Este trabalho tem como objetivo oferecer aos professores do ensino secundário e superior um workshop de otimização utilizando o programa WinPlotr concebido para promover o estudo da matemática e suas aplicações. A otimização em matemática consiste no estudo de problemas de maximização ou minimização de funções com escolha de métodos que levem à busca do ótimo.
Estrutura do trabalho
Objetivos do trabalho
Primeiramente, o conceito de função é exposto dentro do corpo de R e algumas propriedades necessárias para definir a noção de derivada. Apresenta também como o assunto é tratado atualmente no ensino médio e, por fim, apresenta as principais ferramentas que ajudarão na hora de “compilar” gráficos de funções utilizando o software WinPlotr.
Fun¸ c˜ oes e algumas de suas propriedades
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contradomínio da função. Neste trabalho, todas as menções à função se referirão a funções do tipo f:R→R, geralmente caracterizadas como uma função real.
O conceito de derivada
Uma função é dita diferenciável se for diferenciável em todos os pontos de seu domínio. Qualquer função real que admite uma derivada em todos os pontos do seu domínio é chamada
M´ aximos e m´ınimos de uma fun¸ c˜ ao
Este resultado é importante porque diz que a função é contínua em todos os pontos onde representa uma derivada. Por exemplo, como a função polinomial P(x) = anxn+an−1xn−1 +· · ·+a1x+a0 é contínua em todo intervalo real [x1, x2], de acordo com o teorema de Weierstrass, ela sempre terá máximo e valores mínimos para os quais qualquer intervalo fechado selecionado. Se uma função é côncava para cima e todas as suas tangentes estão no intervalo abaixo do gráfico de f, então o conceito de função côncava para baixo é definido de forma semelhante.
Onde f′′(x) representa a derivada de uma função de segunda ordem, é a derivada da derivada da função. Portanto, a função não representa um valor máximo absoluto ou um valor mínimo absoluto. A Figura 2.4 mostra o gráfico desta função, onde estão marcados o máximo e o mínimo locais desta função.
Rudimentos de otimiza¸ c˜ ao no Ensino M´ edio
Motiva assim a sua inclusão nas disciplinas leccionadas no ensino secundário, conforme apresentado na secção seguinte. Como estes tipos de questões utilizam funções de segundo grau, a derivada destas funções é de grau 1, portanto existe apenas um ponto de máximo ou m mínimo, que é classificado como tal devido ao valor do coeficiente a. Solução acessível para altos alunos da escola: O problema é encontrar as dimensões de uma área retangular.
Para facilitar o entendimento, na Figura 2.6 há um diagrama que representa o problema e atribui as variáveis x e y às dimensões de. Obviamente, ambos os métodos são funcionais, mas o uso de derivadas se justifica em problemas que envolvem funções mais complexas que quadráticas, como funções polinomiais de grau maior que 2 e funções não polinomiais. Para trabalhar com funções mais complexas em ambiente de ensino médio são necessários métodos numéricos, e neste trabalho também é explorado o método da bissecção, e um instrumento computacional gráfico ou algébrico que justifica a apresentação do software Winplotr na seção seguinte.
O software Winplot r
No menu Janela é possível escolher entre janelas bidimensionais e tridimensionais, além de outras funções não utilizadas neste trabalho. Clicar em 2-dim (ou pressionar a tecla F2 no teclado) abre a janela para representar graficamente funções em duas dimensões. Aqui é utilizada a ferramenta Explícita, que permite inserir funções explícitas, nas quais a maioria das funções é apresentada aos alunos do ensino médio.
Paramétrica”, “Polar” e “Implícita” são ferramentas que permitem a descrição de funções paramétricas, funções polares e funções implícitas, respectivamente. O comando make periodic permite criar funções periódicas em intervalos definidos pelo usuário. A Tabela 2.1 mostra a sintaxe a ser utilizada para representar as funções principais. Para outras funções, clique em Biblioteca no menu do programa Equa.
Lista de problemas propostos
Se Q foi expresso como função de mais de uma variável na etapa anterior, use as informações para encontrar relações (na forma de equações) entre essas variáveis ´avis. Utilize métodos apropriados para encontrar os valores máximo e mínimo da função obtida no ponto anterior. Como a função possui um ponto máximo, o algoritmo a ser utilizado será o descrito no exemplo do Capítulo 3.
A utilização do algoritmo para k no intervalo de 1 a 5 fornece os valores da Tabela 4.1 Tabela 4.1: Cálculos utilizados no Algoritmo de Bissecção para o Problema 1 da lista proposta. Como a função possui um ponto mínimo, será utilizado o algoritmo descrito durante a explicação no Capítulo 3. Utilizando o algoritmo para k variando de 1 a 6, obtemos Os valores da Tabela 4.2 são utilizados na última Tabela 4.2: Cálculos utilizados no algoritmo de redução pela metade do problema 2 da lista proposta.
