escola, o verdadeiro laboratório onde devem ter lugar as complicadas reações entre alunos, programas e méto- dos, pelo gabinete onde reagem apenas os nossos pensa- mentos com as doutrinas dos filósofos da educação.»

Como p r e s t o u o Sr. D r . F A R I A a sua c o l a b o r a ç ã o à c o m i s s ã o o r g a n i z a d o r a dos p r o g r a m a s do L * c i c l o ? E l e p r ó p r i o d á a resposta a esta p e r g u n t a : . . . pro- curei conjugar os meus fracos conhecimentos pedagó- gicos com a minha já regular experiência.

M a s p o r q u e eu, que c o n s i d e r e i o p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do t.° c i c l o desconexo e descompensado na d i s t r i b u i ç ã o d a m a t é r i a pelos dois anos do c i c l o i p r o p u s , no n.° 48 da Ga,zeta de Matemática, a l g u m a s c o r r e c ç õ e s , o Sr. D r . F A R I A , chamando programa à s c o r r e c ç õ e s propostas p o r m i m , o b s e r v a : « D e resto, o programa que a articulista propõe em sua substituição ou qualquer outro organizado em circunstâncias idên- ticas, não passa de um programa que em boa verdade poderemos classificar do «tira aqui» e do «acrescenta além», programa aleatório e sobretudo inadaptável às realidades da escola!

Um programa onde apenas conta a análise combi- natória .'».

P a r a m e l h o r e n t e n d i m e n t o desta o b s e r v a ç ã o do Sr. D r . F A R I A comparemos o p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1." c i c l o da a c t u a l R e f o r m a c o m o do 1.° c i c l o d a R e f o r m a de 1936.

A d i v i s i b i l i d a d e por 2, 3, 5 e p o r q u a l q u e r p o t ê n c i a de 1 0 ; o m . d. c. e m . m . c. de v á r i o s n ú m e r o s ; os n ú m e r o s p r i m o s ; as o p e r a ç õ e s com n ú m e r o s f r a c c i o - n á r i o s e r e d u ç ã o a d í z i m a que p e r t e n c i a m ao p r o - g r a m a do 1 ° ano d a r e f o r m a de 1936 aparecem no p r o g r a m a do 2.° ano d a r e f o r m a de 1948 (a a c t u a l ) .

A r a i z q u a d r a d a e o sistema m é t r i c o d e c i m a l e os n ú m e r o s complexos que p e r t e n c i a m ao p r o g r a m a d o 2." ano d a R e f o r m a de 1936 aparecem no p r o g r a m a do 1.° ano d a R e f o r m a de 1948. ' .

A c o m i s s ã o o r g a n i z a d o r a do p r o g r a m a de M a t e m á - t i c a do 1." c i c l o d a a c t u a l r e f o r m a , com a c o l a b o r a ç ã o do Sr. D r . F A R I A , p a r a c o n s t i t u i r o p r o g r a m a que apresentou, fez s a l t i t a r as r u b r i c a s do p r o g r a m a de 1936 de u m ano p a r a o o u t r o .

Q u e m f o i que o r g a n i z o u u m p r o g r a m a de M a t e m á - t i c a p a r a o 1 ° c i c l o , alheando-se do m é t o d o c i e n t í - fico, p a r a r e c o r r e r ao i m p r e s s i o n i s m o da sua expe- r i ê n c i a pessoal e das suas l e i t u r a s , u m - p r o g r a m a que apoderemos c l a s s i f i c a r do « t i r a a q u i » e do « a c r e s c e n t a a l é m » e « o n d e apenas c o n t a a a n á l i s e c o m b i n a t ó r i a » ? M a i s u m a vez se c o n f i r m a o velho r i f ã o p o p u l a r : E mais f á c i l v e r o a r g u e i r o no olho do v i s i n h o . . . O que é a i n d a mais curioso é que, t a n t o o Sr.

