Aula 3 – Juros Compostos
Geraldo Nunes Silva
DCCE/IBILCE/Unesp
JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS
i: Taxa de rentabilidade de cada período (atua sobre PV);
d: Taxa de desconto de cada período (atua sobre FV);
0 1 2 3 … n - 1 n
i i i i i i
PV i d FV
i
i d
JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS RELAÇÃO ENTRE PV E FV COM A TAXA i
Saldos Períodos
1 2 n
Valor no início PV PV (1+ i) PV ( 1 + i )n-1
do período
Juros do PV x i PV (1 + i) x i período
Valor no final
do período PV ( 1 + i ) PV (1 + i )2 PV ( 1+ i )n
FV = PV ( 1 + i )n PV = FV / ( 1 + i )n
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 1
- Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., nos regimes de juros simples e compostos, a partir de um principal de $2.000,00.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 1
- Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., nos regimes de juros simples e compostos, a partir de um principal de $2.000,00.
Dados:
Juros Simples:
PV = $2.000,00 FV = 2.000,00(1+0,01 x 24)=
i =1,0% a.m. = 2.000,00(1+0,24) =
n = 24 meses =$2.480,00
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 1
- Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., nos regimes de juros simples e compostos, a partir de um principal de $2.000,00.
Dados:
Juros Simples:
PV = $2.000,00 FV = 2.000,00(1+0,01 x 24)=
i =1,0% a.m. = 2.000,00(1+0,24) =
n = 24 meses =$2.480,00
Juros Compostos:
n i PV PMT FV
24 1,00 -2.000,00 0,00 2.539,47 $2.539,47
FV = PV(1+i)^n = 2000*(1+0,01)^24= 2539,47
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 Exercício 2
- Determinar o principal necessário para produzir um montante de $1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., nos regimes de juros simples e compostos.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 Exercício 2
- Determinar o principal necessário para produzir um montante de $1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., nos regimes de juros simples e compostos.
Dados: Juros Simples:
FV= $1.000,00 PV = 1.000,00 / [ (1+0,0125 x 24 )] = i = 1,25 % a.m. = $769,23
n = 2 ANOS = 24 meses
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 Exercício 2
- Determinar o principal necessário para produzir um montante de $1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., nos regimes de juros simples e compostos.
Dados: Juros Simples:
FV= $1.000,00 PV = 1.000,00 / [ (1+0,0125 x 24 )] = i = 1,25 % a.m. = $769,23
n = 2 ANOS = 24 meses
Juros Compostos:
n i PV PMT FV
24 1,25 -742,20 0,00 1.000,00 $742,20
PV = FV/(1+i)^n = 1000/(1+0,0125)^24 = 742,20
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 4
- Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimes de juros simples e compostos?
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 4
- Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimes de juros simples e compostos?
Dados:
PV = $100,00 FV = $200,00
i = 6,0% a.a.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 4
- Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimes de juros simples e compostos?
Dados:
PV = $100,00 FV = $200,00
i = 6,0% a.a.
Juros Simples:
200,00 = 100,00(1 + 0,06 x n ) n = 16,7 anos
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4. Exercício 4
- Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimes de juros simples e compostos?
Dados:
PV = $100,00 FV = $200,00
i = 6,0% a.a.
Juros Simples:
200,00 = 100,00(1 + 0,06 x n ) n = 16,7 anos
Juros Compostos :
n i PV PMT FV
11,90 6,00 100,00 0,00 -200,00 11,896 anos
2PV= PV*(1+0,06)^n n = 11,896 anos
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 3
- Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses, nos regimes de juros simples e compostos?
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 3
- Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses, nos regimes de juros simples e compostos?
Dados : Juros Simples:
PV = $1.000,00 1.150,00 = [ 1.000 ( 1 + i x 10 ) ]
FV= $1.150,00 i = 0,015 ( 1,5 % a.m.)
n = 10 meses
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 3
- Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses, nos regimes de juros simples e compostos?
Dados : Juros Simples:
PV = $1.000,00 1.150,00 = [ 1.000 ( 1 + i x 10 ) ]
FV= $1.150,00 i = 0,015 ( 1,5 % a.m.)
n = 10 meses
Juros Compostos :
n i PV PMT FV
10 1,41 1.000,00 0,00 -1.150,00 1,40743% a.m.
FV = PV(1+i)^n = 1150 = 1000*(1+i)^10 i = 1,41%a.m.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de $10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de $10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias Juros Compostos :
n i PV PMT FV 1ª Operação
360 0,03 100,00 0,00 -110,00 Taxa Diária
0,02648%
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de $10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias Juros Compostos :
n i PV PMT FV 1ª Operação
360 0,03 100,00 0,00 -110,00 Taxa Diária
0,02648%
n i PV PMT FV 2ª Operação
90 0,03 9.764,54 0,00 -10.000,00 $9.764,54 0,02648%
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de
$10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias Juros Compostos :
n i PV PMT FV n Fracionário
(90/360) 0,25 10,00 9.764,54 0,00 -10.000,00 $9.764,54
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de
$10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias Juros Compostos :
n i PV PMT FV n Fracionário
(90/360) 0,25 10,00 9.764,54 0,00 -10.000,00 $9.764,54
PV = FV / (1+i)^n = 10000/(1+0,1)^(1/4) = 9764,54
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 11
- Um título é emitido com um prazo de 90 dias e com um valor de resgate de
$10.000,00. Determinar o seu valor de emissão para que a taxa de rentabilidade seja igual a 10% a.a. (juros compostos).