Novas tecnologias e educa¸ c˜ ao
Dall'Anese (2006) afirma que estudos relacionados ao ensino de matemática por meio do uso de tecnologias mostram que o uso de computadores ajuda a visualizar o conteúdo abstrato que é praticado em sala de aula. Bononi, Boscaino e Nieto (2004) apresentam o uso de ferramentas tecnológicas como recursos pedagógicos que exploram a criatividade e também estimulam o pensamento crítico. Diante desse contexto, o uso de softwares gráficos como o Winplot permite ao aluno fazer suposições baseadas no manuseio, uso, observação e reflexão.
A escolha do software Winplot se deu principalmente pela necessidade de um programa gratuito, uma ferramenta simples e de fácil utilização, já que o foco principal deveria estar no conteúdo estudado, neste caso o método numérico de cálculo do valor. É ótimo e o aluno não deve ter problemas para usar a tecnologia. Este software também foi escolhido por oferecer opções de visualização de gráficos bidimensionais de forma clara e atrativa. Algumas vantagens adicionais também podem ser destacadas, como por exemplo a facilidade de utilização dos menus e o tamanho do software que permite a sua instalação em ambiente Windows ou Linux (utilizado na maioria dos espaços informáticos).
Importˆ ancia da oficina
Dada a complexidade de introdução de novas práticas, é visível a resistência de muitos professores em se apropriarem dessas ferramentas pedagógicas em suas ações didático-pedagógicas. Muitas vezes adotam esta posição e justificam-na alegando que os computadores não são para a escola, ou que não estão preparados e não conseguem encontrar condições de trabalho na escola (BORBA; PENTEADO, 2005, p. 15). Porém, nota-se que poucos professores utilizam essas ferramentas em sua prática pedagógica com suas aulas.
Este trabalho propõe oferecer oficinas de ação de intervenção no Laboratório de Informática, dentro do contexto escolar, com o apoio técnico-pedagógico do orientador tecnológico em colaboração com um professor da disciplina que será focada a oficina. Daí ser importante que o professor conheça a especificidade das mídias para que possa utilizá-las pedagogicamente e busque teorias educacionais que tornem isso possível. Pensando na experiência do professor, a oficina tem como objetivo apresentar o uso e funcionamento do software Winplot para professores de matemática, com sugestões de atividades de otimização utilizando o método Bissec. Apresentação de conteúdo para alunos do terceiro ano do ensino médio e superior.
Por que se escolheu fazer uma oficina
Com base nisso, o objetivo é promover um trabalho que envolva a participação de todos os envolvidos, não distribuindo as pessoas em determinadas funções como diz Corrêa (2000, p.122). O autor destaca que o seminário pode permitir a quebra da “hierarquia de conhecimento (..) que muitas vezes acontece, através da manutenção de um discurso especializado que justifique a maior importância de quem fala em relação aos outros”. Portanto, considera-se que o seminário pode criar independência das ações educativas em relação aos modelos que priorizam mais um campo do conhecimento do que outro, oportunizando estratégias de resistência à qualificação ou desqualificação do conhecimento por parte dos órgãos oficiais de ensino.
A culminância dessa problematização é que o aluno sente necessidade de adquirir outros conhecimentos que ainda não possui, ou seja, tenta configurá-los. São então utilizadas uma grande variedade de atividades para que o professor desenvolva uma conceituação que se define como fundamental para a compreensão científica das situações problematizadas (DELIZOICOV; ANGOTTI, 2002, p. 201). Neste momento, as questões iniciais são continuadas e novas questões ou novas situações-problema são propostas, que permitem ao aluno utilizar os conhecimentos recém-desenvolvidos.
A oficina
Demonstre as fórmulas do vértice da parábola e mostre a construção do gráfico no quadro negro. Tópico: Apresentação do método Bisection utilizando o software Winplotr para plotagem do gráfico da função modelada. Tema: Apresentação do método Bissecção e utilização de derivadas utilizando o software Winplotr para traçar o gráfico da função modelada individualmente no Espaço de Informação.
No Winplotr, desenhe uma função para analisar o gráfico e delimitar o intervalo para utilizar o método Bissecção. Este trabalho apresenta o software Winplot, que é utilizado para visualizar gráficos de funções e ajuda a delinear o intervalo para utilização do método da bissecção, método numérico que pode ser utilizado para calcular o ótimo. No workshop foi enfatizado que o software Winplot é uma ferramenta vantajosa para a construção do conhecimento, que, além da visualização gráfica, permite uma análise geométrica interpretativa de possíveis soluções do método da bissecção.