D r . F A R I A , que c o l a b o r o u com a c o m i s s ã o o r g a n i z a - d o r a do p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do t.* c i c l o , e eu que o c r i t i q u e i no n.° 48 d a Gazeta de Matemática,

(10)

estamos de pleno acordo acerca das graves d i f i c ê n c i a s desse p r o g r a m a .

O Sr. D r . F Á B I A a t é r e p u d i a o p r o g r a m a em que c o l a b o r o u com estas severas p a l a v r a s : « O tão desejado programa coerente, harmonioso, sem contradições, numa palavra adaptado às capacidades dos alunos — foi apenas uma pura ilusão!

O p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1.° c i c l o da a c t u a l R e f o r m a do ensino l i c e a l , n ã o p o d e r i a sofrer m a i o r c o n d e n a ç ã o : O r e p u d i o de u m dos colaboradores d a c o m i s s ã o que o o r g a n i z o u I

E u creio ter sido m u i t o mais generosa p a r a com o p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do ciclo, pois p r e t e n d i e n f o r m á - l o em melhor c o m p e n s a ç ã o , p r o p o n d o a l g u - mas c o r r e ç õ e s , sem o condenar em bloco.

V e j a m o s a g o r a a c o n s i s t ê n c i a das o b s e r v a ç õ e s do Sr. D r . F A K I A ao meu a r t i g o do n.° 48 d a Qazeta de Matemática. •

P a r a ter o p o r t u n i d a d e de p r o d u z i r longas conside- r a ç õ e s , c o r r i g e a m i n h a a f i r m a ç ã o de que « N o ensino h á dois aspectos d i s t i n t o s a c o n s i d e r a r :

« O s conceitos e a sua o r d e n a ç ã o l ó g i c a ; a t é c n i c a do c á l c u l o e as suas a p l i c a ç õ e s » , do modo s e g u i n t e : As considerações expendidas no preâmbulo deste artigo per- mitem-me chegar já á conclusão de que a ideia defen- dida na primeira proposição è incompleta. Ela deveria considerar-se assim :— Os conceitos e a sua ordenação lógica e psicológica.

Simplesmente, o i l u s t r e professor n ã o se l e m b r o u de que, antes d a q u e l a m i n h a a f i r m a ç ã o , eu c i t a r a esta f r a s e do eminente D E C R O L Y : « L e s p r o g r a m m e s o n t é t é i n s p i r é s p a r des hommes t r è s savants dans l e u r s p é c i a l i t é , mais t r o p peu p r é o c c u p é s de l a Psy- cologie, p o u r eux l ' e n f a n t est a c c e s s o i r e » , como p o d e r á ler-se no n.° 48 da Gazeta de Matemática.

A c o r r e c ç ã o f o i , pois, f e i t a para ter o p o r t u n i d a d e de p r o d u z i r j u d i c i o s a s o b s e r v a ç õ e s sobre p s i c o l o g i a , dando a i m p r e s s ã o de que me e r a m e s t r a n h a s . . .

Como o p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1." ano se refere a m e d i ç õ e s de c o m p r i m e n t o s , de s u p e r f í c i e s , de v o l u m e s , de capaciJades e de massa, que s ã o depois tornadas como centro de interesse de v á r i o s estudos e, como n ã o se pode m e d i r sem que se escolha u m sistema de unidades e, mesmo que seja escolhido somente o sistema m é t r i c o d e c i m a l , o p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e surge necessariamente, eu c r i t i - q u e i as « O b s e r v a ç õ e s ao p r o g r a m a » p o r n ã o se r e f e - r i r e m a este i m p o r t a n t e p r o b l e m a .

O Sr. D r . F A R I A p r o d u z i u a este respeito t a m b é m longas c o n s i d e r a ç õ e s , entendendo que s ó no 2." ano, depois do estudo da p r o p o r c i o n a l i d a d e i n v e r s a , os alunos p o d e r ã o compreender o p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e e, p a r a j u s t i f i c a r a sua a f i r m a t i v a , e n u n c i a concretamente u m p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e

e conclue a s s i m : «Trata se nitidamente de um proble- ma de proporcionalidade inversa e, consequentemente, é ainda um problema a tratar posteriormente à propor- cionalidade directa.