Dados :
FV = $10.000,00 i = 10,00% a.a.
n = 90 dias Juros Compostos :
n i PV PMT FV n Fracionário
(90/360) 0,25 10,00 9.764,54 0,00 -10.000,00 $9.764,54
PV = FV / (1+i)^n = 10000/(1+0,1)^(1/4) = 9764,54
- As calculadoras HP12C e a planilha EXCEL aceitam o valor de n fracionário - o número de períodos foi fornecido em fração de ano e a taxa de juros em % ao ano.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 5
- Um banco realiza suas operações com uma taxa de 1% a.m., cobrada antecipadamente. Qual a taxa efetiva mensal, a juros compostos, cobrada por esse banco nas operações com prazo de seis meses ?
Dados : Juros Simples:
PV= $940,00 PV = 1.000,00 - 0,01 x 6 x 1.000,00 =
FV= $1.000,00 = $940,00
n = 6 meses
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
4.4 - Exercício 5
-
Um banco realiza suas operações com uma taxa de 1% a.m., cobrada
antecipadamente. Qual a taxa efetiva mensal, a juros compostos, cobrada por esse banco nas operações com prazo de seis meses ?
Dados : Juros Simples:
PV=$940,00 PV = 1.000,00 - 0,01 x 6 x 1.000,00 =
FV=$1.000,00 =$940,00
n =6 meses
Juros Compostos :
n i PV PMT FV
6 1,04 -940,00 0,00 1.000,00 1,03659% a.m.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV 4.4 - Exercício 9
-
Um banco de investimentos opera com uma taxa efetiva de 1,2% a.m., a juros compostos. Numa operação que será liquidada com um único pagamento daqui a seis meses, deseja cobrar 0,8% a.m. de forma
postecipada. Qual a porcentagem a ser cobrada antecipadamente, por
ocasião da liberação dos recursos ("flat fee"), para que seja mantida a taxa
efetiva de 1,2% a.m.?
1ª OPERAÇÃO: Cálculo de FV com a taxa postecipada de 0,8% a.m.
Dados :
n =6 meses
i =0,8% a.m.
PV =$100,00
Juros Compostos :
n i PV PMT FV
6 0,80 -100,00 0,00 104,90 $104,8970
2ª OPERAÇÃO: Cálculo de PV com a taxa efetiva de 1,2 % a.m.
Dados :
n=6 meses % antecipada
i =1,2 % a.m. = (100,00 - 97,6518) / 100,00 =
FV =$100,00 = 2,3482 %
Juros Compostos :
n i PV PMT FV
6 1,20 97,6518 0,00 -104,8970
JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS: VALOR PRESENTE
4.4 - Exercício 10
- Calcular o valor presente do seguinte fluxo de caixa para uma taxa de juros de 1% ao mês.
Juros Compostos
n i PV PMT FV
2 1,00 -980,30 0,00 1.000,00 1ª Solução
3 1,00 -1.941,18 0,00 2.000,00 $5.804,42
4 1,00 -2.882,94 0,00 3.000,00 Soma -5.804,42
0 1 2 3 M 4
ES ES
P V
=
?
$ 2 0. 0 0
$ 3. 0 00
$ 1 0. 0 0
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS: VALOR PRESENTE 4.4 - Exercício 10
- Calcular o valor presente do seguinte fluxo de caixa para uma taxa de juros de 1% ao mês.
Juros Compostos
n i PV PMT FV
2 1,00 -1.000,00 0,00 1.020,10
1 1,00 -2.000,00 0,00 2.020,00 Valor futuro 0 1,00 -3.000,00 0,00 3.000,00
SOMA 6.040,10
n i PV PMT FV 2ª Solução
4 1,00 -5.804,42 0,00 6.040,10 $5.804,42
0 1 2 3 M 4
ES ES
PV
=
?
$ 2 0. 0 0
$ 3. 0 00
$ 1 0. 0 0
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS: VALOR PRESENTE
4.4 - Exercício 10
-
Calcular o valor presente do seguinte fluxo de caixa para uma taxa de juros de 1% ao mês.
Juros Simples :
1ª solução: Resultados
PV = 1.000,00 / 1,02 + 2.000,00 / 1,03 + 3.000,00 / 1,04 = $5.806,76 Diferentes
2ª solução:
FV = 1.000,00 x 1,02 + 2.000,00 x 1,01 + 3.000,00 =
$6.040,00
PV = 6.040,00 / 1,04 = $5.807,69
0 1 2 3 M 4
E SE S
PV
=
?
$ 2. 00 0
$ 3. 00 0
$ 1. 00 0
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