E u v o u t a m b é m e n u n c i a r concretamente u m p r o - b l e m a , p a r a m o s t r a r , ao c o n t r á r i o do i l u s t r e professor, que' os alunos podem ser i n i c i a d o s no p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e , i n d e p e n d e n t e m e n t e do conceito de p r o p o r c i o n a l i d a d e i n v e r s a .

M a n d a n d o desenhar aos alunos, n u m a f o l h a de p a - pel q u a d r i c u l a d o do p r ó p r i o caderno d i á r i o , u m q u a - d r a d o de lado i g u a l a 12 lados da q u a d r i c u l a podem ser postas aos alunos q u e s t õ e s como estas, p o r e x e m p l o :

Q u a l é a á r e a do q u a d r a d o desenhado, t o m a n d o p o r u n i d a d e de á r e a :

a ) O q u a d r a d o de l a d o i g u a l a u m lado da q u a - d r í c u l a .

b) O q u a d r a d o de lado i g u a l a 3 lados da q u a - d r í c u l a .

r ) O r e c t â n g u l o c u j o s lados consecutivos s ã o res- p e c t i v a m e n t e i g u a i s a 3 e a 4 lados da q u a d r í c u l a .

S ã o p r o b l e m a s de m u d a n ç a de u n i d a d e resolvidos por simples c o n t a g e m e que podem, depois, ser r e s o l - v i d o s p e l a o p e r a ç ã o d i v i s ã o ;

Se o professor m a n d a r c o n s t r u i r , aos alunos, cubos de c a r t o l i n a c o m 3 ou 4 c e n t í m e t r o s de aresta, d i s p o r á de u m a c o l e c ç ã o de cubos que lhe p e r m i t i r á f o r m a r cubos e p a r a l e l e p í p e d o s r e c t â n g u l o s , p o r s o b r e p o s i ç ã o c o n - veniente dos cubos c o n s t r u í d o s , e p o d e r á a p r e s e n t a r aos alunos problemas de m u d a n ç a de u n i d a d e que se resolvem p o r simples c o n t a g e m e que, depois, s e r ã o r e s o l v i d o s p e l a o p e r a ç ã o d i v i s ã o .

A n à l o g a m e n t e com a m e d i ç ã o de c o m p r i m e n t o s . Estes p r o b l e m a s de m u d a n ç a de u n i d a d e s ã o r e s o l - v i d o s no p l a n o concreto do 1." dos e s t á d i o s , a que se r e f e r e o Sr. D r . F A R I A no seu a r t i g o da I.abor, e que, e m b o r a n ã o o t e n h a d i t o , f o r a m e x t r a í d o s de «Le rai- sonnement mathemátique de l'adolescent» por L . J O H A N - NOT, segundo c r e i o .

Q u a n d o os alunos estudarem o conceito de n ú m e r o f r a c c i o n á r i o e o de r a z ã o , os mesmos p r o b l e m a s , e a i n d a o u t r o s s e r ã o sucessivamente resolvidos p o r o u t r a o r d e m de c o n s i d e r a ç õ e s .

E o d o m í n i o de « T h e t h r e e k i n d s o f p r o b l e m s » . O u entende o Sr. D r . F A R I A que o p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e d e v e r á ser ensinado aos alunos n u m BÓ j a c t o ? Ë certo que estamoB na é p o c a do a v i ã o de j a c t o . . .

O aluno que seja ensinado a m e d i r s u p e r f í c i e s sem o e n t e n d i m e n t o do p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e é conduzido a esta r e g r a m u i t o c o r r i q u e i r a em que f o r a m i n i c i a d o s na i n s t r u ç ã o p r i m á r i a e que c o n t i - n u a r ã o d u r a n t e o seu curso do l i c e u a r e c i t a r a s s i m :

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A á r e a do q u a d r a d o é lado vezes l a d o . R e g r a esta que persisto em c h a m a r . . . t r i s t e r e g r a , como a d a d a n ç a da v í r g u l a , na m u l t i p l i c a ç ã o ou d i v i s ã o p o r u m a p o t ê n c i a de 10.

T e n t a r á o Sr. D r . F A I R A e x p l i c a r a necessidade d a r e c i t a ç ã o desta r e g r a como t e n t o u e x p l i c a r a da d a n ç a d a v í r g u l a ?

E u concordo plenamente com o Sr. D r . F A R I A , q u a n - do l a m e n t a os professores que s ó sabem usar de u m a m e t o d o l o g i a na sua v i d a p r o f i s s i o n a l .

Mas mais l a m e n t o os professores que, acerca de u m a dada q u e s t ã o de ensino, n ã o possuem n e n h u m a .

S e r v i n d o - m e d a i m a g e m s u g e s t i v a que o Sr. D r . F A R I A apresentou, d i r e i que esses professores e s t ã o na s i t u a ç ã o daqueles b e l i g e r a n t e s que, no m o m e n t o d e c i s i v o d a b a t a l h a , n ã o d i s p õ e m de n e n h u m a v i ã o . • . L u t a m à s cegas.

A p e s a r d a l o n g a e substanciosa a r g u m e n t a ç ã o do Sr. D r . F A R I A , c o n t i n u o f i r m e m e n t e c o n v e n c i d a de que a o m i s s ã o de r e f e r ê n c i a s ao p r o b l e m a de m u d a n ç a de u n i d a d e é u m a g r a v e o m i s s ã o das « O b s e r v a ç õ e s ao p r o g r a m a » .

E certo que o Sr. D r . F A R I A acha de somenos i m p o r - t â n c i a a e x i s t ê n c i a de « O b s e r v a ç õ e s ao p r o g r a m a » . Parece-me que a t é as condena. E nisso j u l g o que é o r i g i n a l . Todos os p r o g r a m a s de M a t e m á t i c a que c o n h e ç o , de escolas e s t r a n g e i r a s , v ê m acompanhados de minuciosos esclarecimentos, n ã o somente p a r a l i m i t a r a sua i n t e r p r e t a ç ã o , mas a i n d a p a r a a coorde- n a ç ã o da%suas r u b r i c a s e m e t o d o l o g i a . A l é m disso, a i n l a os organismos o f i c i a i s e as sociedades c i e n t í - f i c a s , por i n t e r m é d i o das suas r e v i s t a s , ou p u b l i c a - ç õ e s p r ó p r i a s , esclarecem e aconselham os p r o f r s s o r e s no modo de o r i e n t a r o ensino.

C i t o p o r exemplo a m a g n í f i c a c o l e c ç ã o com o t í t u l o :

« T h e t e a c h i n g o f i n s c h o o l s » , com r e f e r ê n c i a a Á l g e b r a , G e o m e t r i a , T r i g o n o m e t r i a e C á l c u l o , o r g a n i - zada pela « M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n » de I n g l a t e r r a . S ã o pequenos e m a g n í f i c o s r e l a t ó r i o s , em que s ã o dados conselhos aos professores p a r a a o r i e n t a ç ã o do ensino.

P o r q u e o p r o g r a m a se refere a p r o p o r c i o n a l i d a d e sem que f a ç a q u a l q u e r r e f e r ê n c i a à r a z ã o de duas grandezas, i n f e r i que se p r e t e n d i a t o m a r , p a r a d e f i n i - ç ã o de grandezas p r o p o r c i o n a i s , u m a d e f i n i ç ã o que n ã o fosse baseada no conceito de r a z ã o . P o r exemplo, esta d e f i n i ç ã o :

D u a s classes de grandezas h o m o g é n é a s f i n i t a s dizem-se p r o p o r c i o n a i s se:

a) A o s estados i g u a i s de u m a das grandezas corres- pondem estados i g u a i s da o u t r a g r a n d e z a

6) A soma dos estados q u a i s q u e r de u m a das g r a n - ' dezas corresponde a soma dos estados c o r r e s p o n d e n -

tes d a o u t r a .

Demonstra-se, e é m u i t o f á c i l f a z ê - l o , que esta d e f i - n i ç ã o de grandezas p r o p o r c i o n a i s é e q u i v a l e n t e à d e f i n i ç ã o de grandezas p r o p o r c i o n a i s , estabelecida recorrendo ao conceito da r a z ã o de duas grandezas.

E à d e f i n i ç ã o que e u acabei de c i t a r que se r e f e r e o meu c o m e n t á r i o :

« É certo que se pode d e f i n i r a p r o p o r c i o n a l i d a d e independente do conceito de r a z ã o . D o p o n t o de v i s t a l ó g i c o n ã o h á reparos a f a z e r , mas do p o n t o de v i s t a p e d a g ó g i c o é erro t ã o grosseiro que suponho, n i n g u é m d e f e n d e r á » .

T a l v e z p o r q u e n ã o c i t e i aquela d e f i n i ç ã o e o Sr.

D r . F A R I A n ã o se l e m b r o u da sua e x i s t ê n c i a , a t r i b u e - -me o u t r o s i n t u i t o s , p r o d u z longas c o n s i d e r a ç õ e s e pede-me a m á v e l m e n t e l i c e n ç a p a r a servir-se das m i - nhas p a l a v r a s e e x p r i m i r exactamente a o p i n i ã o c o n - t r á r i a à m i n h a .

D e p o i s deste meu esclarecimento f i c a o Sr. D r . F A R I A a u t o r i z a d o a f a z ê - l o . . .

D e v o d i z e r que estou plenamente c o n v e n c i d a de que n ã o a p r o v e i t a a a u t o r i z a ç ã o que lhe concedo. . . e c o n c o r d a r á c o m i g o .

O m e u a r t i g o do n.° 48 da Gazeta de Matemática teve a honra de s u g e r i r l o n g a s e v a l i o s a s considera- ç õ e s ao Sr. D r . F A R I A , mas n ã o teve a h o n r a de ser l i d o com a t e n ç ã o !

H á a i n d a u m a pequena o b s e r v a ç ã o a f a z e r à s con- s i d e r a ç õ e s do Sr. D r . F A R I A sobre a p r o p o r c i o n a l i d a d e ' d e f i n i d a p e l a r a z ã o de duas grandezas :

R a z ã o de dois n ú m e r o s e r a z ã o de duas grandezas s ã o conceitos d i s t i n t o s , e p a r a estabelecer a p r o p o r - c i o n a l i d a d e de duas grandezas, baseada no conceito de r a z ã o , h á que estabelecer os dois conceitos e o Sr.

D r . F A R I A apenas se refere a u m deles.

J u l g o que v e m a p r o p ó s i t o esta p e r g u n t a :

P o r que m o t i v o f o r a m o m i t i d o s , no p r o g r a m a de M a t e m á t i c a do 1.° c i c l o os conceitos de r a z ã o de dois n ú m e r o s e r a z ã o de duas grandezas, quando u m dos colaboradores d a c o m i s s ã o o r g a n i z a d o r a é de o p i n i ã o que o conceito de p r o p o r c i o n a l i d a d e deve ser baseado no conceito de r a z ã o ?

O l o n g o a r t i g o do Sr. D r . F A R I A n a Labor t e r m i n a por i n d i c a r as c o n d i ç õ e s a que d e v e r á s a t i s f a z e r u m p r o g r a m a . E u m a e s p é c i e de decreto com 10 a r t i g o s . D e v o d i z e r que n ã o concordo com todos os a r t i g o s desse novo d e c á l o g o , mas l a m e n t o que o Sr. D r . F A R I A n ã o os fizesse a c a t a r p e l a c o m i s s ã o o r g a n i z a d o r a do p r o g r a m a , com a q u a l « o l a b o r o u .

Q u a n t o a « T h e three k i n d s o f p r o b l e m 3 » n ã o h á que lhes a d a p t a r q u a l q u e r p r o g r a m a , nem que o f i c i a - l i z á - l o s . E m q u a l q u e r p r o g r a m a que verse a o p e r a ç ã o d i v i s ã o o conceito de n ú m e r o f r a c c i o n á r i o e o conceito de r a z ã o , « T h e there k i n d s o f p r o b l e m s » adaptam-se a esse p r o g r a m a e o f i c i a l i z a m - s e p o r s i p r ó p r i o s , ao

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menos p a r a aqueles professores que c u i d a m d a f o r m a - ç ã o m e n t a l dos alunos em vez de c u i d a r e m do seu a d e s t r a m e n t o . .

H A B B Y W H E A T , em «A theory of instruction for the middle grades», refere-se a « T h e three k i n d s of p r o - b l e m s » .

E n d e n d e o Sr. D r . F A R I A que deve g e n e r a l i z á - l o s a 4 , 5 , etc. p r o b l e m a s . E s t á no seu d i r e i t o .

W H E A T enuncia-os de u m modo g e r a l , a f i m de i n c l u i r o caso d a d i v i s ã o de n ú m e r o s i n t e i r o s , conceito de n ú m e r o f r a c c i o n á r i o e de r a z ã o de dois n ú m e r o s .

E n t e n d e o Sr. D r . F A R I A que deve e n u n c i á - l o s apenas no caso p a r t i c u l a r dos n ú m e r o s f r a c c i o n á r i o s . C o n t i n u a a exercer u m d i r e i t o que n i n g u é m lhe pode contestar.

. H á a i n d a u m a a f i r m a ç ã o que o Sr. D r . F A R I A f a z e que, p o r m u i t o r e p e t i d a , c o n s t i t u e u m l u g a r c o m u m , com o sabor ao r e f e r v i d o c h á de T O L E N T I N O :

N ã o h á maus p r o g r a m a s , havendo bons p r o f e s - sores.

E evidente que o p r o g r a m a de u m a d i s c i p l i n a esco-

A N T

B O U R B A K I E

B O I I R B A K I é u m g r u p o de u m a dezena de m a t e m á - t i c o s , f u n d a d o pouco antes da g u e r r a , que se p r o p õ e , p e l a p u b l i c a ç ã o r e g u l a r de l i v r o s , estudar as « e s t r u - t u r a s » f u n d a m e n t a i s das m a t e m á t i c a s .

B O D B B A K I n ã o se o c u p a de p r o b l e m a s p a r t i c u l a r e s , reservados aos especialistas, mas e x c l u s i v a m e n t e daqueles que s ã o de o r d e m g e r a l , e servem de f u n d a - mento à s m a t e m á t i c a s , exagerando t a l v e z u m pouco, dos p r o b l e m a s que todo o m a t e m á t i c o d e v e r i a conhe- cer. Os m é t o d o s s ã o m u i t o abstractos, a á l g e b r a e a t o p o l o g i a desempenham a í u m p a p e l essencial, de resto aquele que lhes compete n o r m a l m e n t e . Cada t e o r i a é dissecada de t a l m a n e i r a que ela se e x p r i m e n u m a s u c e s s ã o de teoremas, p r o p o s i ç õ e s e c o r o l á r i o s com d e m o n s t r a ç õ e s m u i t o c u r t a s , cada u m a das q u a i s é u m a c o n s e q u ê n c i a quase i m e d i a t a da precedente.

O p a p e l destes l i v r o s é pois, sobretudo, p e d a g ó g i c o ; a m a i o r p a r t e dos resultados n ã o s ã o novos, e m b o r a expressos em g e r a l p o r f o r m a o r i g i n a l . E c e r t o que es-

* Transcrição da Les mathématiques en France pendant et après la guerre, c o n f e r ê n c i a do Prof. L . S C W A R Z , da U n i v e r s i - dade de Nancy, feita no 2.° Congresso Canadiano de M a t e m á - tica, em Vancouver, 1949.

Sobre a aotividade do grupo BOURBAKX vide Qazeta de Mate- mática, n." 39, 40 e 48. N. R .

l a r n ã o possue as v i r t u d e s de u m a m u l e t o ; n ã o a c t u a por s i p r ó p r i o . P r e c i s a d a i n t e r p r e t a ç ã o e o r i e n t a ç ã o do professor.

Mas esta a f i r m a ç ã o t i n h a t o d a a v a l i d a d e quando o professor se p o d i a m o v e r à v o n t a d e dentro do p r o - g r a m a , dando-o p a r c i a l ou t o t a l m e n t e e com a o r i e n - t a ç ã o que quizesse e, t u d o dependendo, depois, da sua e x c l u s i v a a p r e c i a ç ã o . .

Mas, quando u m p r o g r a m a é t o r n a d o t a x a t i v o , devendo ser c u m p r i d o i n t e g r a l m e n t e , acatando-se a t é a ordem das suas r u b r i c a s , n u m ensino d i r i g i d o a 4 0 alunos e que g r a v i t a em t o r n o de u m exame de r e s u l - tados apreciados em percentagens, a m a i o r p a r t e das vezes e x t r a p o l a d a s , eu p e r m i t o - m e p e r g u n t a r , se u m p r o g r a m a nestas c o n d i ç õ e s n ã o é u m f a c t o r da m á x i m a i m p o r t â n c i a e d e c i s i v o na v i d a escolar, q u e r de a l u - nos, quer de professores?

N ã o respondo à p e r g u n t a , nem f a ç o q u a i s q u e r c o m e n t á r i o s p o r m o t i v o s ó b v i o s , mas p e ç o ao Sr. D r . F A R I A que, de acordo com a sua r e c t a i n t e n ç ã o , d ê a s i p r ó p r i o a resposta à p e r g u n t a que eu f o r m u l e i .

tes l i v r o s , e o e s p í r i t o « b o u r b a q u i s t a » em g e r a l , c o m p o r t a m u m certo p e r i g o : o exagero e s c o l á s t i c o , a

« h i p e r a x i o m a t i z a ç ã o » e a « h i p e r g e n e r a l i z a ç ã o » , o estilo exageradamente a b s t r a c t o . F o i sem d ú v i d a o que a f a s t o u ao p r i n c í p i o m u i t o s m a t e m á t i c o s ; a c t u a l - mente p o r é m o ê x i t o de B O U B B A K I é c o n s i d e r á v e l , sobretudo j u n t o d a n o v a g e r a ç ã o , que aprende m u i t a s vezes as teorias mais i m p o r t a n t e s pelos l i v r o s de B O U R B A K I .

É no f u n d o p o s s í v e l c l a s s i f i c a r os e s p í r i t o s c i e n t í - f i c o s em d u á s categorias ( c o m t o d o o a r b i t r á r i o que c o m p o r t a q u a l q u e r c l a s s i f i c a ç ã o ) : os e s p í r i t o s f i n o s ( e s p r i t s f i n s ) e os e s p í r i t o s gerais ( e s p r i t s g é n é - r a u x ) , n ã o sendo nenhuma destas c a t e g o r i a s de modo a l g u m s u p e r i o r à o u t r a . Os e s p í r i t o s f i n o s interessam-se p o r q u e s t õ e s precisas, g e r a l m e n t e d i f í - ceis, necessitando grandes meios ; interessam-lhes mais os resultados que as d e m o n s t r a ç õ e s , os p r o b l e - mas mais que os m é t o d o s ; estes p r o b l e m a s , m u i t a s vezes demasiado p a r t i c u l a r e s , s ã o g e r a l m e n t e o r i g i - nais e t r a t a d o s em todos os seus pormenores. Os e s p í - r i t o s gerais interessam-se sobretudo pelas teorias gerais, que t e n t a m s i m p l i f i c a r ao m á x i m o , tendo de certo modo a v e r s ã o à s « d i f i c u l d a d e s » de que os e s p í - r i t o s f i n o s g o s t a m ; as d e m o n s t r a ç õ e s interessam-lhes

O L O G I A

A S U A I N F L U Ê N C I A *

par L. Schwarz